【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 第四节 古典概型与几何概型 (含详解).ppt，共(77)页，1.399 MB，由MTyang资料小铺上传

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第四节古典概型与几何概型本节主要包括3个知识点：1.古典概型；2.几何概型；3.概率与统计的综合问题.突破点(一)古典概型基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性．互斥基本事件只有有限个相等3．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数

基本事件的总数.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”古典概型的求法古典概型的概率计算往往与实际问题结合紧密，解决问题的一般步骤如下：第一步，阅读题目，判断试验是否为古典概型，若满足有限性和等可能性，则进行下一步．第二步，通过列举或计算求出基本事件的总数n及题目要求的

事件所包含的基本事件的个数m.第三步，利用古典概型的概率公式求出事件的概率．[典例]为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名

游客的旅游团到四川名胜景区旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人

数相等的概率．[解](1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，则P(A)＝C16C130C236＝27，所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是27.[解](2)设事件B为“采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等”，

可以分为事件B1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况．则P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝C221C236＋C19C16C236＝44105，所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是44105.(2)

在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序A，B，C，D，E，F，则程序A在第一或最后一步，且程序B和C相邻的概率为()A.15B.115C

.415D.215解析：程序A在第一或最后一步，且程序B和C相邻的概率为P＝A12A22A44A66＝215.答案：D2．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为()A.15B.25C.16D.18解析：如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共

有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝615＝25.答案：B3．一个三位数的百位、十位、个位上的

数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数”(如213,312)等．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是()A.16B.524C.13D.724解析：由1,2

,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321，共6个；由1,2,4组成的三位数有124,142,214,241,412,421，共6个；由1,3,4组成的三位数有134,143,314,341,413,431，共6个；由2

,3,4组成的三位数有234，243,324,342,423,432，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,42

3，共2个“凹数”．故这个三位数为“凹数”的概率P＝6＋224＝13.答案：C4．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子

先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，„，(6,6)，共36个，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足2aa2＋b2≤2，即a2≤b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)

，(1,3)，(1,4)，„，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，因此所求的概率等于2136＝712.答案：7125．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回

箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规

定公平吗？解：用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,

1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(

4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P(A)＝1025＝25.解：设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(

3,2)，(4,1)，共10个．则P(B)＝1025＝25，所以P(C)＝1－P(B)＝35.因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平．(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？突破点(二)几何概型基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．几何概型的定

义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果；(2

)等可能性：每个试验结果的发生具有．有无限多个等可能性长度(面积或体积)3．几何概型的概率公式P(A)＝_____________________________________________.构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长

度面积或体积考点贯通抓高考命题的“形”与“神”与长度、角度有关的几何概型[例1](1)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log12x＋12≤1”发生的概率为()A.34B

.23C.13D.14[解析]不等式－1≤log12x＋12≤1可化为log122≤log12x＋12≤log1212，即12≤x＋12≤2，解得0≤x≤32，故由几何概型的概率公式得P＝32－02－0＝34.[答案]A(2

)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20cm2的概率为()A.16B.13C.23D.45[解析]设|AC|＝x，则|BC|＝12－x，所以x(12－x)>20，解得2<x<10，故所求概率P

＝10－212＝23.[答案]C(3)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM<AC的概率为________．[解析]过点C作CN交AB于点N，使AN＝AC，如图所示．显然当射线CM处在

∠ACN内时，AM<AC.又∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，故所求概率为P＝67.5°90°＝34.[答案]34[方法技巧]1．与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．2

．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．如本例中的第(3)题极易求错．与面积有关的几何概型[例2](1)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0

)，且点C与点D在函数f(x)＝x＋1，x≥0，－12x＋1，x<0的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12[解析]因为f(x)＝x＋1，x≥0，－12x＋1，x<0，B点坐标为(1,0

)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P＝326＝14.[答案]932(2)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7

：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)．[解析]设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟．根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝40

0.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A＝{(x，y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)＝2252400＝932.[答案]

