【文档说明】(新高考数学)高考一轮复习核心考点讲与练考点11《 复数》(解析版） .doc，共(14)页，588.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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考点11复数（核心考点讲与练）1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭

⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ→对应的复数为z＝a＋bi，则向量OZ→的长度叫做复数z＝a＋bi的模|z

|＝|a＋bi|＝a2＋b22.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)

.(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a

－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝ac＋bd＋（bc－ad）ic2＋d2(c＋di≠0

).1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.3.复数z＝a＋b

i(a，b∈R)Z(a，b)OZ→＝(a，b).4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.5.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法

.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化

简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.复数的概念1.（2021届广东省

七校第三次联考）复数2ii的虚部是（）A.2iB.iC.2D.1【答案】C【分析】利用复数的乘法运算化简复数2ii，再根据复数虚部的定义求解即可.【详解】因为2+ii12i，所以虚部为2.故选：C.2.（2022广东省深圳市高三质量评估）若复数1iiiza

为纯虚数，则实数a的值为（）A.1B.12C.0D.1【答案】A【分析】根据复数运算规则及纯虚数的定义，化简求解参数即可.【详解】化简原式可得：22212i1ii1iiii11aaaazaaaz为纯虚数时，221021aaaa，

≠0即1a，选项A正确，选项BCD错误.故选A3.（多选题）复数z满足23i3i232iz，则下列说法正确的是（）A．z的实部为3B．z的虚部为2C．32izD．13z【答案】BD【分析】根据复数的除法运算化简求出32iz，再根据复数的定义、共轭复数的定义和复数的模的

运算，分别求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，即可判断得出答案.【详解】解：由于23i3i232iz，可得(23i)(32i)13i13i(23i)i(23i)32i23i23i(23i)(23i)z，所以z的实部为-3，虚部为2，所以32iz，

223213z.故选：BD.4.（2021广东省江门市蓬江区培英高中5月冲刺）已知i是虚数单位，若复数z满足2i1iz，则z（）．A.2B.2C.22D.4【答案】C【分析】先求出z，然后根据复数的模求解即可【详解】2i1iz，2i1i22i

z，则4422z，故选：C复数的运算1.（2020福建宁德市六校联考）已知复数212izi，则z（）A．43iB．43iC．iD．i【答案】C【分析】由题意利用复数除法的运算法则计算z的值即可

.【详解】2(2)(12)512(12)(12)5iiiiziiii，故选：C．2.（2021浙江省舟山中学高三10月月考）若2iz，则z=___________，2iizz__________；【答案】①.5②.15i13；【分析】根

据复数的模的公式和复数的运算即可求出答案.【详解】因为2iz，所以22215z；2i5i2i2i2i210ii2i2ii5i5i5i26zz

15i13.故答案为：5；15i13.3.（2021福建省高三高考考前练习卷）法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式cosisincosisinnxxnxnx推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4ππcosisi

n88（）．A.1B.iC.1D.i【答案】B【解析】【分析】根据已知条件将4ππcossin8i8化成iππcossin22，根据复数的运算即可.【详解】根据公式得4iiiππππcossinc

ossin8822，故选：B．复数的几何意义1.（2021重庆市南开中学高三下学期质量检测）已知方程210(,)axbxabR在复数范围内有一根为1i，则复数zabi在复平面上对应的点在（）A.第一象限B.第二

象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【分析】把1i代入已知方程，结合复数的运算及复数相等条件求得a，b，再由复数的几何意义可得选项.【详解】因为方程210(,)axbxabR在复数范围内有一根为1i，所以21110iabi，整理得2+10abib，所以

112ab，，所以12zabii，所以复数zabi在复平面上对应的点在第四象限，故选：D.2.（2022湖南省湘潭市高三一模）已知i为虚数单位，复数112iz，22iz，则复数12zz对应的复平面上的点位于（）A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】由复数的乘法运算得1243izz，再根据几何意义求解即可.【详解】因为1212i2i43izz，所以12zz对应的复平面上的点为4,3，它位于第四象限．故选：D．3.（2022重庆市第十一中学高三9月月考）在复平面内

，复数2i1i对应的点的坐标为（）A.(1,1)B.(1,1)C.(1,i)D.(i,1)【答案】A【分析】根据复数的乘除法运算可得2i1i1i，结合复数的几何意义即可得出结果.【详解】由

22i1+i2i2i2i1i1i1i1+i2，则复数2i1i对应的点的坐标是11，，故选：A1.（2021年全国高考乙卷）设2346zzzzi，则z（

）A.12iB.12iC.1iD.1i【答案】C【分析】设zabi，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z.【详解】设zabi，则zabi

，则234646zzzzabii，所以，4466ab，解得1ab，因此，1zi.故选：C.2.（2021年全国高考甲卷）已知2(1)32izi，则z（）A.312iB.312iC.32iD.32i

【答案】B【分析】由已知得322izi，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232izizi，32(32)23312222iiiiziiii.故选：B.3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z=1+i，则|z2–2z

|=（）A.0B.1C.2D.2【答案】D【分析】由题意首先求得22zz的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：2212zii，则222212zzii.故2222zz.故选：D.4.【2020年高考全国III卷理数】复数113i的虚部是（）A

.310B.110C.110D.310【答案】D【分析】利用复数的除法运算求出z即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010iziiii，所以复数113zi的虚部为310.

