【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册同步讲义5.2《导数的运算》(含解析).doc，共(11)页，354.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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5.2导数的运算1、基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x

)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝1xlna2、导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：（1）[f(x)±g(x)]

′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）))(()]([)()()()(])()([02xgxgxgxfxgxfxgxf3、复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝

f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.4、函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义：在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率。相应地，切线方程为：))((000xxxfyy知识梳

理题型一函数求导例1已知函数2lnfxxx，则1f（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】【分析】对函数fx求导，代入即得解.【详解】1'2'(1)3fxfx故选：C已知函数l

nfxxx，fx为fx的导函数，则fe的值为_______________.【答案】2【分析】由题意可得：'ln1fxx，据此求解fe的值即可.【详解】由题意可得：1'1lnln1fxxxxx，则'ln12f

ee.故答案为2．题型二求导运算例2求下列函数的导数．（1）23cosfxxxx；巩固练习知识典例（2）11xxefxe.【答案】（1）6cossinfxxxxx；（2）221xx

efxe.【分析】（1）由导数的运算法则可求出fx；（2）由导数的运算法则可求出fx.【详解】（1）由导数的运算法则可得23cos6cossinfxxxxxxxx；（2）由导数的运

算法则可得221111211xxxxxxxeeeeefxee.下列正确的是A．211()1xxxB．2(cos)2sinxxxxC．3(3)3logxxeD．21(lo

g)ln2xx【答案】D【解析】试题分析：211()1xxx,所以A不对，22(cos)2cossinxxxxxx，所以B不对，(3)3ln3xx所以C不对，21(log)ln2xx是正确的，符合求导公式，故选D．题型三函数中含有导数值求导例3已知21()2'(20

19)2019ln2fxxxfx，则(2019)f（）A．2018B．2018C．2019D．2019【答案】B【分析】求出'()fx，令2019x，即得'(2019)f.巩固练习【详解】2'1()2(20

19)2019ln2fxxxfx，''2019()2(2019)fxxfx，令''(2019)201201992(2019,)1ffx，'(2019)2018f.故选：B.已知函数lnfxfex

x,则ef（）.A．1eB．2C．2eD．3【答案】B【分析】先对原函数求导得ln1fxx,再将xe代入导函数即可得出结果.【详解】解:已知函数lnfxfexx,求导可得ln

1fxx,则lne12fe.故选:B题型四含有参数的求导例4若42()fxaxbxc满足'12f，则'1f等于_______．【答案】﹣2【分析】根据函数的求导法则求得

fx，再由于fxfx得出导函数fx为奇函数，通过奇函数的性质可求得'1f的值.巩固练习【详解】根据函数的求导法则得：342fxaxbx，由于334242fxaxbxaxbxf

x，所以导函数fx为奇函数，所以112ff，故答案为2.已知函数2fxaxc，且12f，则a的值为（）A．1B．2C．-1D．0【答案】A【

解析】由题意得，函数fx的导数为2fxax，因为12f，即212a，所以1a，故选A．题型五函数切线方程例5已知2()2(2)fxxxf，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为_______

_.【答案】610xy【分析】求出导函数()22(2)fxxf，令2x，求出2f，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出1f以及1f，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.【详解】由2()2(2)fxxxf，

则()22(2)fxxf，当2x时，(2)42(2)ff，解得24f，所以2()8fxxx，()28fxx，巩固练习即17f，(1)2186f，所以曲线

()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为：761yx，即为610xy.故答案为：610xy曲线2xyx在点1,1处的切线方程为A．21yxB．32yxC．23yxD．2yx

【答案】A【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程.【详解】2xyx的导数为22'(2)yx，可得曲线22yx在点1,1处的切线斜率为1'|2xky，所以曲线2xyx在点1,1处的切线方程为12

(1)yx，即21yx，故选A.题型六参数问题例6已知点P在曲线41xye上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是____【答案】3,4【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角

的正切值求出角的范围．【详解】巩固练习由已知函数41xye的导数为'2441(1)2xxxxeyeee1122xxxxeeee，124xxee，[1,0)y即tan[1,0)

，0，34，即答案为：3,4．若函数f(x)=xex在x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.【答案】c=12【解析】【试题分析】先求得ecfcc，然后求'fx得到fc，根据0fc

fc列方程求得c的值.【试题解析】由于f(x)=xex,所以f(c)=cec,又f′(x)=xx2e?xex=x2ex1x,所以f′(c)=c2ec1c.由题意知f(c)+f′(c)=0,所以cec+c2ec1c=0,所以2c-1=0,得c=12.巩固练习1、设

0ln,2fxxxfx，则0x（）A．2eB．eC．ln22D．ln2【答案】B【分析】求得导函数'fx，由此解方程02fx求得0x的值.【详解】依题意'1lnfxx，所以0001ln2,fxxxe.故

选：B2、设函数f(x)＝3232axx，若41)(f，则a的值为()A．193B．163C．133D．103【答案】D【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数()fx的导函数2()36fxaxx

，因为f′(－1)＝4，即364a，解得103a故选D3、已知函数()fx的导函数为'()fx，且'(1)()ffxxx，则1()f'（）A．-1B．12C．12D．1【答案】C【解析】2'1'1,1fffxxfxxx

，据此有11'11,1.2fff巩固提升本题选择C选项.4、设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(2)＝()A．0B．2C．4D．8【答案】A

【解析】因为2()2'(2)fxxxf，所以'()22'(1)fxxf，令1x得'(1)22'(1)ff，解得'(1)2f，所以'()24,'(2)2240fxxf，故选A.5、曲线f(x)＝x

lnx在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为()A．6B．4C．3D．2【答案】B【解析】'()ln1fxx；所以'(1)ln111f，所以曲线在点(1,(1))f处的切线的斜率是1，设曲线在点(1

,(1))f处的切线的倾斜角是，则tan1，因为[0,)，所以4，故选B.6、下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1D．若y＝

sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx【答案】D【解析】∵y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx.故选D.7、下列四组函数中导数相等的是()A．f(x)＝1与f(x)＝xB．f(x)＝

sinx与f(x)＝－cosxC．f(x)＝1－cosx与f(x)＝－sinxD．f(x)＝1－2x2与f(x)＝－2x2＋3【答案】D【解析】由求导公式及运算法易知，D中f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，与f′(x)＝(－2x2＋3)′＝－4x相等.故选D.8、设2sinxy

ex则'y等于()A．2cosxexB．2sinxexC．2sinxexD．2cossinxexx【答案】D【解析】由2sinxyex，得''222cossinxxxxxyesinxesin

xesinxecosxexx.故选D.9、已知函数()'cossin4fxfxx，则4f的值为__________．【答案】1【解析】''sincos4fxfxx，''sincos4444ff

，解得'214f，故22'cossin211444422ff，故答案为1.10、求下列函数在指定点的导数：（1）24ln(31)yxx，1x；（2）π22cos1sin2xxyx

，π2x．【答案】（1）12xy（2）21ln2xy【分析】（1）由导数运算法则求导即可求解（2）由导数运算法则求导即可求解【详解】（1）321231yxx，12xy（2）2ln221sin

2xyx，21ln2xy11、设函数1()(0)xxfxaebaae，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为32yx，求a，b的值．【答案】221,2abe【分析】利用导数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】f′（x）=aex﹣

1xae，∴f′（2）=221aeae，∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=32x，∴221aeae=32，f（2）=221aeae+b=3，又a＞0，解得2212aeb．