【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 第二节 二项式定理 (含详解).ppt，共(42)页，536.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二节二项式定理本节主要包括2个知识点：1.二项式的通项公式及应用；2.二项式系数的性质及应用.突破点(一)二项式的通项公式及应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．二项式定理(1)二项展开式：公式(

a＋b)n＝________________________________________(n∈N*)叫做二项式定理．(2)二项式的通项：Tk＋1＝________为展开式的第_____项．2．二项式系数与项的系数(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数Crn(r∈{0，1，„，n})叫

做第r＋1项的二项式系数．C0nan＋C1nan－1b＋„＋Cknan－kbk＋„＋Cnnbnk＋1Cknan－kbk(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的系数是Crnan－rbr.考点贯通抓

高考命题的“形”与“神”求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量[例1](1)在二项式x2－1x5的展开式中，含x4的项的系数是()A．10B．－10C．－5D．20[解析](1)由二项式定理可知，展开式的通项为Cr5·(－1)rx

10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，所以含x4项的系数为C25(－1)2＝10，故选A.[答案]A[解析](2)∵Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－2x3r＝(－2)rCr5·x10－5r，由10－5r＝0，得r

＝2，∴T3＝(－2)2C25＝40.(3)Tr＋1＝Cr5(x)5－r·－axr＝Cr5(－a)rx5－2r2，由5－2r2＝32，解得r＝1.由C15(－a)＝30，得a＝－6.故选D

.[答案](2)C(3)D(2)(2017·武汉模拟)x2－2x35的展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40(3)已知x－ax5的展开式中含x32的项的系数

为30，则a＝()A.3B．－3C．6D．－6(4)x－124x8的展开式中的有理项共有________项．[解析](4)x－124x8的展开式的通项为Tr＋1＝Cr8·(x)8－r－124xr

＝－12rCr8x16－3r4(r＝0,1,2，„，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0,4,8，故共有3个有理项．[答案]3(5)二项式x3＋1x2n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为____

____．[解析]二项展开式的通项是Tr＋1＝Crnx3n－3rx－2r＝Crnx3n－5r，令3n－5r＝0，得n＝5r3(r＝0,1,2，„，n)，故当r＝3时，n有最小值5.[答案]5[方法技巧]二项展开式问题的常见类型及解法(1

)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．求解形如(a＋b)m

(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量[例2](1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A．－4B．－3C．3D．4[解析](1)法一：(1－x)6的展开式的通项为Cm6·(－

x)m＝Cm6(－1)mxm2，(1＋x)4的展开式的通项为Cn4·(x)n＝Cn4xn2，其中m＝0,1,2，„，6，n＝0,1,2,3,4.令m2＋n2＝1，得m＋n＝2，于是(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数等于C06·(－1)0·C24＋C16·(－1)1·C14＋C2

6·(－1)2·C04＝－3.法二：(1－x)6(1＋x)4＝[(1－x)(1＋x)]4(1－x)2＝(1－x)4(1－2x＋x)．于是(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数为C04·1＋C14·(－1)1·1＝－3.法三：在(1－x)6(1＋x)4的展开式中要出现x，可分为以下三种情况：①(

1－x)6中选2个(－x)，(1＋x)4中选0个x作积，这样得到的x项的系数为C26C04＝15；②(1－x)6中选1个(－x)，(1＋x)4中选1个x作积，这样得到的x项的系数为C16(－1)1C14＝－24；③(1－x)6中选0

个(－x)，(1＋x)4中选2个x作积，这样得到的x项的系数为C06C24＝6.故x项的系数为15－24＋6＝－3.[答案]B[解析]展开式中含x2的系数为C25＋aC15＝5，解得a＝－1.[答案]D(2)已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ＝()A．－4B．－3C．－2

D．－1[方法技巧]求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求

解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相

关的量[例3](1)(2017·湖北枣阳模拟)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60[解析](1)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C

25(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为Ck3(x2)3－k·xk＝Ck3x6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为C25C13＝30，故选C.[答案]C[解析]

x＋4x－43＝x－2x6展开式的通项是Ck6(x)6－k·－2xk＝(－2)k·Ck6(x)6－2k.令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项是C36(－2)3＝－160.[答案]－160(2

)(2016·安徽安庆二模)将x＋4x－43展开后，常数项是________．[方法技巧]求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看作(a＋b)与c两项的和；第二步，根

据二项式定理求出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和cr相乘得到的；第四步，把相乘后的项相加减即可得到特定项．能力练通抓应用体验的“得”

与“失”1．(2017·杭州模拟)x2－12x6的展开式中，常数项是()A．－54B.54C．－1516D.1516解析：Tr＋1＝Cr6(x2)6－r－12xr＝－12rCr6x12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.所以常数项为

－124C46＝1516.故选D.答案：D[考点一]2．在ax6＋bx4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3＝()A．20B．15C．10D．5解析：Tr＋1＝Cr4(ax6)4－r·bxr＝Cr4a4－r·brx24－7r，令

24－7r＝3，得r＝3，则4ab3＝20，所以ab3＝5.答案：D[考点一]3．(2016·厦门联考)在1＋x＋1x201510的展开式中，含x2项的系数为()A．10B．30C．45D．120解

