【文档说明】(新高考)高三数学第三次模拟考试卷四(解析版，A3版).doc，共(8)页，860.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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（新高考）高三第三次模拟考试卷数学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合22740Axxx∣，3Bxx，则AB（）A．2,3B．2,3C．1,22D．1,32【答案】D【解析】由22740xx，即(21)(4)0xx，得1

42x，集合1,42A，由3x，得29x，即33x，集合3,3B，由数轴表示可得1,32AB，故选D．2．设复数z满足23i1iz，则z

（）A．12B．22C．32D．1【答案】D【解析】223i1i12ii2iz，2i3ii3i2i13i2223i3i3iz，因此，2213122z，故选D．3．关于命题，下

列判断正确的是（）A．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C．命题“4,xxRR”的否定为“400,xxRR”D．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”【答案

】C【解析】A选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A错；B选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B错；C选项，命题“4,xxRR”的否定为“400,xxRR”，故C正确；D选项，命题“每个整数都是有理数”

的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D错，故选C．4．已知函数,(0)23,0xaxfxaxax，满足对任意12xx，都有12120fxfxxx成立，则a的取

值范围是（）A．0,1aB．3,14aC．30,4aD．3,24a【答案】C【解析】由题意，函数fx对任意的12xx都有12120fxfxxx成立，即函数,(0)23,0x

axfxaxax为R上的减函数，可得0120123aaaa，解得304a，故选C．5．函数2sin1fxx的奇偶性为（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A．奇函数B．既是奇函数也是偶函数C．偶函数D．非

奇非偶函数【答案】D【解析】由2sin10x，即sin12x，得函数定义域为52π,2ππ66π()kkkZ，此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数，故选D．6．已知点P是ABC△所在平面

内一点，且PAPBPC0uuruuruuur，则（）A．1233PABABCB．2133PABABCC．1233PABABCD．2133PABABC【答案】D【解析】由题意，PABAPB，PAACPC，而PAPB

PC0uuruuruuur，∴3PABAAC0，又ACBCBA，即32PABABC0，∴2133PABABC，故选D．7．已知实数x、y满足约束条件001xymxyxy，其中1m，若目标函数yyxm的最大值为2，则m（）

A．2B．2或32C．2或12D．32【答案】A【解析】因为实数x、y满足约束条件001xymxyxy，所以可根据约束条件绘出可行域，如图所示，其中1,11mAmm，11,22B

，,0Pm，因为目标函数yzxm的几何意义是可行域内的点,xy与,0Pm所连直线的斜率，所以目标函数yzxm的最大值为2，即1211PAmmkmm，整理得22320mm，解得2m或1

2（舍去），故选A．8．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（）A．630种B．600种C．540种D．480种【答案】C【

解析】把6名工作人员分成1，1，4三组，再安排到三个村有1143654322CCC651A32190A21种；把6名工作人员分成2，2，2三组，再安排到三个村有2223642333CCCAA90种；把6名工作人员

分成1，2，3三组，再安排到三个村有12336533654CCCA32136021种，所以共有9090360540种，故选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：11(,)xy，22(,)xy，…，(,)nnxy，则下列说法中正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程ybxa$$$必过样

本中心,xyB．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为09362r．，则变量y和x之间具有线性相关关系【答案】ABD【解析】A．由样本数据得到的回归方程ybxa

$$$必过样本中心,xy，故正确；B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；D．若变量y和x之间的相关系数为09362r．，r的绝对值接近于1，则变量y和x之间具有线性相关关系，故

正确，故选ABD．10．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是

（）A．该截角四面体的表面积为273aB．该截角四面体的体积为323212aC．该截角四面体的外接球表面积为211π2aD．该截角四面体中，二面角ABCD的余弦值为13【答案】ABC【解析】如图所示：由正四面体SNPQ中，题中截角四面体由4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六

边形构成，故222334467344Saaa，A正确；∵棱长为a的正四面体的高63ha，∴223136136232(3)(3)434334312Vaaaaa，B正确；设外接球的球心为O，ABC△的中心为O，NPQ△的中心为O，∵截角

四面体上下底面距离为626633aaa，∴2222263ROCROHa，∴22222633aRRaa，∴22222633aRaRa，∴2222222846333aRaRaaRa

，∴22118Ra，∴22114ππ2SRa，C正确；易知二面角SBCA为锐角，所以二面角ABCD的余弦值为负值，D错误，故选ABC．11．已知等比数列na的公比23q，等差数列nb的首项112b，若99ab且1010ab，则以下结论正确的有（）A．9100a

aB．910aaC．100bD．910bb【答案】AD【解析】数列na是公比q为23的等比数列；nb是首项为12，公差设为d的等差数列，则8912()3aa，91012()3aa，∴21791012()30aaa，故A正确；∵a1正负不确定

，故B错误；∵a10正负不确定，∴由1010ab，不能求得b10的符号，故C错误；由99ab且1010ab，则812()1283ad，912()1293ad，可得等差数列nb一定是递减数列，即0d，即有910bb，故D正确，故选A

