【文档说明】(新高考)高三数学第二次模拟考试卷四（解析版，A3版）.doc，共(9)页，900.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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（新高考）高三第二次模拟考试卷数学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每

小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(,)8,,AxyxyxyN，(,)1Bxyyx，则AB中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．

5【答案】B【解析】依题意1,7,2,6,3,5,4,4,5,3,6,2,7,1A，其中满足1yx的有1,7，2,6，3,5，所以1,7,2,6,3,5AB，有3

个元素，故选B．2．31i（）A．22iB．22iC．22iD．22i【答案】B【解析】321i1i1i2i1i22i，故选B．3．已知直线m，n，平面，，n，m∥，mn，那么“m

^”是“^”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若m^，过直线m作平面，交平面于直线m，∵m∥，∴mm∥，又m^，∴m，又∵m，∴^；若^，

过直线m作平面，交平面于直线m，∵m∥，∴mm∥，∵mn，∴mn，又∵^，n=，∴m，∴m，故“m^”是“^”的充要条件，故选C．4．设约束条件15122yxyxyx，则1yx的最大值为（）A．12B．1C．2D．

4【答案】D【解析】画出约束条件15122yxyxyx所表示的平面区域，如图所示，设目标函数110yyzxx，则10yx表示平面区域内一动点到定点(0,1)M连线的斜率，结合图象可得，取点A时，能使得z取得最大值，又由1122

yxyx，解得25(,)33A，所以1yx的最大值为5134203，故选D．5．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A．300种B．2

40种C．144种D．96种【答案】B【解析】分两步：首先从4人中选1人去巴黎游览，共有14C4种，其次从剩余5人中选3人到其它三个城市游览，共有35A60种，共有1345CA240种，故选B．6．已

知函数fx的定义域为R，且6fxfx，当0x时，223fxxx，若350fm，则实数m的取值范围为（）A．,2B．2,C．,3D．3,【答案】B【解析】

令0x，则0x，223fxxx，因为6fxfx，所以2236fxxx，223xxxf，即当0x时，223xxxf，取0x，则006ff，

03f，当0x时，222312fxxxx，此时0fx无解；当0x时，03f，此时0fx无解；当0x时，222314fxxxx，若0fx，则2140x，解得1x，故350fm，即351m-?，

解得2m，实数m的取值范围为2,，故选B．7．在ABC△中，点M是AB的中点，23ANAC，线段CM与BN交于点O，动点P在BOC△内部活动（不含边界），且APABAN，其中、R，则的取值范围是（）A．3411,8B．33,42

C．111,8D．31,2【答案】D【解析】如下图所示，连接BP并延长交AC于点G，设NGmAN，PGnBG，则102m，01n，1AGmAN，11APAGGPmANnGBmANnABAG

111mANnABnAGmANnABnmAN1mmnnANnAB，又APABAN，n，1mmnn，111mmnmn，102m，011n，则1

012mn，即31112mn，即312，因此，的取值范围是31,2，故选D．8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之

剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大组成数列na，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列nb，把数na与nb的公共项从小到大得到数列nc，则下列说法正确的是（）A．122abcB．824bacC．228bcD．6

29abc【答案】C【解析】根据题意数列na是首项为2，公差为3的等差数列，23(1)31nann；数列nb是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53nbnn；数列na与nb的公共项从小到大得到数列nc，

故数列nc是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513ncnn．对于A，1222539ab，21521317c，122abc，错误；对于B，8258332132ba，41541347c，824bac，错误；对于C

，225223107b，815813107c，228bc，正确；对于D，62361523119ab，915913122c，629abc，错误，故选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分

，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．以下四个命题表述正确的是（）A．直线34330mxymmR恒过定点

3,3B．圆224xy上有且仅有3个点到直线:20lxy的距离都等于1C．曲线221:20Cxyx与曲线222:480Cxyxym恰有三条公切线，则4mD．已知圆22:4Cxy，点P为直线142xy上一动

