【文档说明】(新高考)高考数学二轮精品复习专题03《圆锥曲线中的中点弦问题》(解析版).doc，共(34)页，1.413 MB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-29070.html

以下为本文档部分文字说明：

专题03圆锥曲线中的中点弦问题一、单选题1．已知椭圆22134xy的弦被点(1,1)平分，那么这条弦所在的直线方程为（）A．4370xyB．4370xyC．3410xyD．3410xy【答案】A【分析】设出这条弦与椭圆的交点，将点代入椭圆

方程，两式作差求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解.【详解】设这条弦与椭圆22134xy交于11,Pxy，22,Qxy，由(1,1)在椭圆内，由中点坐标公式知122xx，122yy，把11,Pxy，

22,Qxy代入22134xy，可得221122221,341,34xyxy①②，①②可得1212860xxyy，121243yykxx，这条弦所

在的直线方程为4113yx，即为4370xy.则所求直线方程为4370xy.故选：A2．已知椭圆22:143xyC，过点11P，的直线l与椭圆C交于,AB两点，若点P恰为弦AB中点，则直线

l斜率是（）A．3B．13C．34D．43【答案】C【分析】设出,AB的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解.【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，则12122,2xxyy，则2211143xy，2222143

xy，两式相减得2222121243xxyy，所以1212121233234424yyxxxxyy，即直线l斜率是34.故选：C【点睛】方法点睛：一般涉及到弦的中

点和弦所在直线的斜率时，使用点差法解决.3．直线1ykx与椭圆2214xy相交于,AB两点，若AB中点的横坐标为1，则k=（）A．2B．1C．12D．1【答案】C【分析】代入消元得关于x一元二次方程，再用韦达定理即可.【详解】设

1122,,,AxyBxy把1ykx代入2214xy得221480kxkx，122814kxxk，因为AB中点的横坐标为1，所以24114kk，解得12k.故选:C【点睛】用韦达定理解决直线与圆锥曲线交点问题是常用的方法，需要注意直线与圆锥曲线是否有

交点，可用判断.4．已知抛物线2:4Cyx，以1,1为中点作C的弦，则这条弦所在直线的方程为（）A．210xyB．210xyC．230xyD．230xy【答案】A【分析】设过点1,1的直线交抛物线C于11,Axy、22,Bxy两点，可得出1

21222xxyy，利用点差法可求得直线AB的斜率，利用点斜式可得出直线AB的方程.【详解】设过点1,1的直线交抛物线C于11,Axy、22,Bxy两点.若直线AB垂直于x轴，则线段AB的中点在x轴上，不合乎题意.所以，直线AB的斜率存在，由于点

1,1为线段AB的中点，则121222xxyy，由于点11,Axy、22,Bxy在抛物线C上，可得21122244yxyx，两式作差得2212121212

4yyyyyyxx，所以，直线AB的斜率为12121242AByykxxyy，因此，直线AB的方程为121yx，即210xy.故选：A.【点睛】本题考查抛物线的中点弦问题，考查点差法的应用，同时也可以利用直线与抛物线方

程联立，结合韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.5．已知椭圆G：22221xyab(0ab)的右焦点为3,0F，过点F的直线交椭圆于A，B两点.若AB的中点坐标为1,1，则G的方程为（）A．2214536xyB．2213627xyC．22

12718xyD．221189xy【答案】D【分析】先设11,Axy，22,Bxy，代入椭圆方程，两式作差整理，得到2121221212yyyybaxxxx，根据弦中点坐标，将式子化

简整理，得到222ab，根据222abc且3c，即可求出结果.【详解】设11,Axy，22,Bxy，则22112222222211xyabxyab，两式相减并化简得2121221212yyyybaxxxx，又过点F的直线交椭圆

于A，B两点，AB的中点坐标为1,1，所以121222xxyy，12120131AByykxx，即22222201111213122bbabaa，由于222abc且3c，由此可解得2

18a，29b，故椭圆E的方程为221189xy.故选：D.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查中点弦问题，属于常考题型.6．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线26yx的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若AFBF5