932[解析]如图满足y≥x2－1的概率为阴影部分面积与大正方形面积的比，∵阴影部分面积S1＝1－1[1－(x2－1)]dx＝1－1－12－x2dx＝2x－13x31－1＝103，大正方形面积S2＝4，∴P＝S1S2＝1034＝56

.[答案]56(3)在区间[－1,1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2－1的概率是________．[方法技巧]求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全

部结果构成的平面图形，以便求解．与体积有关的几何概型[例3](1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为____

____．[解析]正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr3＝12×43π×13＝23π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.[答

案]1－π12[解析]由题意可知VS-APCVS-ABC>13，三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同．如图所示，作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，所以VSAPCVSABC＝S△APCS△ABC＝PMBN>13，又PMBN＝APAB，所以APAB>

13，故所求的概率为23(即为长度之比)．[答案]23(2)(2017·黑龙江五校联考)在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S-APC的体积大于V3的概率是________．[方法技巧]求解与体积有关的几何概型的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的

总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二]如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在

往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为()A.4π－1B.1πC．1－1πD.2π解析：顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－414×π×12－12×12＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此

所求的概率等于4－ππ＝4π－1.答案：A2．[考点一]如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12B.32C.13D.14解析：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝π3，A′点在A点左右都可取得，

故由几何概型的概率计算公式得P＝2π32π＝13.答案：C3．(2017·伊春模拟)在区间－π6，π2上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，2]的概率是()A.12B.34C.38D.58解析：因为sinx＋cosx＝2si

nx＋π4∈1，2，所以22≤sinx＋π4≤1，所以x＋π4∈2kπ＋π4，2kπ＋3π4(k∈Z)，[考点一]即x∈2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)，又x∈－π6，π2，所以x∈0，π2，故要求的概率为π2－0π2－

－π6＝34.答案：B4．[考点三]如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为________．解析：设事件M为“动点在三棱锥A-A1BD内”，则P(M)＝V三棱锥A-A1BDV长方体A

BCD-A1B1C1D1＝V三棱锥A1-ABDV长方体ABCD-A1B1C1D1＝13AA1·S△ABDV长方体ABCD-A1B1C1D1＝13AA1·12S矩形ABCDAA1·S矩形ABCD＝16.答案：165．[考点二]在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2

无零点的概率为________．解析：要使该函数无零点，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0.∵a，b∈[0,1]，a＋2b>0，∴a－2b<0.作出0≤a≤1，0≤b≤1，a－2b＜0的可行域(如阴影部分所示)

，易得该函数无零点的概率P＝1－12×1×121×1＝34.答案：346．[考点二]欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为

1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．解析：依题意，所求概率为P＝12π·322＝49π.答案：49π突破点(三)概率与统计的综合问题概率的计算问题往往与抽样方法、频率分布

直方图、频率分布表、茎叶图等知识点相结合进行考查，一般难度不大，考查基础知识点和基本方法.解决此类综合问题可遵循以下几个步骤进行：第一步，根据所给的频率分布直方图、茎叶图等统计图表确定样本数据、平均数等统计量；第二步，根据题意，一般由频

率估计概率，确定相应的事件的概率；第三步，利用互斥事件、对立事件、古典概型等概率计算公式计算概率.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”概率与统计图表的综合问题[例1](2017·郑州模拟)某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本

(样本容量为n)进行统计，按照[50,60)，[60,70，)[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据)．(1)求样本容量n和频率分布直方图

中的x、y的值；[解]由题意可知，样本容量n＝80.016×10＝50，y＝250×10＝0.004，x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.[解]由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，记这5株分别为a1，a2，a3，a4，a5，高度在[9

0,100]内的株数为2，记这2株分别为b1，b2.抽取2株的所有情况有21种，分别为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2

，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)．(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米

)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，

(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)．所以所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P＝1－1021＝1121.[方法技巧]破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”概