故选：D.5.【2020年新高考全国Ⅰ】2i12i（）A.1B.−1C.iD.−i【答案】D【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】2(2)(12)512(12)(12)5iiiiiiii

故选：D6.【2020年高考全国II卷理数】设复数1z，2z满足12||=||=2zz，123izz，则12||zz=__________.【答案】23【分析】方法一：令1,(,)zabiaRbR，2,(,)zcdi

cRdR，根据复数的相等可求得2acbd，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数12z,z所对应的点为12Z,Z,12OPOZOZ,根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形12OZPZ为菱形，12OZOZ2OP，进而根据复数的减法的几何意义用几何方

法计算12zz.【详解】方法一：设1,(,)zabiaRbR，2,(,)zcdicRdR，12()3zzacbdii，31acbd，又12||=||=2zz，所以224ab，224cd，222222

()()2()4acbdacbdacbd2acbd12()()zzacbdi22()()82acbdacbd8423.故答案为：23.方法二

：如图所示，设复数12z,z所对应的点为12Z,Z,12OPOZOZ,由已知12312OZOZOP,∴平行四边形12OZPZ为菱形，且12,OPZOPZ都是正三角形，∴12Z120OZ，222221212121||||||2||||cos120

22222()122ZZOZOZOZOZ∴1212z23zZZ.【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为

几何问题求解一、单选题1.（2022·河北唐山·一模）复数z在复平面内对应的点为1,2，则5z（）A.12iB.12iC.12iD.2i【答案】B【分析】由复数对应点可得z，根据复数除法运算可计算得到结果.【详解】z对应的

点为1,2，12iz，512i512i5512i12i12i12i5z.故选：B.2.（2022·海南·模拟预测）已知复数z满足(1i)2iz，则z的虚部为（）A.12B.12C.32D.32【答案】C【分析】化简得到13i

2z，从而得到z的虚部.【详解】2i1i2i13i1i1i1i2z，故z的虚部为32.故选：C3.（2022·福建漳州·二模）复数z满足55i2z，则z在复平面内对应的点所在的象限为（

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【分析】设复数i,Rzxyxy，由55i2z，利用其几何意义求解.【详解】解：设复数i,Rzxyxy，因为55i2z，所以22554

xy，即复数z表所对应的点在以（5，5）为圆心，以2为半径的圆上，所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.故选：A4.（2022·北京·模拟预测）在复平面内，复数21iz，则z的虚部是（）A.1B.1C.2D.2【答案】A【分析】利用复数的除法解题即可.【详解】由题

21i222i1i1i1i1i2z，所以z的虚部为1，故选：A5.（2022·湖北·一模）欧拉公式ecosisini（e为自然对数的底数，i为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指

数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则ie（）A.-1B.1C.-iD.i【答案】A【分析】根据题已知中欧拉公式ecosisini，直接计算可得答案.【详解】由题意得：ecosisin1

i，故选：A6.（2022江西省景德镇一中月考）在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为12i，3i，12i(i为虚数单位)，则点D对应的复数为（）A.35iB.1iC.13iD

.3i【答案】A【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解.【详解】由题知，1,2A，3,1B，1,2C，设,Dxy.则4,3AB，1,

2DCxy.因为ABCD为平行四边形，所以ABDC.由14,23xy，解得3,5xy，所以点3,5D对应的复数为35i.故选：A.二、多选题7.（2022·福建莆田·模拟预测）意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-15

76）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：第一步，把方程322100xaxaxa中的x用23ax来替换，得到方程30xpxq；第二步，利用公式

333223xyzxyzxyzxyzxyz将3xpxq因式分解；第三步，求得y，z的一组值，得到方程30xpxq的三个根：yz，2yz，2yz（其中

13i2，i为虚数单位）；第四步，写出方程322100xaxaxa的根：213axyz，2223axyz，2233axyz.某同学利用上述方法解方程3281

242550xxx时，得到y的一个值：1i，则下列说法正确的是（）A.232aB.2yzC.2132xD.313x【答案】ABC【分析】根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】32323215581242

5500248xxxxxx依题意可知2a是2次项系数，所以232a，A选项正确.第一步，把方程32321550248xxx中的x，用12x来替换，得32313121155640222428xxxxx

，第二步，对比3640xx与33330xyzxyz，可得334361iyzyzy，解得2,1iyzz，B选项正确.所以2222113i13i11i1

i332222zxay，C选项正确.2223113i13i11i1i332222axyz，D选项错误.故选：ABC8

.（2022·山东济宁·一模）已知复数12iz（i为虚数单位），复数2z满足212i2z，2z在复平面内对应的点为,Mxy，则（）A.复数1z在复平面内对应的点位于第二象限B.1121i55zC.22124xyD.21zz的最大值为32

2【答案】ABD【分析】利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，复数1z在复平面内对应的点

的坐标为2,1，该点位于第二象限，A对；对于B选项，1112i21i2i2i2i55z，B对；对于C选项，由题意可得212i12izxy，因为212

i2z，则22124xy，C错；对于D选项，112i33iz，则22112i3332z，所以，21212112i12i12i12i232zzzzzz

，D对.故选：ABD.9.（2022·重庆市求精中学校一模）复数z满足i2iz，则下列结论正确的是（）A.5zB.12ziC.z在复平面内对应的点位于第四象限D.2250zz【答案】AD【分析】首先化

简复数12zi，再根据复数的运算公式和定义判断选项.【详解】由i2iz可得221121iizii，5z，故A正确；12zi，故B错误；z在复平面内对应的点1,2位于第三象限，故C错误；2251442450zzii，故D正确．故

选：AD三、填空题10.（2022·天津·一模）复数34i2i___________.【答案】2i##i+2【分析】依据复数除法规则进行计算即可解决.【详解】2234i2i34i65i4i105i2i2i2i2

i4i5故答案为：2i