，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．12B．1C．32D．2【答案】B【分析】本题先设11(,)Axy，22(,)Bxy两点，并判断线段AB的中点到y轴的距离为122xx，再求12xx，最后求解.【详解】解：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则线段AB的中点到y轴的距

离为：122xx，根据抛物线的定义：12AFBFxxp，整理得：12532xxAFBFp，故线段AB的中点到y轴的距离为：1212xx，故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义，是基础题.7．过椭圆2222:1(0)xyCab

ab的右焦点(2,0)F的直线与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的坐标为95,77，则C的方程为（）A．22195xyB．2215xyC．22162xyD．221106xy【

答案】A【分析】设,AB以及AB中点M坐标，利用“点差法”得到,ABMOkk之间的关系，从而得到22,ab之间的关系，结合2,0F即可求解出椭圆的方程.【详解】设1122,,,AxyBxy，则12xxAB的中点95,77M，所以5071927A

BMFkk，又2222221122222222bxayabbxayab，所以2222221212bxxayy，即2121221212yyyybxxxxa，而12121AByykxx，12125257

9927yyxx，所以2255199ba，又2c，所以22222254499cabaaa，所以2295ab，椭圆方程为：22195xy.故选：A.【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属

于基础题.8．已知椭圆2222:1(0)xyGabab的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（）A．2214536xyB．2213627xyC．2212718

xyD．221189xy【答案】D【分析】设出,AB两点的坐标，利用点差法求得,ab的关系式，结合222abc求得22,ab，进而求得椭圆E的方程.【详解】设1122,,,AxyBxy，则22

112222222211xyabxyab，两式相减并化简得2121221212yyyybaxxxx，即22222201111213122bbabaa

,由于222abc且3c，由此可解得2218,9ab，故椭圆E的方程为221189xy.故选：D.【点睛】本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.9．直线l过点(1,1)P与抛物线24yx交于,AB两点，若P恰为线段AB的中点，则直线l的斜

率为（）A．2B．2C．12D．12【答案】A【分析】利用点差法，21122244yxyx两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.【详解】设1122,,,AxyBxy，21122244yxyx，两式相减得2212124yyxx，即121

2124yyyyxx，当12xx时，1212124yyyyxx，因为点1,1P是AB的中点，所以122yy，24k，解得：2k故选：A【点睛】本题考查中点弦问题，重点考查点差法

，属于基础题型.10．已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为F，离心率22，过点F的直线l交椭圆于,AB两点，若AB中点为(1,1)，则直线l的斜率为（）A．2B．2C．12D．12【答案】C【分析】先根据已知得到222ab，再利用点差

法求出直线的斜率.【详解】由题得22222222,42,4()2,22ccaabaaba.设1122(,),(,)AxyBxy，由题得1212+=2+=2xxyy，，所以2222221122222222bxayabbxayab，两式相减得2212

121212()()a()()0bxxxxyyyy，所以2212122()2a()0bxxyy，所以221212()240()yybbxx，所以1120,2kk.故选：C【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点

差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.11．已知椭圆2222:1xyMab(0)ab，过M的右焦点(3,0)F作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为（）A．22196xyB．2214xyC．22

1123xyD．221189xy【答案】D【分析】设,AB以及AB中点P坐标，利用“点差法”得到,ABPOkk之间的关系，从而得到22,ab之间的关系，结合3,0F即可求解出椭圆的方程.【详解】设1122,,,AxyBxy，AB的中点2,1P，所以01132AB

PFkk，又2222221122222222bxayabbxayab，所以2222221212bxxayy，即2121221212yyyybxxxxa，而12121AByykxx，12122112

22yyxx，所以2212ba，又3c，∴22189ab，即椭圆方程为：221189xy.故选：D.【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.12．已知椭圆2217

525yx的一条弦的斜率为3，它与直线12x的交点恰为这条弦的中点M，则M的坐标为（）A．11,2B．11,22C．11,22D．11,22【答案】C【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,

)2My，设弦所在直线方程3yxb，结合椭圆方程可得122bxx即可求b，进而求M的坐标.【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)AxyBxy，:3AByxb，则将3yxb代入椭圆方程，