率与抽样方法的综合问题[例2]某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位：百元)内的手机的利润情况，从2016年度销售的一批手机中随机抽取75部，按其价格分成5组，频数分布表如下：价格分组(单位：百元)[5,10)[10,15)[1

5,20)[20,25)[25,30)频数(单位：部)510201525(1)用分层抽样的方法从价格在区间[5,10)，[10,15)和[20,25)内的手机中共抽取6部，其中价格在区间[20,25)内的有几部？(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部，求价格在区间[10,1

5)内的手机至少有1部的概率．[解](1)因为在区间[5,10)，[10,15)和[20,25)内的手机的数量之比为5∶10∶15＝1∶2∶3，所以抽取的6部手机中价格在区间[20,25)内的有6×36＝3(部)．[解

]这6部手机中价格在区间[5,10)内的有1部记为a，在区间[10,15)内的有2部，分别记为b1，b2，在区间[20,25)内的有3部，分别记为c1，c2，c3，从中任取2部，可能的情况有(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b

1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)(c1，c3)，(c2，c3)，共15种；设“价格在区间[10,15)内的手机至少有1部”为事件A，则事件A包含的情况有(a，b1)，(a，b2)，(b1，b2)，(b1

，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共9种．故P(A)＝915＝35.(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部，求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率．[方法技巧]求解概率与分层抽样综合问题的步骤(1)利用分层抽样的抽样比，求出

各层的样本数或各层应抽取的样本数；(2)计算样本空间所含的基本事件个数与所求事件含有的基本事件的个数；(3)利用古典概型的概率计算公式得出结果．概率与统计案例的综合问题[例3](2017·武汉模拟)某城市随机抽取

一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，结果统计如下：AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,300]>300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数6

1418272015(1)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y＝0，0≤x≤100，4x－400，100<x≤300，2000，x>300，若在本年内随机抽取一天，试估计这

一天的经济损失超过400元的概率；解：记“在本年内随机抽取一天，该天的经济损失超过400元”为事件A.由y>400，得x>200.由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，所以P(A)＝35100＝720.(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重

污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染严重污染总计供暖季非供暖季总计100附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋dP(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.00

1k02.7063.8415.0246.63510.828将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝100×22×7－63×8230×70×85×15≈4.575.因为4.575>3.841，所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．非严重污染严重污染总计供暖季22

830非供暖季63770总计8515100解：根据题设中的数据得到如下2×2列联表：能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一](2017·太原模拟)某工厂对一批共50件的机器零件进行分类检测，其重量(克)统计如下：重量段[80,85)[85,9

0)[90,95)[95,100]件数5m12n规定重量在82克及以下的为甲型，重量在85克及以上的为乙型，已知该批零件有甲型2件．(1)从该批零件中任选1件，若选出的零件重量在[95,100]内的概率为0.26，求m的值；(2)从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，求其中恰有1

件为甲型的概率．解：(1)由题意可得n＝0.26×50＝13，则m＝50－5－12－13＝20.解：设“从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，其中恰有1件为甲型”为事件A，记这5件零件分别为a，b，c，d，e，其中甲型为a，b.从这5件零件中任选2件，所有可能的情况为ab，a

c，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种．其中恰有1件为甲型的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6种．所以P(A)＝610＝35.即从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，其中恰有1件为甲型的概率为35.(2)从重量在[80,85)的5件零件

中，任选2件，求其中恰有1件为甲型的概率．2．[考点一、二](2017·潍坊模拟)济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高(单位：cm)编成如图所示

的茎叶图．若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高精灵”，身高在175cm以下定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176，B大学志愿者的身高的中位数为168.(1)求x，y的值；(2)如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵

”中随机抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有1人为“高精灵”的概率．解：(1)由茎叶图得，159＋168＋170＋170＋x＋176＋182＋187＋1918＝176，160＋y＋1692＝168.解得x＝5，y＝7.解

：由题意可得，“高精灵”有8人，“帅精灵”有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则抽取的“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为8×520＝2,12×520＝3.记抽取的“高精灵”分别为b1，b2，“帅精灵”分别

