【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册提高练习1.4.1《用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）》（解析版）.doc，共(6)页，539.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）-B提高练一、选择题1．（2020乐清市知临中学高二期末）已知平面α的一个法向量是(2,1,1)，//，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（）A．4,22，B．2,0,4C．215，，D．42,2，【答案】D

【解析】平面α的一个法向量是(2,1,1)，//，设平面的法向量为,,xyz，则(2,1,1),,,0xyz，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.2．（2020三明三中高二期末（理））如图，

在正方体ABCD-1111ABCD中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B1B的中点，F为11AD的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()A．(1，－2，4)B．(－4,1，－2)C．(2，－2，1)D．(1，2，－2)【答案】

B【解析】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），∴AE=（0，2，1），AF=（﹣1，0，2）,设向量n=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量则2020nAEyznAFxz

，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2,∴n=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量,因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量,故选：B．3．（2020北京高二期末）已知直线l的方向向量为m,平面的法向量为n,则“0mn”是“l∥”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】0mn,mn,0mn,即mn,不一定有l∥,也可能l“0mn”是“l∥”的不充分条件,l∥,可以推出mn,“0mn”是“l∥”是必要条件,综上所述,“0mn”是“l∥”必要不充分条件

.故选:B.4．（2020浙江高二月考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，点,EF分别是棱1,BCCC的中点，P是侧面11BCCB内一点，若1AP平行于平面AEF，则线段1AP长度的最小值为（）A．2B．322C．3D．5【答案】B【解析

】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，12,0,0,1,2,0,0,2,1,2,0,2AEFA，(1,2,0),(2,2,1)AEAF，设平面

AEF的法向量,,nxyz，则20220nAExynAFxyz，取1y，得2,1,2n，设,2,,02,02Pacac，则12,2,2APac

，∵1AP平行于平面AEF，∴1222220APnac，整理得3ac，∴线段1AP长度222222139||(2)2(2)(2)4(1)222APacaaa，当且仅当32ac时，线段1AP长度取最小值322.故选

：B.5.（多选题）（2020怀仁市一中高二期末）已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量可能是（）A．(1,－4,2)B．11(,1,)42C．11(,1,)42D．(0,－1,1)【答案】ABC【解析】

由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量(2,1,1)a，和向量PM，而PM=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2

）=0满足垂直，故正确；选项B，（2，1，1）（14，-1，12）=0，（0，2，4）（14，-1，12）=0满足垂直，故正确；选项C，（2，1，1）（-14，1，−12）=0，（0，2，4）（-

14，1，−12）=0满足垂直，故正确；选项D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故错误．6．（多选题）（2020·河北省盐山中学高一期末）若长方体1111ABCDABCD的底面是边长为2的正方形，高为4，E是1DD的中点，则（）A．11BEA

BB．平面1//BCE平面1ABDC．三棱锥11CBCE的体积为83D．三棱锥111CBCD的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}ABADAA为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(2

,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D，1(0,0,4)A，1(2,0,4)B，(0,2,2)E，所以1(2,2,2)BE，1(2,0,4)AB，因为1140840BEAB，

所以1BE与1ABuuur不垂直，故A错误；1(0,2,4)CB，(2,0,2)CE,设平面1BCE的一个法向量为111(,,)nxyz，则由100nCBnCE，得1111240220yzxz

，所以11112yzxz，不妨取11z，则11x，12y所以(1,2,1)n，同理可得设平面1ABD的一个法向量为(2,2,1)m，故不存在实数使得nλm，故平面1BCE与平面1ABD不平行，

故B错误；在长方体1111ABCDABCD中，11BC平面11CDDC，故11BC是三棱锥11BCEC的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CECCBCECECBVVSBC△，故C正确；三棱锥111CBCD的外接球即为长方体1111A

BCDABCD的外接球，故外接球的半径22222462R，所以三棱锥111CBCD的外接球的表面积2424SR，故D正确.故选：CD.二、填空题7．给出下列命题：①若,ab为共面向量，则,ab

所在的直线平行；②若向量,ab所在直线是异面直线，则,ab一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；④平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量．其中正确命题的个数为________.8.（2020上海市青浦区第一中学高二期中）若平面的一

个法向量为1(3,,2)uy，平面的一个法向量为2(6,2,)uz，且//，则y________，z________．【答案】1,4【解析】∵α∥β，∴1u∥2u，∴存在实数λ使得1u=λ2u，即（﹣3，y，2）

=λ（6，﹣2，z），∴3622yz，解得λ=﹣12，y=1，z=﹣4．9.在空间直角坐标系中，已知三点(1,2,1)A，(0,3,1)B，(2,2,1)C，若向量n与平面ABC垂直，且21n，则n的坐标为________．【答案

】(2,4,1)或2,4,1【解析】由A1,2,1，0,3,1B，2,2,1C，可得1,1,2,1,0,2ABAC，设,,nxyz，根据题意可得0021nA

BnACn，可得222202021xyzxzxyz，解得241xyz或241xyz.所以2,4,1n或2,4,1)n（.10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为

CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为.【答案】.【解析】如图,建立分别以AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系.设AB=a,P(0,0,b),则A(0,0,0),B1(a,0,1),D(

0,1,0),E.于是=(a,0,1),,=(0,-1,b).∵DP∥平面B1AE,∴存在实数λ,μ,使=λ+μ,即(0,-1,b)=λ(a,0,1)+μ=.∴∴b=λ=,即AP=.三、解答题11.已知M为

长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置.【解析】以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建

立如图所示的空间直角坐标系.根据题意可设A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),则M.又PM∥平面BB1D1D,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),使得=m+n,即=(ma,mb,

nc),即解得则点P的坐标为.所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.12．（2020·银川一中中学高二月考）已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF∥平面ABC.【解析】如图,

设=a,=b,=c,则=2a,=2b,=2c,所以=b-a,=c-a,=2b-2a,=2c-2a,对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一实数对(x,y),使e=x+y=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2

x(b-a)+2y(c-a)=2x+2y,因此e与共面,即e∥平面DEF,又l⊄平面DEF,所以l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC∥平面DEF.