【文档说明】2021年高中数学人教版必修第一册：1.1《集合概念及特征》精品讲义(含解析).doc，共(11)页，640.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1.1集合的概念及特征（精讲）思维导图考点一集合的判断【例1】（2020·浙江高一课时练习）下列四组对象中能构成集合的是（）.A．本校学习好的学生B．在数轴上与原点非常近的点常见考法C．很小的实数D．倒数等于本身的数【答案】D【解析】集合中的元素具有确定

性，对于,,ABC，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；对于D，符合集合的定义，D正确.故选：D.【一隅三反】1．（2020·全国高一）下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近3的实数的全体B．数学成绩比较好的同学C．小于20

的所有自然数D．未来世界的高科技产品【答案】C【解析】选项A、B、D中集合的元素均不满足确定性，只有C中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）下列对象能构成集合的是（）A．高一年级全体较胖的学生B．

比较接近1的全体正数C．全体很大的自然数D．平面内到ABC三个顶点距离相等的所有点【答案】D【解析】因为A中“较胖”、B中“接近”、C中“很大”均没有明确的标准，所以不能构成集合.D中元素能够成集合.故选：D【例2】（2020·全国高一课时练习）由实数22,,||,,xxxxx所组成的

集合中，含有元素的个数最多为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵2||xx，2||xx，故当0x时，这几个实数均为0；当0x时，它们分别是,,,,xxxxx；当0x时，它们分别是,,,,xxxxx.最多表示2个不同的数，故集合中

的元素最多为2个.故选：A本例题主要考查的是元素的确定性，即集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量，例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量。【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）已知x，y均不为0，即||||xyxy的所有可能取

值组成的集合中的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】当x，y同号时，原式的值是0；当x为正、y为负时，原式的值是2；当x为负、y为正时，原式的值是2.综上所述，||||xyxy的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3.故选：C

2．（2020·全国高三其他（文））已知集合{(,)|2,,}AxyxyxyN，则A中元素的个数为（）A．1B．5C．6D．无数个【答案】C【解析】由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1

),(2,0)}A，所以A中元素的个数为6.故选C3．（2020·全国高一）已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为A．1或－1B．1或3C．－1或3D．1，－1或3【答案】B【解析】因为5∈{1，m＋2，m2＋4}

，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所以m的值为3或1.考法二集合的表示方法【例2】（2020·全国高一）用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是

无限集.（1）到A、B两点距离相等的点的集合（2）满足不等式21x的x的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数本例题主要考查的是元素互异性，即一个集合中每个元素不能一样或重复（6）{(,)|6,,}xyxyxNyN

（7）方程()0,xxaaR的解集【答案】（1）集合{A点}PPAPB，无限集；（2）集合21Bxx，无限集；（3）集合2,CxxkkZ，无限集；（4）集合51,DxxkkZ，无限集；（5）集合2,3

,5,7,11,13,17,19E，有限集；（6）集合1,5,2,4,3,3,4,2,5,1F，有限集；（7）集合()0,GxxxaaR，有限集.【解析】（1）因为到A、B两点距离相等的点P满足PAPB，所以

集合{A点}PPAPB，无限集.（2）由题意可知，集合21Bxx，无限集.（3）因为偶数x能被2整除，所以集合2,CxxkkZ，无限集.（4）由题意可知，集合51,DxxkkZ，无限集.（5）因为20以内的质数有2，3，5，7，11，13

，17，19.所以集合2,3,5,7,11,13,17,19E，有限集.（6）因为6,,xyxNyN，所以方程的解为15xy，24xy，33xy，42xy，51xy

，所以集合1,5,2,4,3,3,4,2,5,1F，有限集.（7）由题意可知，集合()0,GxxxaaR，有限集.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：本例题主要考查集合的表示方法，列举法一般适用于有限

集合且元素个数少；描述法一般适用于有限集合但元素个数多或者无限集合（1）一年中有31天的月份的全体；（2）大于3.5小于12.8的整数的全体；（3）梯形的全体构成的集合；（4）所有能被3整除的数的集合；（5）方程(1

)(2)0xx的解组成的集合；（6）不等式215x的解集.【答案】（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）{3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}；（3）{|xx

是梯形}；（4）{|3,}xxnnZ；（5）{1,2}；（6）{|3}xx.【解析】（1）一年中有31天的月份的全体用列举法表示为{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}；（2）大于3.5小于12.8的整数的全体用列举法表示为{3,2,1,0

,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}；（3）梯形的全体构成的集合用描述法表示为{|xx是梯形}；（4）所有能被3整除的数的集合用描述法表示为{|3,}xxnnZ；（5）方程(1)(2)0xx

的解组成的集合用列举法表示为{1,2}；（6）不等式215x的解集用描述法表示为{|3}xx.2．（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314,328xyxy的解集；（2）方程2210xx的实数根组成的集合；（3）平面直

角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210yxx的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数2210yxx的图象上所有点的纵坐标组成的集合.【答案】（1）{(4,2)}；（2）2{|210}xxxR；（3）{(,)|0xy

x且0}y；（4）2{(,)|210}xyyxx；（5）2|210yyxx.【解析】（1）解方程组2314,328,xyxy得4,2,xy故解集可用描述法表示为4,(,)2xxyy

，也可用列举法表示为{(4,2)}.（2）方程2210xx有两个相等的实数根1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为2{|210}xxxR.（3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(,)|0xyx且0}y.（4）二

