【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例(含详解).ppt，共(29)页，517.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA―→＝a，OB―→＝b，则就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是_____________θ＝0°或θ＝180°⇔_____，______⇔a⊥b第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例∠AO

B0°≤θ≤180°a∥bθ＝90°2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量___________叫做a与b的数量积，记作a·b投影________叫做向量a在b方向上的投影，________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度

|a|与b在a的方向上的投影________的乘积|a||b|cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ3．向量数量积的运算律(1)a·b＝.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝．(3)(a＋b)·c＝.b·aa·(λb)a·c＋b·c结

论几何表示坐标表示模夹角cosθ＝_____cosθ＝______________a⊥b的充要条件____________________|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤_____|x1x2＋y1y2|≤________________x21＋y21|a

|＝______a·aa·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a||b|x21＋y21x22＋y22|a|＝________4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)1．已知|a|＝2，

|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ为()A．π6B．π3C．2π3D．5π6答案：D[小题体验]2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b＝_____．答案：－103．(2016·山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b

＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．解析：∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5．答案：－51．数量积运算律要

准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立．3．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．4．在用|a|＝a2求

向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．1．给出下列说法：①向量b在向量a方向上的投影是向量；②若a·b>0，则a和b的夹角为锐角，若a·b<0，则a和b的夹角为钝角；③(a·b)c＝a(b·c)；④若a·

b＝0，则a＝0或b＝0．其中正确的说法有________个．答案：0[小题纠偏]2．(2016·北京高考)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________．解析：由题意得|a

|＝1＋3＝2，|b|＝3＋1＝2，a·b＝1×3＋3×1＝23．设a与b的夹角为θ，则cosθ＝232×2＝32．∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6．答案：π6考点一平面向量的数量积的运算[题组练透]1．(易错题)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(

3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．(－15,12)B．0C．－3D．－11解析：∵a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3．答案：C2．已知AB―→＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB―→在CD―→方向

上的投影为()A．－322B．－35C．322D．35解析：因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD―→＝(5,5)，又AB―→＝(2,1)，所以向量AB―→在CD―→方向上的投影为|AB―→|cos〈AB―→，CD―→〉＝AB―→·CD―→|CD―→|＝1552＝322．答案：C3．已

知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________．解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝－22＋－62＝210，又|b|＝10，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝210×10×12＝10．答案：104

．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则AB―→·AD―→＝________．解析：法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝22，∴AB―→·AD―→＝AB―→·(AC―→＋C

D―→)＝AB―→·AC―→＋AB―→·CD―→＝|AB―→|·|AC―→|cos45°＋|AB―→|·|CD―→|cos45°＝22×2×22＋22×1×22＝6．法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，

B(－2,0)，D(－1,0)，∴AB―→＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，AD―→＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴AB―→·AD―→＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6．答案：6[谨记通法]向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量

的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y

1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题，如“题组练透”第1题易错考点二平面向量数量积的性质平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．常见的命

题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直．[锁定考向][题点全练]角度一：平面向量的模1．已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝12．若向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________．解析：∵e1·e

2＝12，∴|e1||e2e1，e2＝12，∴e1，e2＝60°．又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°．由b·e1＝1，得|b||e1|cos30°＝1，∴|b|＝132＝233．答案：233角度二：平面向量的夹角2．(2017·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|

＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为()A．π6B．π4C．π3D．2π3解析：∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－2a，b＝0，∴a，b＝22，∴a，b＝π4．答案：B3．(2017·江西八校联考)在△ABC中，AB―→＝(2，3)，

AC―→＝(1，2)，则△ABC的面积为________．解析：由题意得，(|AB―→|·|AC―→|)2＝(|AB―→|·|AC―→|·cos〈AB―→，AC―→〉)2＋(|AB―→|·|AC―→|·sin〈AB―→，AC―→〉

)2，即(|AB―→|·|AC―→|)2＝(AB―→·AC―→)2＋(|AB―→|·|AC―→|·sin〈AB―→，AC―→〉)2，∴|AB―→|·|AC―→|·sin〈AB―→，AC―→〉＝2－3，∴S△AB

C＝12|AB―→|·|AC―→|·sin〈AB―→，AC―→〉＝1－32．答案：1－32角度三：平面向量的垂直4．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13，若n⊥(tm＋n)

，则实数t的值为()A．4B．－4C．94D．－94解析：∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0．又4|m|＝3|n|，∴t×34|n|2×13＋|n|

2＝0，解得t＝－4．故选B．答案：B[通法在握]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosθ＝a·b|a|·|b|，要注意θ∈[0，π]．(2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a

·a＝|a|2或|a|＝a·a．②|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2．③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|．[演练冲关]1．(2017·合肥质检

)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝()A．2B．2C．22D．4解析：由a⊥(a－2b)得，a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0，则|a－b|＝a－b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|b|＝2，故选B．答案：B2．已知单位向量e1

与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________．解析：a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×13＝8．

∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×13＝9，∴|a|＝3．∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×13＝8，∴|b|＝22，∴cosβ＝a·b|a|·|b|＝83×22＝223．答案：2233．已知向量AB―

→与AC―→的夹角为120°，且|AB―→|＝3，|AC―→|＝2．若AP―→＝λAB―→＋AC―→，且AP―→⊥BC―→，则实数λ的值为________．解析：BC―→＝AC―→－AB―→，由于AP―→⊥BC―→，所以AP―→·BC―→＝0，即(λA

B―→＋AC―→)·(AC―→－AB―→)＝－λAB―→2＋AC―→2＋(λ－1)AB―→·AC―→＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×－12＝0，解得λ＝712．答案：712考点三平面向量与三角函数的综合[典例引领]已知函数f(x

)＝a·b，其中a＝(2cosx，－3sin2x)，b＝(cosx,1)，x∈R．(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b和c的值．解：(1)f(x)

＝a·b＝2cos2x－3sin2x＝1＋cos2x－3sin2x＝1＋2cos2x＋π3，令2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，所以f(x

)的单调递减区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．(2)∵f(A)＝1＋2cos2A＋π3＝－1，∴cos2A＋π3＝－1．又π3<2A＋π3＜7π3，∴2A＋π3＝π，即A＝π3．∵a＝7，由余弦定理得a

2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝7．①∵向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，所以2sinB＝3sinC．由正弦定理得2b＝3c，②由①②，可得b＝3，c＝2．[由题悟法]平面向量与三角函数的综合问题的

解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等．[即时应用](2

017·临沂模拟)已知向量m＝(sinα－2，－cosα)，n＝(－sinα，cosα)，其中α∈R．(1)若m⊥n，求角α；(2)若|m－n|＝2，求cos2α的值．解：(1)若m⊥n，则m·n＝0，即为－sinα(sinα－2)－cos2α＝0，即sinα＝12，可得α＝

2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k∈Z．(2)若|m－n|＝2，即有(m－n)2＝2，即(2sinα－2)2＋(2cosα)2＝2，即为4sin2α＋4－8sinα＋4cos2α＝2，即有8－8sinα＝2，可得sinα＝34，即有cos2α＝1－2si

n2α＝1－2×916＝－18．