整理得：22126750xbxb，∴22123648(75)02bbbxx，而121xx+，故2b，∴:32AByx，又01(,)2My在AB上，则012y，故选：C【点睛】本题考查了求椭圆的弦中点坐标，应用了韦达定理、中点坐

标公式，属于基础题.13．已知椭圆E：222210xyabab，过点4,0的直线交椭圆E于A，B两点.若AB中点坐标为2,1，则椭圆E的离心率为（）A．12B．32C．13D．233【答案】B【分析】设1122,,,AxyBxy，代入椭圆

方程，利用点差法得到22221212220xxyyab，然后根据AB中点坐标为2,1，求出斜率代入上式，得到a，b的关系求解.【详解】设1122,,,AxyBxy，则22112222222211xyabxyab

，两式相减得：22221212220xxyyab，因为AB中点坐标为2,1，所以12124,2xxyy，所以2212122212122xxbyybxxyyaa

，又1212011422AByykxx，所以22212ba，即2ab，所以2312cbeaa，故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．已知椭圆2222:1(0)xyC

abab的离心率为32，直线l与椭圆C交于,AB两点，且线段AB的中点为2,1M，则直线l的斜率为（）A．13B．32C．12D．1【答案】C【分析】由椭圆的离心率可得a，b的关系，得到椭圆方程为22244xyb，设出A，B的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l的斜率

．【详解】解：由32cea，得2222234cabaa，224ab，则椭圆方程为22244xyb，设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，则124xx，122yy，把A，B的坐标代入椭圆方程得：22211222224444

xybxyb①②，①②得：12121212()()4()()xxxxyyyy，12121212414()422yyxxxxyy．直线l的斜率为12．故选：

C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．二、多选题15．已知椭圆C：22148xy内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（）A．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0）B．椭圆C的长轴长为22C．直

线l的方程为30xyD．433AB【答案】CD【分析】由椭圆方程22148xy可得焦点在y轴上，且22,2,2abc，即可判断AB；利用点差法可求出直线斜率，即可得出方程，判断C；联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长即可判断D.【详解】由椭圆方程2214

8xy可得焦点在y轴上，且22,2,2abc，椭圆的焦点坐标为0,2,0,2，故A错误；椭圆C的长轴长为242a，故B错误；可知直线l的斜率存在，设斜率为k，1122,,,AxyBxy，则22112222148148xyxy

，两式相减得12121212048xxxxyyyy，121224048xxyy，解得12121yykxx，则直线l的方程为21yx，即30xy，故C正确；联立直线与椭圆2230148xyxy

，整理得23610xx，121212,3xxxx，22143112433AB,故D正确.故选：CD.【点睛】易错点睛：已知椭圆方程，在求解当中，一定要注意焦点的位置，本题的焦点在y轴上，在做题时

容易忽略焦点位置，判断错误.三、填空题16．ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC边所在直线的方程为________．【答案】4x＋4y＋5＝0【分析】设B(x1，y1)，C

(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，先求出点M的坐标，再求出直线BC的斜率，即得解.【详解】设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，易知1(,0)2G，则12122132203xxyy从而1201

2012412xxxyyy，即1(,1)4M，又2211222,2yxyx，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率1212120022112BCyyk

xxyyyy故直线BC的方程为y－(－1)＝1()4x，即4x＋4y＋5＝0.故答案为：4x＋4y＋5＝0【点睛】方法点睛：圆锥曲线里与弦有关的问题常用点差法：先设出弦的端点坐标，再代入

圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点坐标和弦的斜率的关系.17．设A､B是椭圆22336xy上的两点，点(1,3)N是线段AB的中点，直线AB的的方程为__________.【答案】40xy

【分析】设出A，B点坐标，根据两点在椭圆上，代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，即可化简，求出直线AB的斜率，再根据斜率和直线上的定点坐标，写出点斜式方程．【详解】设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，则22111212121222223363()()()()0336xyx

xxxyyyyxy，依题意，1212123(),ABxxxxkyy．(1,3)N是AB的中点，122xx，126yy，从而1ABk.所以直线AB的方程为3(1)yx，即40xy．故答案为：40xy【