点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点1,2【答案】BCD【解析】对于选项A：由34330mxymmR可得33430mxxy，由303430xxy，可得33xy，所以直线恒过定点3,3，故选项A

不正确；对于选项B：圆心0,0到直线:20lxy的距离等于1，圆的半径2r=，平行于:20lxy且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B正确；对于选项C：由22120C:xyx

，可得2211xy，圆心11,0C，11r，由222480C:xyxym，可得2224200xym，圆心22,4C，220rm，由题意可得两圆相外切，所以1212CCrr，即

22124120m，解得4m，故选项C正确；对于选项D：设点P坐标为,mn，所以142mn，即24mn，因为PA、PB分别为过点P所作的圆的两条切线，所以CAPA，CBPB，所以点,AB在以OP为直径的圆上，以OP为直径的圆的方

程为22222222mnmnxy，整理可得220xymxny，与已知圆22:4Cxy相减可得4mxny+=，消去m，可得424nxny，即2440nyxx，由20440yx

x，可得12xy，所以直线AB经过定点1,2，故选项D正确，故选BCD．10．在ABC△中，下列说法正确的是（）A．若AB，则sinsinABB．存在ABC△满足coscos0ABC．若sincosAB，则AB

C△为钝角三角形D．若π2C，则22sinsinsinCAB【答案】ACD【解析】对于A选项，若AB，则ab，则2sin2sinRARB，即sinsinAB，故A选项正确；对于B选项，由πAB，则πAB，且,π

0,πAB，cosyx在0,π上递减，于是coscosAB，即coscos0AB，故B选项错误；对于C选项，由sincosAB，得coscosπ2AB，cosyx在0,π上递减，此时：若π02A，则π2AB，则π2AB，于是π2C；若π

2A，则πcoscos2AB，则π2AB，于是π2AB，故C选项正确；对于D选项，由π2C，则π2AB，则ππ022AB，sinyx在0,π2递增，于是

πsinsin2AB，即0sincosAB，同理0sincosBA，此时，sinsin()sincoscossinsinsinsinsinCABABABAABB2

2sinsinAB，所以D选项正确，故选ACD．11．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A、B

、C、D四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（）A．A地：中位数为2，极差为5B．B地：总体平均数为2，众数为2C．C地：总体平均数为1，总体方差大于0D．D地：总体平均数为2，总体方差为3【答案】AD

【解析】对A，因为A地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于257．故A正确；对B，若B地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误；对C，若C地过去10日分别为0,

0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误；对D，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于21823.6310，与题设矛盾，故连

续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确，故选AD．12．已知函数222,0()log,0xxxfxxx，若1234xxxx，且1234fxfxfxfx，则下列结论正

确的是（）A．121xxB．341xxC．412xD．123401xxxx【答案】BCD【解析】由()fx函数解析式可得图象如下：∴由图知：122xx，121x，而当1y时，有2|log|1x，即12x或2，∴341122xx，而

34()()fxfx，知2324|log||log|xx：2324loglog0xx，∴341xx，21234121(1)1(0,1)xxxxxxx，故选BCD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线22:143xyC的左、右焦点分别

为1F，2F，点4,3M，则12FMF的角平分线所在直线的斜率为______．【答案】1【解析】由题意知，C的半焦距7c，17,0F，27,0F，故221473227MF，222473272MF．设12FMF的角平分线与x轴交于

,0Nx，由角平分线定理可知1122NFMFNFMF，故72277272xx，解得1x，即1,0N，故12FMF的角平分线所在直线的斜率30141MNk，故答案为1．14．对于

三次函数320fxaxbxcxda，给出定义：设fx是函数yfx的导数，fx是fx的导数，若方程0fx有实数解0x，则称点00,xfx为函数yf

x的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若3211533212fxxxx，则函数fx的对称中心为________，1234201820192019