D．12．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线22xy的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为11(,)Axy，22(,)Bxy，则（）A．1214yyB．以AB为直径的圆与直线12y=-相切C．OAOB的最小值22D．经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定

直线上【答案】ABD【解析】抛物线的焦点为10,2，设直线AB的方程为12ykx，联立2122ykxxy，可得2210xkx，所以122xxk，121xx，21212121yykxx

k，2121212121111122244yykxkxkxxkxx，故A正确；以AB为直径的圆的圆心为1212,22xxyy，即21,2kk，半径为2121122AByyk，所以圆心

到直线12y=-的距离为2211122kk，等于半径，所以以AB为直径的圆与直线12y=-相切，即B正确；当直线AB与x轴平行时，52OAOB，522OAOB，所以OAOB的最小值不是22，故C错误；直

线OA的方程为1112yxyxxx，与2xx的交点坐标为122,2xxx，因为12122xx，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点在定直线12y=-上，故D正确，故选ABD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．二

项式622xx的展开式中，常数项为_________．【答案】60【解析】二项式622xx的展开式通项为6336221662C12C2rrrrrrrrxTxx

，令3302r，解得2r=，则常数项为222612C60，故答案为60．14．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2222bca，则cosA的最小值为________．【答

案】12【解析】22222222221cos222bcaaaaAbcbca，当且仅当bca时等号成立，故答案为12．15．过圆222:0Oxyrr外一点2,0引直线l与

圆O相交于A，B两点，当AOB△的面积取最大值时，直线l的斜率等于33，则r的值为_________．【答案】2【解析】211sinsin22AOBSOAOBAOBrAOB△，当90AOB时，AOB△的面积最大，此时

圆心O到直线AB的距离22dr，设直线AB方程为2ykx，213k，则22221kdrk，所以2224112krk，再将213k代入，求得2r．故答案为2．16．设函数21()xfxx，()xxgxe，则函数()(0)x

xgxxe的最大值为_______；若对任意1x，2(0,)x，不等式121gxfxkk恒成立，则正数k的取值范围是_________．【答案】1e，121ke【解析】()0xxgxxe，21()x

xxxxexexgxee，由()0gx，可得01x，此时函数()gx为增函数；由()0gx，可得1x，此时函数()gx为减函数，()gx的最大值为1(1)ge；若对任意1x，2(0,)x，不等式121gxfx

kk恒成立，则等价为121gxkfxk恒成立，2111()22xfxxxxxx，当且仅当1xx，即1x时等号成立，即()fx的最小值为2，且()gx的最大值为1(1)ge，则12()()gxfx的最大值为1122ee，则由11

2kke，得211ke，即121ke，故答案为1e，121ke．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在ABC△中，角A，B，C所

对的边分别为a，b，c，满足3sincos3AAcb．（1）求角B的大小；（2）若2ac，求b的取值范围．【答案】（1）π3B；（2）1,2b．【解析】（1）由3sincos3AAcb，得

3sinsinsin3sincosCBABA，∴3sinsinsin3sincosABBABA，∴3sincos3cossinsinsin3sincosABABBABA，所以3sincossinsinABAB，∴tan3B，∵

0,πB，∴π3B．（2）∵2ac，π3B，∴222222cosacbcccaBaa223434312acacacac（当且仅ac时取等号），又2b

ac，∴1,2b．18．（12分）已知各项均为正数的等差数列na满足11a，22112()nnnnaaaa．（1）求na的通项公式；（2）记b=11nnaa，求数列nb的前n项和Sn．【答案】（

1）21nan；（2）2112nnS．【解析】（1）由题意，得22112nnnnaaaa，即1112nnnnnnaaaaaa，又数列na的各项均为正数，

即10nnaa，则12nnaa，∴na的公差为2，而11a，故21nan．（2）由（1）知111212122121nnnnnbaann，∴12131537521212nnSb

bbnn2112n．19．（12分）某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y的频数分布表．y的分组[0.4,0.2)

[0.2,0)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示）；（2）估计这120个企业产值增长率的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）以表中y的分组中各组的频率为概率，

某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查．若采访的企业的增长率[0.4,0.2)y，则采访价值为1；采访的企业的增长率[0.2,0)y，则采访价值为2；采访的企业的增长率[0,0.6)y，则

采访价值为3．设选取的两个企业的采访价值之和为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）45%；（2）0.02；（3）分布列见解析，235．【解析】（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为3024100%45%120．（2）这120个企业产值增长率的平均数1(0.3

300.1240.1400.3160.510)0.02120y．（3）依题意可得[0.4,0.2)y的概率为3011204，[0.2,0)y的概率为2411205，[0,0.6)y的概率为4016101

112020．X的所有可能取值为2，3，4，5，6，111(2)4416PX；111(3)24510PX；1111163(4)242055200PX；11111(5)252050PX；1111121(6)202