点睛】方法点睛：圆锥曲线里与中心弦有关的问题，常用点差法：首先设弦的端点坐标1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，再把点的坐标代入圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点和直线的斜率的关系式.18．已知椭圆2222:1(0)xyEabab，过点

（4，0）的直线交椭圆E于,AB两点.若AB中点坐标为（2，﹣1），则椭圆E的离心率为_______【答案】32【分析】设1122,,,AxyBxy，代入椭圆方程，两式作差，利用离心率公式即可求解.【详解】设1122

,,,AxyBxy，则2211221xyab，①2222221xyab，②①②可得12121212220xxxxyyyyab，因为AB中点坐标为（2，﹣1），则124xx，122yy，所以2122120121422yybxxa

，所以224ab，因为222bac，所以2234ac，所以32cea.故答案为：3219．已知双曲线方程是2212yx，过定点(2,1)P作直线交双曲线于12,PP两点

，并使P为12PP的中点，则此直线方程是__________________．【答案】47yx【分析】设111222(,),(,),PxyPxy得221122222222xyxy，两式相减化简得直线的斜率，即得直线的方程.【详解】由题得

2222xy，设111222(,),(,),PxyPxy所以221122222222xyxy，两式相减得121212122()()()()0xxxxyyyy，由题得12124,2xxyy，所以12128

()2()0xxyy，因为12xx，所以12124yykxx，所以直线的方程为14(2),yx即47yx.故答案为：47yx【点睛】方法点睛：点差法：圆锥曲线里遇到与弦的中点有关的问题，常用点差法.先设弦的端点111222(,),(,),PxyPx

y再代点的坐标到圆锥曲线的方程，再两式相减得到直线的斜率和弦的中点的关系式.再化简解题.20．已知椭圆E：221189xy过椭圆内部点1,1C的直线交椭圆于M，N两点，且MCCN则直线MN的方程为___________

__.【答案】230xy【分析】由已知条件得到C为MN的中点，利用中点坐标公式得到122xx，设出直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理得到21224412kkxxk即可得出结果.【详解】由MCCN，可知C为

MN的中点，又1,1C,不妨设直线MN的方程为：11ykx，设点1122,,,MxyNxy，则122xx，①将直线MN的方程代入椭圆的方程消y得：22211180xkx

，化简整理得：2222124424160kxkkxkk，由韦达定理得：21224412kkxxk，②由①②得：12k，所以直线MN的方程为：1112yx，即直线MN的方程为

：230xy.故答案为：230xy.【点睛】关键点睛：确定C为MN的中点以及直线与椭圆的方程联立利用韦达定理求解是解决本题的关键.21．已知双曲线2214xy和点3,1P，直线l经过点P且与双曲线相交于A、B两点，当P

恰好为线段AB的中点时，l的方程为______．【答案】3450xy【分析】设点11,Axy、22,Bxy，利用点差法可求得直线l的方程，进而可得出直线l的方程.【详解】设点11,Axy、22,Bxy，若直线lx轴，则A、B两点关于x轴对称，则点P在x轴

上，不合乎题意.由于3,1P为线段AB的中点，则12123212xxyy，可得121262xxyy，将点A、B的坐标代入双曲线的方程可得221122221414xyxy，上述两式相减

得222212124xxyy，可得2212221214yyxx，即1212121214yyyyxxxx，所以，12121134yyxx，所以，直线l的斜率为121234yyxx，因此，直线l的方程为3134yx

，即3450xy.故答案为：3450xy.【点睛】利用弦的中点求直线的方程，一般利用以下两种方法求解：（1）点差法：设弦的两个端点坐标分别为11,xy、22,xy，代点作差求得直线的斜率，进而利用点斜式可求得直线的方程；（2）设直线的点斜式方程，将直线方

程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理求得直线的斜率，进而可求得直线的方程.22．已知抛物线2:4,CxyAB为过焦点F的弦，过,AB分别作抛物线的切线，两切线交于点P，设112200(,),(,),(,)AxyBxyPxy，则下列结论正确的有___