为c1，c2，c3，从这5人中任选2人的所有可能情况为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种，(2)如果用分层抽样的方法

从“高精灵”和“帅精灵”中随机抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有1人为“高精灵”的概率．记“从这5人中选2人，至少有1人为‘高精灵’”为事件A，则A包含的情况为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(

b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共7种，所以P(A)＝710.故从这5人中选2人，至少有1人为“高精灵”的概率为710.3．[考点一、二]某iPhone手机专卖店对某市市民进行iPhone手机认可度的调查，在已购买iPhone手机的1000名市民中，随机抽取100

名，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组(岁)频数[25,30)5[30,35)x[35,40)35[40,45)y[45,50)10合计100(1)求频数分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这100名

市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iPhone手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部iPhone7手机，求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率．解：

(1)由频数分布表和频率分布直方图可知，5＋x＋35＋y＋10＝100，0.04×5×100＝x，解得x＝20，y＝30.频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30，对应的频率组距为30100×5＝0.06，所以补全的频率分布直方图如下：(2)在抽

取的这100名市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iPhone手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部iPhone7手机，求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率．解：由频

数分布表知，在抽取的5人中，年龄在[25,30)内的市民的人数为5×525＝1，记为A1，年龄在[30,35)内的市民的人数为5×2025＝4，分别记为B1，B2，B3，B4.从这5人中任选2人的所有基本事件为：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}

，{A1，B4}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，B4}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B3，B4}，共10个．记“恰有1人的年龄在[30,35)内”为事件M，则M所包含的基本事件有4个：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}．所以这2人中

恰有1人的年龄在[30,35)内的概率为P(M)＝410＝25.4．[考点二、三](2017·贵阳模拟)为了增强消防安全意识，某中学做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取了50人，从女生中随机抽取了70人参加消防知识测试，统计数据得到如下的列联表：优秀非优秀总计男生153550女生3040

70总计4575120(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋dP(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.010k01.3

232.0722.7063.8415.0246.635解：(1)因为K2＝120×15×40－35×30250×70×45×75≈2.057，且2.057<2.706，所以没有90%的把握认为消防知识的测

试成绩优秀与否与性别有关．解：用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是645＝215，则抽取女生30×215＝4(人)，抽取男生15×215＝2(人)，抽取的同学分别记为B1，B2，B3，B4，C1，C2(其中C1，C2为男生)，从中随机抽取2名同学共有15种情况：(C1，B1)，(C1

，B2)，(C1，B3)，(C1，B4)，(C2，B1)，(C2，B2)，(C2，B3)，(C2，B4)，(C1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)．其中至少有一名是男生的事件为：(C1，B1)，(C1，B2)，(C1，B3

)，(C1，B4)，(C2，B1)，(C2，B2)，(C2，B3)，(C2，B4)，(C1，C2)，有9种情况．记“到校外宣传的同学中至少有1名是男生”为事件M，则P(M)＝915＝35.(2)为了宣传消防安全知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随

机选出6名组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他

等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解析：如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情

况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝2040＝12.故选B.答案：B2．(2016·全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在

另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12C.23D.56解析：从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的情况有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫

、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的情况有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝46＝23，故选C.答案：C3．(2016·全国甲卷)某

路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.310解析：如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至

少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为2540＝58，故选B.答案：B4．(2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，„，xn，y1，y2，„，yn，构成n个数对(x1，y

1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn解析：因为x1，x2，„，xn，y1，y2，„，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对

(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)都在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝m

n，所以π＝4mn.答案：C5．(2016·全国丙卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.1

8C.115D.130解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝

115.答案：C6．(2015·新课标全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.

15C.110D.120解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)

，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.答案：C7．(2014·新课标全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.78解析

：由题知所求概率P＝24－224＝78，选D.答案：D8．(2013·新课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.12B.13C.14D.16解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4

)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，共两种情况．故所求概率是26＝13.答案：B