【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 第三节 随机事件的概率 (含详解).ppt，共(42)页，978.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第三节随机事件的概率本节主要包括2个知识点：1.随机事件的频率与概率；2.互斥事件与对立事件.突破点(一)随机事件的频率与概率基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．事件的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S下重复n次试

验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的_____nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝____为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的__________稳定在某个常数

上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．次数频率fn(A)nAn考点贯通抓高考命题的“形”与“神”随机事件的频率与概率事件A发生的频率是利用频数nA除以试验总次数n所得到的值，且随着试验次数的增多，它在

A的概率附近摆动幅度越来越小，即概率是频率的稳定值，因此在试验次数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用频率来估计相应事件发生的概率．[典例](2017·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进

行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方

图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]发放金额50100150200(1)求这1000名购物者

获得优惠券金额的平均数；(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．[解](1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x0.3≤x<0.

50.5≤x<0.60.6≤x<0.80.8≤x≤0.9y50100150200频率0.40.30.280.02这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为：50×400＋100×300＋150×280＋200×201000＝96.[解]由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系，由(1)有

P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.(2)以这1000名购物者购物金额落在相应

区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示

购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×

√200√√√×300√×√×85√×××98×√××解：(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买

了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；解：与(1)

同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大

．(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？2．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选

择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说

明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用频率估计概率，可得所求概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为所用

时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；解：记事件A1，A2分

别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，故甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0

.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，故乙应选择L2.(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明

，他们应如何选择各自的路径．突破点(二)互斥事件与对立事件基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．概率的基本性质(1)概率的取值范围：.(2)必然事件的概率：P(A)＝.不可能事件的概率：P(A)＝.0

≤P(A)≤1102．互斥事件和对立事件事件定义概率公式互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不能__________的两个事件A与B称作互斥事件P(A∪B)＝__________；P(A1∪A2∪„∪An)＝______________________对立

事件在一个随机试验中，两个试验不会_____发生，并且一定_______发生的事件A和称为对立事件＝________同时发生P(A)＋P(B)P(A1)＋P(A2)＋„＋P(An)同时有一个1－P(A)考点贯通抓

高考命题的“形”与“神”事件关系的判断[例1](1)从1,2,3，„，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇

数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③[解析]③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一

奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．[答案]C(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D

．既不充分也不必要条件[解析]若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1，充分性成立．设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对

立事件，必要性不成立．故甲是乙的充分不必要条件．[答案]A[解析]“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，其概率为1－310＝710.[答案]A(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事

件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡[方法技巧]事件间的关系的判断方法(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪

几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立

事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．[方法技巧](3)从集合的角度上看：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝Ω(Ω为全集)．两事件互斥是两事件对

立的必要不充分条件．互斥事件、对立事件的概率[例2]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分

别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解](1)P(A)＝11000，P(B)＝101000＝1100，P(C)＝

501000＝120.故事件A，B，C的概率分别为11000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.因为A，B，C两两互斥，所以P

(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501000＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.[解]设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－

11000＋1100＝9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[方法技巧]求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求解法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)间接法：先求该

事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红

牌”与事件“乙分得红牌”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥事件但不是对立事件D．以上答案都不对解析：由互斥事件和对立事件的概念可判断，应选C.答案：C2．[考点一]抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C

．至多有2件正品D．至少有2件正品解析：因为“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又因为事件A为“至少有2件次品”，所以事件A的对立事件为“至多有1件次品”．答案：B3．[考点二]口袋中有100个大小相同的红球、白球、

黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为()A．0.45B．0.67C．0.64D．0.32解析：由题可知，摸出红球的概率为0.45，摸出白球的概率为0.23，故摸出黑球的概率P＝1－0.45－0.23

＝0.32.答案：D4．[考点二]围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.17B.1235C.1735D．1解析：设

“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.答

案：C5．[考点二]某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11

.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15

，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．解

：记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝15，P(

A2)＝10100＝110.则P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国甲卷

)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统

计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；解：事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值

为0.55.解：事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；解：由所给数据得保费0.85

aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保

人本年度平均保费的估计值为1.1925a.(3)求续保人本年度平均保费的估计值．2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意

度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2814106(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并

通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．解：B地区用户满意度评分的频率分布直方图如图所示．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A

地区用户满意度评分比较分散．解：A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0

.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．