_____．①若直线AB的斜率为-1，则弦8AB；②若直线AB的斜率为-1，则02x；③点P恒在平行于x轴的直线1y上；④若点(,)MMMxy是弦AB的中点，则0Mxx．【答案】①③④【分析】设PA的方程1124xxykx与抛物线方程2

4xy联立，利用判别式求出12xk，可得PA的方程，同理可得PB的方程,联立PA与PB的方程求出点P的坐标，可知④正确；设直线AB的方程为1ytx，与抛物线方程24xy联立，当1t时，利用韦达定理求出0x与0y可知②错误，③正确；当1t时，利用抛物线的定义和

韦达定理可得弦长||8AB，可知①正确．【详解】设PA方程1124xxykx与抛物线方程24xy联立得2211440xkxkxx，由2211Δ161640kkxx得12xk，PA方程为2111()42xxyxx，同理得PB

方程2222()42xxyxx，联立21112222()42()42xxyxxxxyxx，解得121224xxxxxy，所以交点P1212,24xxxx，即1202Mxxxx，所以④正确；

根据题意直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为1ytx，联立21040ytxxy，消去y并整理得2440xtx，由韦达定理得121244xxtxx，12014xxy，所以③正确；当t=-1时，12

022xxx，所以②错误，当t=-1时，根据抛物线的定义可得1212||(2()2)pAByyyypp12121124448xxxx，所以①正确．故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：设出切线方程，利用判别式

等于0，求出切线方程，联立切线方程求出交点P的坐标是解题关键.23．已知椭圆2222:1(0)xyEabab的半焦距为c，且3cb，若椭圆E经过,AB两点，且AB是圆222:(2)(1)Mxyr的一条直径，则直线AB的方程为_________.【答

案】240xy【分析】设1122(,),(,)AxyBxy，代入椭圆方程做差，根据直线的斜率公式及AB的中点M，求出直线斜率，即可得到直线方程.【详解】设1122(,),(,)AxyBxy,代入椭圆方程可得：2211221x

yab①，2222221xyab②，②①得：2212122121()()yybxxxxayy，由3cb可得22223abcb，即2214ba，又AB的中点M(2,1)，所以221212

2121()11(2)()42AByybxxkxxayy所以直线AB的方程为11(2)2yx，即240xy.故答案为：240xy【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，代入曲线方程后做差，

可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.24．椭圆221164xy的弦AB中点为(1,1)M，则直线AB的方程___________【答案】450xy【分析】设出,AB的坐标，利用点差法求解出直线AB的斜率，然后根据直线的点斜

式方程求解出直线AB的方程，最后转化为一般式方程.【详解】设1122,,,AxyBxy，所以22112222416416xyxy，所以1212121214xxyyyyxx，又因为1212122122xxyy

，所以12121242AByykxx，所以1=4ABk，所以1:114ABlyx，即450xy，故答案为：450xy.【点睛】思路点睛：已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程的

思路：（1）可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差；（2）得到中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.25．已知点P(1，2)是直线l被椭圆22148xy所截得的线段的中点，则直线

l的方程是_____.【答案】30xy【分析】设出直线与椭圆的交点，采用点差法进行分析，由此可求得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程则直线l的方程可求.【详解】设直线l与椭圆交于,AB两点，1122,,,AxyBxy，所以22112222148148xyxy

，所以222212124488xxyy，所以121212122xxyyyyxx，且121222,24PPxxxyyy，所以12122214lyykxx，所以:21lyx即30xy

，故答案为：30xy.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中点弦所在直线方程的求法，难度一般.已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程时，可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程

作差，由此可得中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.四、解答题26．已知椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为A、B，直线l与椭圆C交于M、N两点．（1）点P的坐标为1(1,)3，若MPPN，求直线l的方程；（2）若直线l过椭圆C的

右焦点F，且点M在第一象限，求23(MANBMAkkk、NBk分别为直线MA、NB的斜率）的取值范围．【答案】（1）931412yx；（2）[3,0).4【分析】（1）利用点差法，求直线的斜率，再求直线方程；（2）直线的斜率不存在时，求点,MN的坐标，得到NBMAkk的值，以

及当斜率存在时，直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系求NBMAkk的值，并将23MANBkk表示为MAk的二次函数，并求取值范围.【详解】解：（1）设1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，由题意可得P为线段MN的中点，由22112222143143xyxy两

