【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算(含详解).ppt，共(25)页，530.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算名称定义备注向量既有_____又有_____的量；向量的大小叫做向量的_____(或称___)平面向量是自由向量零向量长度为__的向量；其方向是任意

的记作__大小方向长度模001．向量的有关概念名称定义备注单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01个单位相同相反平行相等相同相等相反向量运算

定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算_______法则____________法则(1)交换律：a＋b＝_____；(2)结合律：(a＋b)＋c＝___________三角形平行四边形b＋aa＋(b＋c)2.向量的线性运算向

量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差_______法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝______；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向_____；当λ＜0时，λa的

方向与a的方向_____；当λ＝0时，λa＝__λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝__________；λ(a＋b)＝___________三角形相同相反|λ||a|(λμ)aλa＋μaλa＋λb03.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得.

b＝λa1．下列四个命题中，正确的命题是()A．若a∥b，则a＝bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若|a|＝|b|，则a∥bD．若a＝b，则|a|＝|b|答案：D[小题体验]2．(教材习题改编)化简：(1)(AB―→＋MB―→)＋BO―→＋OM―

→＝________．(2)NQ―→＋QP―→＋MN―→－MP―→＝________．答案：(1)AB―→(2)03．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．答案：－131．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量

，导致错误．2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．1．若菱形ABCD的边长为2，则|AB―→－CB―→＋CD―→|＝________．解析：|AB―→－CB―→＋CD―→|

＝|AB―→＋BC―→＋CD―→|＝|AD―→|＝2．答案：2[小题纠偏]2．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件．解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|

，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q．若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即a＝λb，且λ>0，故q⇒/p．∴p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要考点一平面向量的有关概念[题组练透]1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个

向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0．假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况

：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．答案：D2．(易错题)给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB―→＝DC―→是四边形ABCD

为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c．其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．②正确．∵AB―→＝

DC―→，∴|AB―→|＝|DC―→|且AB―→∥DC―→，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB―→∥DC―→且|AB―→|＝|DC―→|，因此，AB―→＝DC―→．③不正确．当

a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②．答案：①②[谨记通法]向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反．

(3)单位向量：长度是一个单位长度．(4)零向量：方向没有限制，长度是0．(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第2题易混淆有关概念．考点二向量的线性运算[题组练透]1．(2017·武汉调研)设M为

平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则OA―→＋OB―→＋OC―→＋OD―→等于()A．OM―→B．2OM―→C．3OM―→D．4OM―→解析：因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以OA―→＋OC―→＝2OM―

→，OB―→＋OD―→＝2OM―→，所以OA―→＋OB―→＋OC―→＋OD―→＝4OM―→．答案：D2．(2017·唐山统考)在等腰梯形ABCD中，AB―→＝－2CD―→，M为BC的中点，则AM―→＝()A．12

AB―→＋12AD―→B．34AB―→＋12AD―→C．34AB―→＋14AD―→D．12AB―→＋34AD―→解析：因为AB―→＝－2CD―→，所以AB―→＝2DC―→．又M是BC的中点，所以AM―→＝12(AB―→＋AC―→)＝12(AB―→＋AD―→＋DC―→)＝12AB―→

＋AD―→＋12AB―→＝34AB―→＋12AD―→．答案：B3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC．若DE―→＝λ1AB―→＋λ2AC―→(λ1，λ2为实数)

，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE―→＝DB―→＋BE―→＝12AB―→＋23BC―→＝12AB―→＋23(BA―→＋AC―→)＝－16AB―→＋23AC―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝

12．答案：12[谨记通法]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表

示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较、观察可知所求．考点三共线向量定理的应用[典例引领]设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB―→＝a＋b，BC―→＝

2a＋8b，CD―→＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．解：(1)证明：∵AB―→＝a＋b，BC―→＝2a＋8b，CD―→＝3a－3b，∴BD―→＝BC―→＋CD―→＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB―→．∴AB―

→，BD―→共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb同向，∴存在实数λ(λ>0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb．∴(k－λ)a＝(λk－1)b．∵a，b是不共线的两个非零向量，k－λ＝0，λk－1＝0，解得

k＝1，λ＝1或k＝－1，λ＝－1，又∵λ>0，∴k＝1．[由题悟法]共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线

：若存在实数λ，使AB―→＝λAC―→，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[提醒]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[即时应用]如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE―→＝23AD―

→，AB―→＝a，AC―→＝b．(1)用a，b表示向量AD―→，AE―→，AF―→，BE―→，BF―→；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)延长AD到G，使AD―→＝12AG―→，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以AG―→＝a＋b，AD―→＝12AG―→＝12(a＋b)，AE―

→＝23AD―→＝13(a＋b)，AF―→＝12AC―→＝12b，BE―→＝AE―→－AB―→＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)，BF―→＝AF―→－AB―→＝12b－a＝12(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE―→＝23BF―→，又因为BE

―→，BF―→有公共点B，所以B，E，F三点共线．