0400PX，则X的分布列为X23456P116110632001150121400故11631112123234561610200504005EX．20．（12分）如图所示，四

棱锥SABCD的底面ABCD为梯形，平面SCD平面ABCD，90BADADCSCD，112ABADCD．（1）求证：平面SBD平面SBC；（2）若二面角ASBC的余弦值为32020

，求SC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】（1）由题意，在底面梯形ABCD中，因为90BADADC且1ABAD，2CD，可得2BDBC，又由2CD，所以222BDBCCD，所以BDBC，又因为平面SCD平面AB

CD，平面SCD平面ABCDCD，且SCCD，SC平面SCD，所以SC上平面ABCD，又由BD平面ABCD，所以BDSC，因为SCBCC且,SCBC平面SBC，所以BD平面SBC，又因为BD平面SBD，所以平面SBD平面SBC．（2）由（1）知SC平面ABC

D，以C为坐标原点，CD所在直线为x轴，在平面ABCD内垂直于CD的直线为y轴，CS所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,1,0)A，(1,1,0)B，(2,0,0)D，设(0)SChh，所以(0,0

,)Sh，可得(1,0,0)BA，(1,1,)BSh，(1,1,0)BD，由（1）得BD平面SBC，所以平面SBC的一个法向量为(1,1,0)BD，设平面ABS的法向量为(,,)xyzn，则00BABSnn，可得00xxyhz，令1z

，可得(0,,1)hn，则2320cos,2021hBDhn，解得3SC，即3SC．21．（12分）已知圆2122:1Fxyr与圆2222141:3Fxyrr的公共点

的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）设点A为圆2212:7Oxy上任意点，且圆O在点A处的切线与E交于P，Q两点．试问：APAQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143xy；（2）是，127．【解析】（1）设公共点为P，

则1PFr，24PFr，12124PFPFFF，即公共点P的轨迹为椭圆，且24a，∴2a，又1c，∴23b，故曲线22:143xyE．（2）方法一：当直线PQ斜率不存在时，12:7PQx，代入E得127

y，故127APAQ，易知OPOQ；当直线PQ斜率存在，设:PQykxm，PQ与圆O相切，22212171mrmkk，将PQ方程代入E，得2224384120kxkmxm，∴122843kmxxk，212

241243mxxk，221212121212121OPOQxxyyxxkxmkxmkxxkmxxm2222222222141271218434343kmmkkmmk

kk，将221217mk代入，得0OPOQ，即OPOQ，综上，恒有OPOQ，2127APAQAPAQOA．法二：当直线PQ斜率不存在时，12:7PQx，代入E得127y，2127APAQAPAQOA

；当直线PQ斜率存在，设:PQykxm，∵PQ与圆O相切，∴21mrk，即221217mk．将PQ方程代入E，得2224384120kxkmxm，∴122843kmxxk，212241243mxxk，2222222111112121277A

POPrxkxmkxkmxm2221117127122127127mxkmxkmxk，同理可得2712127AQmxk，故221212712127kAPAQmxxkmxx

∣，将122843kmxxk，212241243mxxk，及221217mk代入，可得127APAQ．综上2127APAQAPAQOA．22．（12分）已知函数ln()xfxx．（1）若直线1ykx

是曲线()yfx的切线，求实数k的值；（2）若对任意(0,)x，不等式ln()1afxaxx成立，求实数a的取值集合．【答案】（1）1k；（2）{1}．【解析】（1）因为ln()(0)xfxxx，所以21ln()xfxx，设切点为000ln,xPxx，此

时切线方程为000200ln1lnxxyxxxx，又直线1ykx过(0,1)，所以000200ln1ln10xxxxx，即002ln10xx，令()2ln1hxxx，则(1)0h，且()hx在(0,)上单调递增，

所以方程002ln10xx有唯一解01x，所以1k．（2）不等式ln()1afxaxx恒成立，即不等式2lnln0axxxa恒成立．方法1：令2()lnlnFxaxxxa，则221()axxFxx，令2(

)210Gxaxx，因为0a，所以180Δa，所以()0Gx有两个不等根1x，2x，12102xxa，不妨设120xx，所以()Fx在20,x上递减，在2,x上递增，所以2min2222()lnFxFxaxxax．由

2222210Gxaxx，得22212xaxx，所以222211ln22xxFxx，所以22211ln022xxx，令111()lnln2ln(1)222xxxHxxxx，则(1)(2)()2(1)x

xHxxx，所以()Hx在(0,1)上递增，在(1,)上递减，所以()(1)0HxH，又20Fx，所以20Fx，所以21x，所以1a，所以，实数a的取值集合为{1}．方法2：令2()lnlnFxaxxxa，则10()FFxa，所以1

xa是函数()Fx的极值点，所以10Fa，即1a，此时，2()lnFxxxx，221(1)(21)()xxxxFxxx，所以()Fx在(0,1)上递减，在(1,)上递增．所以min()(1)0FxF

，符合题意，所以，实数a的取值集合为{1}．