式相减可得12121212()()()()043xxxxyyyy，而1(1,)3P，即有122xx，1223yy，则12122()2()049xxyy，可得121294yyxx，故直线l的方程为19(1)34yx，即931412yx

；（2）由题意可得(2,0)A，(2,0)B，(1,0)F，当直线l的斜率不存在时，3(1,)2M，3(1,)2N，12MAk，332MNBAkk．当直线l的斜率存在时，则l的斜率不为0

，设直线l的方程为(1)ykx，0k，与椭圆方程223412xy联立，可得2222(34)84120kxkxk，则2122834kxxk，212241234kxxk，所以2121121212112121212(1)(2)2()23·2(1)(2)()2NB

MAkyxkxxxxxxxkxykxxxxxxx22211222222112224128121822333434343412846()2343434kkkxxkkkkkkxxkkk，所以3NBMAkk，因为M在第一

象限，所以3(0,)2MAk，所以2221333333()[244MANBMAMAMAkkkkk，0)．【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程

联立，利用根与系数的关系解决几何问题.27．已知动圆M过点(2,0)F，且与直线2x相切．（Ⅰ）求圆心M的轨迹E的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l经过点F，且直线l与轨迹E交于点,AB，求线段AB的垂直平分线方程．【答案】（Ⅰ

）28yx；（Ⅱ）100xy.【分析】（Ⅰ）由题意得圆心M到点(2,0)F等于圆心到直线2x的距离，利用两点间距离公式，列出方程，即可求得答案.（Ⅱ）求得直线l的方程，与椭圆联立，利用韦达

定理，可得1212,xxxx的值，即可求得AB中点00(,)Pxy的坐标，根据直线l与直线AB垂直平分线垂直，可求得直线AB垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求得方程.【详解】（Ⅰ）设动点(,)Mxy，则22(2)|

2|xyx，化简得轨迹E的方程：28yx；（Ⅱ）由题意得：直线l的方程为：2yx，由228yxyx，得21240xx，2124140，设1122(,),(,)AxyBxy，AB中点00(,)Pxy则121212,4xxxx

，所以12062xxx，0024yx，又AB垂直平分线的斜率为-1，所以AB垂直平分线方程为100xy.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的几何性质，解题的关键是直线与曲线联立，

利用韦达定理得到1212,xxxx的表达式或值，再根据题意进行化简和整理，考查计算求值的能力，属基础题.28．已知椭圆222:1(1)xEyaa的离心率为22.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线:0lxym

与椭圆交于EF、两点，且线段EF的中点在圆22+1xy，求m的值.【答案】（1）2212xy；（2）355.【分析】（1）根据条件解关于,ac的方程组即可得结果；（2）设11,Exy，22

,Fxy，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理，可求得中点坐标，代入圆方程解得m的值.【详解】（1）由题意，得22221caac，解得21ac，故椭圆的标准方程为2212xy．（2）设11,Exy，22,Fxy，线段

EF的中点为00,Mxy．联立2212yxmxy，消去y得，2234220xmxm120223xxmx，003myxm，即2,33mmM，224

4322033mmm．又因为点M在圆221xy上，所以222133mm，解得355m，满足题意．【点睛】关键点睛：本题考查弦中点问题以及椭圆标准方程，解题的关键是熟悉中点坐标公式，本题中直线方程代入椭圆

方程整理后应用韦达定理求出12xx，求出中点坐标，再将其代入圆中求解，考查了学生的基本分析转化求解能力，属中档题.30．已知直线l与抛物线2:5Cyx交于,AB两点．（1）若l的方程为21yx，求

AB；（2）若弦AB的中点为6,1，求l的方程．【答案】（1）5134；（2）52280xy.【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解；（2）利用点差法求出直线斜

率，即可求出直线方程.【详解】设,AB两点的坐标分别为1122,,,xyxy．（1）联立25,21,yxyx得24910,0xx，因此121291,44xxxx，故222121291513

||12454444ABxxxx．（2）因为,AB两点在C上，所以2112225,5,yxyx两式相减，得2221215yyxx，因为12122yy，所以2121125