次函数2210yxx的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(,)xy，其中x，y满足2210yxx，则可用描述法表示为2{(,)|210}xyyxx.（5）二次函数2210yxx的图象上所有点的纵坐标组成的

集合中，代表元素y是实数，故可用描述法表示为2|210yyxx.考法三集合中元素的意义【例3】（2020·浙江高一课时练习）试说明下列集合各表示什么？1|Ayyx；2|2Bxyxx

；1,|Cxyyx,|13yDxyx；0,1Exy；1,1Fxyxy.【答案】答案见解析【解析】A表示y的取值集合，由1yx知：0y，0Ayy；B表示x的取值集合，由220xx知

：0x或2x，0Bxx或2x；C的代表元素为,xy，表示反比例函数1yx上的点构成的点集；D的代表元素为,xy，由13yx知：33yxx，D∴表示直线3yx上除了3

,0以外的点构成的点集；E表示以方程“0x”和“1y”为元素的一个二元集.F表示以方程“1xy”和“1xy”为元素的一个二元集.【一隅三反】1．（2020·上海高一课时练习）集合{(,)|0,,}xyxyxRyR„是指（）本例题考查的是集合中的元素的意义，元素的

意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端。A．第二象限内的所有点B．第四象限内的所有点C．第二象限和第四象限内的所有点D．不在第一、第三象限内的所有点【答案】D【解析】因为0xy，故00xy或00xy，故集合{(,)|0,,}xyxyxRyR„

是指第二、四象限中的点，以及在,xy轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.故选：D2．（2020·嫩江市高级中学高一月考）下列各组中的M、P表示同一集合的是()①3,1,3,1MP；②3,1,1,3MP；③

221,1MyyxPttx；④221,,1MyyxPxyyxA．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】对于①，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合.对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一

个集合.对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合M研究对象是函数值，集合P研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选C.考法四元素与集合的关系【例4】（2020·全国高一课时练习）用符号“”或“”填空：（1）2___

__N；（2）33______Q；（3）13______Z；（4）3.14______R；（5）3______N；（6）9_____Q.【答案】【解析】(1)N为自然数集，2是自然数，所以2N；(2)Q表示有理

数，33为无理数，所以33Q；(3)Z为整数集，13是分数，所以13Z；(4)R表示实数集，所以3.14R；(5)N为自然数集，-3不是自然数，所以3N；(6)Q表示有理数，93是有理数，所以9Q.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）用符号“”或“”填空：0__

____N；3______N；0.5______Z；2______Z；13______Q；______R.【答案】【解析】0是自然数，则0N；3不是自然数，则3N；0.5,2不是整数，则0.5,2ZZ；13是有

理数，则13Q；是无理数，则R故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)2．（2019·浙江湖州高一期中）设集合110Axxx，则（）A．AB．1AC．1AD．11A,

【答案】B【解析】集合1101,1Axxx，A，所以选项A错误，1A，所以选项B正确，1ÜA,1,1=A，所以选项C，D错误.故选：B3．（2020·浙江高一课时练习）已知集合{},23Axxa

∣„，则a与集合A的关系是（）.A．aAB．aAC．aAD．aA【答案】B【解析】21.414,31.732，∴233.146，故有23，∴aA.故选：B.考法五求参数【例

5】（2020·吴起高级中学高二月考（文））若22111aa，，，则a=（）A．2B．1或－1C．1D．－1【答案】D【解析】当212a时，1a，当1a时，集合为1,2,2不满足互异性，舍去，当1a时，集合为1,2,0，

满足；当12a时，1a，不满足互异性，舍去.故选：D.本例题考查元素与集合的关系，即蜗、，开口朝向集合背靠元素【一隅三反】1．（2020·上海高一课时练习）若集合2|320Axaxx中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．【答案】0a或98a【解析】因

为集合2|320Axaxx中至多有一个元素所以方程2320axx至多有一个根，当0a时解得23x，满足题意当0a时，980a，解得98a综上：0a或98a2．（2020·上海市进才中学高二

期末）已知集合22{2,(1),33}Aaaa，且1A，则实数a的值为________．【答案】1或0【解析】若211,a则0a或2,a当0a时，2,1,3A，符合元素的互异性；当2a时，2,1,1A，不符合元素的互异性，舍去

若2a3a31,则1a或2,a当1a时，2,0,1A，符合元素的互异性；当2a时，2,1,1A，不符合元素的互异性，舍去；故答案为：1或0.3．（2020·浙江高一课时练习）已知集合{}2|340Axaxx=?-=R.（1）若A中有两个元素，求实数a

的取值范围；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.【答案】（1）9{|16aa>-且0}a；（2）9{|16aa?或0}a.【解析】（1）由于A中有两个元素，∴关于x的方程2340axx--=有两个不等的实数根，本例题根

据题意求参数时，求完参数记得检验元素之间的互异性！！！∴9160a=+>，且0a，即916a>-，且0a.故实数a的取值范围是9{|16aa>-且0}a.（2）当0a时，方程为340x--=，43x，集合43A禳镲镲=-睚镲镲铪；当0a

时，若关于x的方程2340axx--=有两个相等的实数根，则A中只有一个元素，此时916a=-，若关于x的方程2340axx--=没有实数根，则A中没有元素，此时916a<-.综上可知，实数a的取值范围是9{|16aa?或0}

a.