【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册同步讲义5.1《导数的概念及意义》(含解析).doc，共(7)页，181.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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5.1导数的概念及意义0limx1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数（1）定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率0limxf（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝0limxΔyΔx为函数y

＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝0limxΔyΔx＝0limxf（x0＋Δx）－f（x0）Δx.（2）几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的

斜率2、函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数xxfxxfxfx)()(lim)(0称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.题型一增量例1已知函数y＝f(x)＝－

x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则yx＝()A．3B．3Δx－(Δx)2C．3－(Δx)2D．3－Δx【答案】D【分析】先计算Δy，再求yx.【详解】Δy＝f

(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx，∴2Δ3Δxxyxx－＋＝－Δx＋3.选D.知识梳理巩固练习知识典例已知函数2fxxx的图像上的一点1,2A及邻近一点1,2B

xy，则yx______．【答案】3x【分析】代入B点坐标解得y,再求比值.【详解】∵2211yxx，∴21123xxyxxx．题型二

变化率例2直线运动的物体，从时刻t到tt时，物体的位移为s，那么0limtst为()A．从时刻t到tt时，物体的平均速度B．从时刻t到tt时位移的平均变化率C．当时刻为t时该物体的速度D．该物体在t时刻的瞬时

速度【答案】D【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻t到tt时，时间的变化量为t，而物体的位移为s，那么0limtst为该物体在t时刻的瞬时速度.故选：D.物体自由落体的运动方程为s(t)＝12gt

2，g＝9.8m/s2，若Δt→0时，11stst→9.8m/s，那么下列说法中正确的是()巩固练习A．9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速率B．9.8m/s是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速率C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率D．9.8

m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率【答案】C【分析】由函数瞬时变化率的定义知C正确．【详解】由函数瞬时变化率的定义知Δt→0时，11stst表示物体在t＝1s这一时刻的速率，所以选C.题型三导数的概念例3若00x03)()

lim1(xxfxfx，则0()fx=________.【答案】13【详解】由极限的定义可得：0003limxfxxfxx0003lim33xfxxfxx031fx，01'3fx

.故答案为：13已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝________.【答案】3【分析】根据导数定义可得f′（0）=000xfxflimx,即可得到答案.巩固练习【详解】f′（0）=0000x33xxfxflimlimx﹣故答案为-3题型四几何意

义例4函数y＝f（x）的图象在A（2，f（2））处的切线方程是y＝3x﹣1，则)()(22ff＝__．【答案】8【分析】由切线方程和导数的几何意义求出f（2）和f（2）的值，再相加即可．【详解】∵在点（2，f（

2））处的切线方程为y＝3x﹣1，∴f（2）＝6﹣1＝5，f′（2）＝3，∴f（2）+f′（2）＝8，故答案为：8．设fx为可导函数，0112lim12xffxx，则在点1,1f处的切线斜率

为（）A．2B．1C．1D．2【答案】C【分析】由导数的几何意义,求出在曲线yfx上点1,1f处的导数,即求得在此点处切线的斜率.【详解】由已知得，函数在点1,1f处的切线的斜率为011

21lim1112xffxfx．故选：C.巩固练习1、f(x)在x＝x0处可导，则xxfxxfx)()(lim000()A．与x0，Δx有关B．仅与x0有关，而与Δx无关C

．仅与Δx有关，而与x0无关D．与x0，Δx均无关【答案】B【解析】由定义知函数fx在0x处的导数，只与0x有关故选B2、已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为()A．2－ΔxB．－2－ΔxC．2＋ΔxD．(Δx)2－2·Δx【

答案】B【解析】∵f(2)＝－22＋2×2＝0，∴f(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)＝－2Δx－(Δx)2，∴(2)()2fxfxx＝－2－Δx，故应选B.3、函数y＝x2在区间[x0,x0+△x]上的平均变化率为k1，在[x0﹣△x，x0]上的平均变化率

为k2，则k1与k2的大小关系是（）A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．k1与k2的大小关系不确定【答案】A【详解】由题意结合函数的解析式有：220000102fxxfxxxxkxxxx

，巩固提升220000202fxfxxxxxkxxxx，则124kkx，因为Δx可大于零，所以k1>k2.4、已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δ

x,2＋Δy)，则yx等于()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋(Δx)2【答案】C【解析】2(1)(1)[(1)1]2yfxfxxxx＝2＋Δx.故应选C.5、在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④1y

x中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①【答案】B【解析】Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x

在x＝1附近的平均变化率k4＝－11x＝－1013.∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.6、蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T＝1205t＋15，其中T为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则从t＝0到t＝10min

，蜥蜴的体温的平均变化率为_________.【答案】1.6/minC【分析】根据平均变化率定义(10)(0)100TT求结果.【详解】∵1201201515(10)(0)1050510010TTTt＝－1.6(℃/min)，∴从t＝0到t＝10mi

n，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6℃/min.7、将物体以速度v0(v0＞0)竖直上抛，ts时的高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在t0时刻的瞬时速度．【答案】00vgt【分析】先计算st,再根据Δt→

0求st值.【详解】因为Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－200012vtgt＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，所以st＝v0－gt0－12gΔt.当Δt趋近于0时，st

趋近于常数v0－gt0.故物体在t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.