【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册基础练习1.4.2《用空间向量研究距离、夹角问题(2) 》（解析版）.doc，共(9)页，756.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(2)-A基础练一、选择题1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于()A.30°B.45

°C.60°D.90°【答案】D【解析】因为n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(

1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.B.-C.D.-【答案】A【解析】=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos������=,故直线AB和CD所成角的余弦值为.3.如图,在

三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】取AB的中点D,连接C

D,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),根据m·=0,m·=0,解得m=(3,-,2),cos<m,>=

.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°,故选A.4．（2020·浙江省高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABCABC中，D是棱BC的中点，记直线1BD与直线AC所成角为1，直线1BD与平面111

ABC所成角为2，二面角111CABD的平面角为3，则（）A．2123,B．2123,C．2123,D．2123,【答案】A【解析】由题可知，直三棱柱111A

BCABC的底面为锐角三角形，D是棱BC的中点，设三棱柱111ABCABC是棱长为2的正三棱柱，以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，1AA为z轴，建立空间直角坐标系，则10,0,

2A，13,1,2B，0,2,0C，33,,022D，0,0,0A，0,2,0AC，131,,222BD，113,1,0AB，直线1BD与直线AC所成的角为1

，10,2，1111cos25BDACBDAC，直线1BD与平面111ABC所成的角为2，20,2，平面111ABC的法向量0,0,1n，1212sin5BDnBDn

，2221cos155，设平面11ABD的法向量,,mabc，则11130312022mABabmBDabc，取3a，得33,3,2m，二面角111C

ABD的平面角为3，由图可知，3为锐角，即30,2，3312cos575749mnmn，231coscoscos，由于cosy在区间0,上单调递减，231

，则2123,.故选：A.5．（多选题）（2020江西宜春二中高二月考）正三棱柱111ABCABC中，13AAAB，则（）A．1AC与底面ABC的成角的正弦值为12B．1AC与底面ABC的

成角的正弦值为32C．1AC与侧面11AABB的成角的正弦值为34D．1AC与侧面11AABB的成角的正弦值为134【答案】BC【解析】如图，取11AC中点E，AC中点F，并连接EF，则1EB，1EC，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角

坐标系；设2AB；则123AA；1(0A，1，0)，1(0C，1，0)，(0A，1，23)，(0C，1，23)；1(3B，0，0)，10,2,23AC．底面ABC的其中一个法向量为：0,0,23m，1AC与底面ABC的成角的正弦值为111123c

os,2423mACmACmAC，；A错B对．11AB的中点K的坐标为3(2，12，0)；侧面11AABB的其中一个法向量为：133,,022KC；1AC与侧面11AABB的成角的正弦值为：11111133cos4,43ACKCACKCA

CKC，；故C对D错；故选：BC．6．（多选题）（2020·江苏镇江二中高二期末）如图，已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，6AP，ABa=.若在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角都为3.则实数a的值为（）A．1B

．2C．3D．4【答案】ABC【解析】假设在直线BC上有一点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角为3，此时，易得3PQA，在RtAPQ中，由于6AP，可得23AQ.所以，在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与平面ABCD所

成角都为3，等价于在直线BC上有两个点到点A的距离为23，由此可得023a.故选：ABC二、填空题7．（2020全国高二课时练）在直三棱柱111ABCABC中,若1BAC90,ABACAA°?==，则异面直线1BA与1AC所成的角

等于_________.【答案】60【解析】三棱柱111ABCABC为直三棱柱,且BAC90以点A为坐标原点，分别以AC，AB，1AA为,,xyz轴建立空间直角坐标系设1=1ABACAA，则(0,0,0)A,(0,1,

0)B,1(0,0,1)A,1(1,0,1)C，1=(0,1,1)BA-，1(1,0,1)AC=1111110110111co2,s22BAACBAACBAAC???===´×又异面直线所成的角在鞍（0,90]异面直线1BA

与1AC所成的角等于60．8.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=PB,则平面PAB与平面PCD的夹角为_________.【答案】45【解析】如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则

A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴=(0,1,0).取PD的中点E,则E,∴,易知是平面PAB的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,所以cos<>=,故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.9．（2020·浙江省绍兴市阳明中学高

二期中）如图，在底面边长均为2，高为1的长方体1111ABCDABCD中，E、F分别为BC、11CD的中点，则异面直线1AE、CF所成角的大小为_______；平面1AEF与平面1111DCBA所成锐二面角的余弦值为__________.【答案】

6；31414【解析】以D为原点建立如图所示空间之间坐标系：则12,0,1,1,2,0,0,2,0,0,1,1AECF，所以11,2,1,0,1,1AECF，设异面直线1AE、CF所成角的大小为，所以113

3cos262AECFAECF，因为(0,]2，所以6.又12,1,0AF，设平面1AEF的一个法向量为：,,mxyz，则1100mAFmAE，即2020xyxyz，令1x，则1

,2,3m，平面1111DCBA一个法向量为：0,0,1n，设平面1AEF与平面1111DCBA所成锐二面角为，所以3314cos1414mnmn.故答案为：①6；②3141410．（2020河北正定三中学校高二月考（理））设动点P在棱长为1的正方体1

111ABCDABCD的对角线1BD上，记11DPDB.当APC为锐角时，的取值范围是__________．【答案】10,3【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则1(1,0,0),(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1)ACBD，由11DPDB得(,,1)

P，则(1,,1),(,1,1)PAPC，因为APC为锐角，所以(1,,1)(,1,1)(1)(31)0PAPC，解得13或1，又因为动点P在

棱长为1的正方体1111ABCDABCD的对角线1BD上，所以的取值范围为103.三、解答题11.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=

1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为=(0

,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sinθ=|cos<>|=,故cosθ=,即SC与平面ASD所成角的余弦值为.(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD

的一个法向量为n=(x,y,z),由令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cosα=,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为.12.（2020四川南充一中高二月考）如图,在四棱锥P-

ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,且∠BCD=,PD⊥BC.(1)求证:PC=PD;(2)若底面ABCD是菱形,PA与平面ABCD所成的角为,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.【解析】(1)如图①,过P作PE⊥BC,垂足为E,连

接DE.图①因为平面PBC⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.因为PD⊥BC,所以BC⊥平面PDE,所以DE⊥BC.因为∠BCD=,所以DE=CE.在△PED和△PEC中,PE=PE,∠PED=∠PEC=90

°,DE=CE,所以△PED≌△PEC,所以PD=PC.(2)因为BC⊥平面PDE,PE⊥平面ABCD,所以∠PAE是直线PA与平面ABCD所成的角,即∠PAE=,且DE⊥BC,DE⊥PE.设PE=a,则AE=a,PA=2a.在△DEC中,设DE=m,则EC=m,DC=m,所以在Rt△EDA中

,(a)2=m2+(m)2,所以m=a.以E为坐标原点,ED,EB,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图②所示的空间直角坐标系,图②则D(a,0,0),A(a,a,0),P(0,0,a),则平面PBC的一个法向量为a=(1,0,0).设平面PAD的一个法向量为b=(x,y

,z),因为=(-a,-a,a),=(0,-a,0),所以取x=1,则b=(1,0,1).设平面PAD与平面PBC的夹角为θ,则cosθ=,所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.