52AByykxxyy，因此l的方程为5(1)(6)2yx，即52280xy．【点睛】方法点睛：解决中点弦问题常用点差法求解，即将两交点设点代入曲线方程，两式相减利用平方差公式化简，将中

点坐标代入即可得出弦所在直线斜率.31．坐标平面内的动圆M与圆1C22:(4)1xy外切，与圆222:(4)81Cxy内切，设动圆M的圆心M的轨迹是曲线，直线0l:45400xy.（1）求曲线的方程

；（2）当点M在曲线上运动时，它到直线0l的距离最小？最小值距离是多少？（3）一组平行于直线0l的直线，当它们与曲线E相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？【答案】（1）2

21259xy；（2）点9(4,)5M到直线0l的距离最小，距离最小为154141；（3）在同一直线，直线为：9200xy.【分析】（1）利用两个圆外切与内切的性质可得12||||10MCMC，再利用椭圆的定义即可求得曲线的方程；（2）设与0l平行

的直线l的方程为450xym，代入221259xy，整理可得222582250xmxm，当222500360m，直线l与曲线相切，此时点9(4,)5M到直线0l的距离最小，利用点到线距离公式求得最小值.（3）设两个交点为1122(,),(,)A

xyBxy，利用点差法化简得12121212925yyxxxxyy，即49525xy，整理得9200xy.【详解】解：（1）设动圆M的半径为r，由题意可知12||1,||9MCrMCr，则1212||

||10||8MCMCCC，根据椭圆的定义可知曲线是以12,CC为焦点，长轴长为10的椭圆，其中210,28ac，即225,4,543acb所以曲线的方程为：221259xy.（2）设与0l平行的直线

l的方程为450xym，即455myx，代入221259xy，可得224925()22555mxx，整理得222582250xmxm，22264100(225)2250036mmm，当0时，此时25m直线l与曲线相切，根

据图形可知当25m时，点9(4,)5M到直线0l的距离最小，min229|4(4)540|154154145d.（3）这些直线被椭圆所截得的线段的中点在同一条直线上设与0l平行的直线与曲线的两交点坐标为1122(,),(,)AxyBxy，中点(,)Nxy，2211222212

591259xyxy，两式作差得222212120259xxyy，整理可得：12121212925yyxxxxyy，即49525xy，整理得9200xy，即所有弦的中点

均在直线9200xy上.【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的标准方程，椭圆上点到直线的最近距离，点差法的应用，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方

程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．32．已知椭圆22122:1(0xyCabab）的长轴长为8，一条准线方程为167,7x与椭圆1C共焦点的双曲线2,C其离心率是椭圆1C的离心率的2倍.（1）分别求椭圆1C和双曲线2C的标准方程；（2）

过点M(4，1)的直线l与双曲线2,C交于P，Q两点，且M为线段PQ的中点，求直线l的方程.【答案】（1）221169xy；22143xy；（2）3110xy【分析】（1）根据椭圆的长轴长以及准线方程求出4a，7c，进而求出223bac，即求椭圆的方程，求出椭圆

的离心率，可得双曲线的离心率，结合与椭圆共焦点即可求出双曲线的标准方程.（2）设11,Pxy，22,Qxy，利用点差法求出直线的斜率即可求解.【详解】（1）椭圆22122:1(0xyCabab）的长轴长为28a，则4a，

一条准线方程为1677x，则21677ac，解得7c，所以221673bac，所以椭圆1C的标准方程为221169xy，离心率174cea设双曲线的标准方程为2211221110,0xyabab

，则222117cab，又离心率为72，则1772a，解得12a，所以2211743bca，所以双曲线2C的标准方程为22143xy.（2）设11,Pxy，22,Qxy，22112222143143xyxy

，两式作差可得1212121211043xxxxyyyy，12121182043xxyy，即12123yyxx，所以直线l的斜率为3，所以直线l的方程为

134yx，即3110xy.【点睛】关键点点睛：根据中点弦求直线方程，关键是利用“点差法”求出直线的斜率，考查了计算求解能力.33．椭圆C：2222122xymmm，直线l过点1,1P，交椭圆于A､B两点，且P为AB的中点