析：因为1＋x＋1x201510＝1＋x＋1x201510＝(1＋x)10＋C110(1＋x)91x2015＋„＋C10101x201510，所以x2项只能在(1

＋x)10的展开式中，所以含x2的项为C210x2，系数为C210＝45.答案：C[考点三]4．[考点二](1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是()A．56B．84C．112D．168解析：(1

＋x)8的展开式中x2的系数为C28，(1＋y)4的展开式中y2的系数为C24，所以x2y2的系数为C28C24＝168.答案：D5．[考点二](x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为()A．5B．3C．2D．0解析：常数项为C22×22×C05＝4，x7的系数为C02

×C55(－1)5＝－1，因此x7的系数与常数项之差的绝对值为5.答案：A6．x2＋1x＋25(x>0)的展开式中的常数项为________．解析：x2＋1x＋25(x>0)可化为x2＋1x10，因而

Tr＋1＝Cr101210－r(x)10－2r，令10－2r＝0，则r＝5，故展开式中的常数项为C510·125＝6322.答案：6322[考点三]突破点(二)二项式系数的性质及应用基础联

通抓主干知识的“源”与“流”二项式系数的性质(1)对称性：当0≤k≤n时，_________.(2)二项式系数的最值：二项式系数先增后减，当n为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n为奇

数时，第n＋12项和第n＋32项的二项式系数最大，最大值为_______________.Ckn＝Cn－kn(3)二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋„＋Cnn＝，C0n＋C2n＋C4n＋„＝C1n＋C3n＋C5n＋„＝.2n2n－1考点贯通抓高考

命题的“形”与“神”二项展开式中系数和的问题赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)

对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋„＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a

3＋a5＋„＝f1－f－12.[例1]二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；(4)各项系数绝对值之和．[解]设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋„＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋

C29＋„＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋„＋a9，令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋„＋a9＝(2－3)9＝－1.[解](3)由(2)知a0＋a1＋a2＋„＋a9＝－1①，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a

2－„－a9＝59②，①＋②2得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a9|＝a0－a1＋a2－„－a9，令x＝1，y＝－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a9|＝a0－a1＋

a2－„－a9＝59，此即为各项系数绝对值之和．(3)所有奇数项系数之和；(4)各项系数绝对值之和．[易错提醒](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值

去掉，再进行赋值．二项式系数或系数的最值问题求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤：第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个

思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组ak≥ak

－1，ak≥ak＋1即可求得答案．[例2](1)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．29B．210C．211D．212(2)在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝()A．8B

．9C．10D．11[解析](1)由C3n＝C7n，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为29.(2)二项式中仅x5项系数最大，其最大值必为Cn2n，即得n2＝5，解得n＝10.[答案](1)A(2)C能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一](2017·福建漳州调研)已知

(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋„＋a9＋a10的值为()A．－20B．0C．1D．20解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋„＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋„＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C910×21×

(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋„＋a9＋a10＝20.答案：D2．[考点二](2017·广东肇庆三模)(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是()A．68y7B．112x3y4C．672x2y5D．1344x2y5解析：设第r＋1项系数最大，则有

Cr7·2r≥Cr－17·2r－1，Cr7·2r≥Cr＋17·2r＋1，即7！r！7－r！·2r≥7！r－1！7－r＋1！·2r－1，7！r！7－r！·2r≥7！r＋1！7－r－1！·2r＋1，即

2r≥18－r，17－r≥2r＋1，解得r≤163，r≥133.又∵r∈Z，∴r＝5.∴系数最大的项为T6＝C57x2·25y5＝672x2y5.故选C.答案：C3．

x＋13x2n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为()A．120B．210C．252D．45解析：由已知得，二项式展开式中各项的系数与二项式系数相等．由展开式中只有第6项的系数C52n最大，可得展开式有11项，即2n＝10，n＝5.x

＋13x10展开式的通项为Tr＋1＝Cr10x152－rx3r－＝Cr10x556－r，令5－56r＝0可得r＝6，此时常数项为T7＝C610＝210.答案：B[考点二]4．设5x－1xn的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中含x

的项为________．解析：由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，Tr＋1＝Cr4(5x)4－r－1xr＝(－1)r54－rCr4x342r－，令4－3r2＝1，得r＝2，则展开式中含x的项为T3＝150x.答案：150x[考点一][全国卷5年真题集中演练——明规律]1．

(2013·新课标全国卷Ⅰ)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8解析：根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，Cm2m＝a，(x＋y)2

m＋1的二项式系数最大有两项，Cm2m＋1＝Cm＋12m＋1＝b.又13a＝7b，所以13Cm2m＝7Cm2m＋1，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式，所以选择B.答案：B2．(2016·全国乙卷)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是___

_____．(用数字填写答案)解析：(2x＋x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(x)r＝25－r·Cr5·x5－r2.令5－r2＝3，得r＝4.故x3的系数为25－4·C45＝2C45＝10.答案：103．(2015·新课标全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展

开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a

1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，所以a＝3.答案：34．(2014·新课标全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cr8x8－r

yr，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系数为C78－C68＝8－28＝－20.答案：－205．(2014·新课标全国卷Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)解析

：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr10x10－rar，当10－r＝7时，r＝3，所以T4＝C310a3x7，则C310a3＝15，故a＝12.答案：12