.（1）求直线l的方程；（2）若5ABOP，求m的值.【答案】（1）230xy；（2）3m【分析】（1）设11,Axy，22,Bxy，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，利用弦长公式

212122114AByyyyk，求m的值.【详解】（1）222113122mmm，2m，点P在椭圆里面，设11,Axy，22,Bxy，则2211222222221212xymmxymm，两式相减可得222212122202xxyymm

，变形为121212122202xxxxyyyymm，①点1,1P是线段AB的中点，12122,2xxyy，并且有椭圆对称性可知120xx，由①式两边同

时除以12xx，可得，1222122202yymmxx，设直线AB的斜率为k，120k，解得：12k，所以直线l的方程1112302yxxy；（2）22112OP，222

212230xymmxy，22612920yym，可得122yy，212926myy，21212211410AByyyyk，化简为2292144103m，且2m解得：3m【点睛】方法点

睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.34．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的焦点为(0,3)、(0,3)，实轴长

为22.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点()1,1Q的直线l与曲线C交于M，N两点，且恰好为线段MN的中点，求线段MN长度.【答案】（1）2212yx；（2）30.【分析】（1）根据双曲线的定义3c，2a，即可求出双曲线的方程

；（2）先根据点差法求直线l的方程，再根据弦长公式即可求出.【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,3)、(0,3)，实轴长为22，则2a，3c，而222321bca，双曲线C的标准方程2212yx；（2）设点1(Mx

，1)y，2(Nx，2)y，点()1,1Q恰好为线段MN的中点，即有122xx，122yy，又221122221212yxyx，两式相减可得121212121()()()()2yyyyxxxx，12122yyxx

，直线l的斜率为2k，其方程为12(1)yx，即21yx，由222122yxyx，即22410xx，可得1212xx，则22121212?()454230MNxxxx.【点睛】本题考查了双曲线的方程

，直线与双曲线的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.35．已知双曲线2212yx.（1）倾斜角45°且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于M，N两点，求MN.（2）过点(2,1)A的直线l与此双曲线交于1P，2P两点，求线段12PP中点P的轨迹方程；（3）过点(1,1)

B能否作直线m，使m与此双曲线交于1Q，2Q两点，且点B是线段12QQ的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.【答案】（1）8（2）22240xyxy（3）不存在，理由见解析【分析】（1）直线斜率为1，写出直线方程与双曲线联立，由韦达定理即弦

长公式求解；（2）设11(Px，1)y，22(Px，2)y，(,)Pxy，则221122xy，222222xy，两式相减，利用P是中点及斜率相等可求P得轨迹方程，从而得到其轨迹；（3）假设直线l存在．由已知条件利用点差法求出直线l的方程为2

10xy，联立方程组2222210xyxy，得22430xx，由80，推导出直线m不存在．【详解】（1）由双曲线2212yx知，右焦点为(3,0)，由直线倾斜角45°可知直线斜率为1，所以直线方程为：yx3，联立22312yx

yx可得22350xx，设1122(,),(,)MxyNxy，则0且1223xx，125xx，所以2212||11||2(23)4(5)8MNxx（2）设11(Px，1)y，22(Px，2)y，

(,)Pxy，则122xxx，122yyy，221122xy，222222xy，12124()2()0xxxyyy，直线12PP的斜率12122yyxkxxy，12APykx，A，P，1P，2P共线，122yxxy，22240xyxy，

即线段12PP的中点P的轨迹方程是22240xyxy．（3）假设直线m存在．设(1,1)B是弦12QQ的中点，且11(Qx，1)y，22(Qx，2)y，则122xx，122yy．1Q，2Q在双曲线上，2211222

22222xyxy，121212122()()()()0xxxxyyyy，12124()2()xxyy，12122yxykx，直线m的方程为12(1)yx，即210xy，联立方程组2222210x

yxy，得22430xx△1643280，直线m与双曲线无交点，直线m不存在．【点睛】关键点点睛：在直线与双曲线相交问题中，涉及弦及弦中点的问题，可以采用“点差法”，可以简化运算，降低运算难度.