201920192019fffff________．【答案】1,12，2018【解析】因为3211533212fxxxx，所以23fxx

x，21fxx，由0fx，即210x，解得12x，3211111153123222212f，由题中给出的结论，所以函数fx的对称中心为1,12．所以11

222fxfx，即12fxx．故12018220192019ff，22017220192019ff，32016220192019ff

，…，20181220192019ff，所以123420181201920192019202201819201982201fffff

，故答案为1,12，2018．15．函数()cos23sin2fxxx，xR，有下列命题：①()yfx的表达式可改写为2cos2π3yx；②直线π12x是函数()

fx图象的一条对称轴；③函数()fx的图象可以由函数2sin2yx的图象向右平移π6个单位长度得到；④满足()3fx的x的取值范围是3πππ,124πxkxkkZ．其中正确的命题序号是____

______．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【答案】①④【解析】π()cos23sin22cos(2)3fxxxx，故①正确；当π12x时，ππ()2cos0122yf，故②错误；因为函数2sin2yx的图象向右平移π6个单位长度得到ππ)2si

n2(2sin(2)63yxx，而ππ2sin(2)2cos(2)33xx，故③错误；由()3fx可得π2cos(2)33x，解得π3cos(2)32x，所以ππ11π2π22π,636kxkkZ，解得3πππ,124

πkxkkZ，故④正确，故答案为①④．16．在棱长为42的正四面体ABCD中，点,EF分别为直线,ABCD上的动点，点P为EF中点，Q为正四面体中心（满足QAQBQCQD），若2PQ，则EF长度为_________．【答案】26【解析】将正四面体放在棱

长为4的正方体中，则ABCD，Q为正方体的中心，设,MN分别是,ABCD的中点，则Q是MN的中点，MNAB，MNCD，连接EN，设EN的中点为S，连接,,QSSPPQ，因为QS是NME△的中位线，所以//QSME，12QSME，同理//SPNF，12SPNF，因为ABCD，所

以MENF，所以QSSP，即90QSP，则22222124QSSPMENFPQ，所以228MENF，因为MNME，所以222216NEMNMEME，因为NFME，NFMN，MNMEM，

所以NF平面MNE，所以NFNE，在NEFRt△中，22221626EFNFNENFME，故答案为26．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）ABC△的内角,,ABC

的对边分别为,,abc．已知222sinsinsinsinsinBACAC．（1）求B；（2）若3b，当ABC△的周长最大时，求它的面积．【答案】（1）2π3B；（2）934ABCS△．【解析】（1）由正弦定理得222bacac，2221cos22acbBac，

0,πB，2π3B．（2）由余弦定理得222222cos29bacacBacacacacac，2292acacac（当且仅当ac时取等号），6ac，当3ac时，ABC△取得最大值，此时1939

3sin2224ABCSacB△．18．（12分）如图，三棱柱111ABCABC中，AB侧面11BBCC，已知1π3BCC，1BC，12ABCC，点E是棱1CC的中点．（1）求证：BC⊥平面1ABC；（2）求二面角11ABEA

的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）255．【解析】（1）证明：1π3BCC，1BC，12CC，由余弦定理可知2211123BCBCCCCBCC，22211BCBCCC，1BCBC，ABQ侧面11BBCC，且

BC面11BBCC，ABBC，又1ABBCBQI，1,ABBC平面1ABC，BC平面1ABC．（2）由（1）知，以B为坐标原点，BC为x轴，1BC为y轴，BA为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0

,2A，1,0,0C，10,3,0C，13,,022E，11,3,0B，11,3,2A，13,,222EA，133,,022EB，设平面1AEB的法向量

为,,xyzn，由100EAEBnn，得1,3,1n；同理，设平面11AEB的法向量为111,,xyzm，13,,2223EA，由1100EAEBmm，得1,3,0m，故1325cos,552mn

mnmn，由题意二面角11ABEA是锐二面角，故二面角11ABEA的余弦值为255．19．（12分）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的．魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思

议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹．通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333的正方体结构，由26个色块组成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国

的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒．（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：x（天）1234567y（秒）99994532302421现用byax作为回归

方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确到1)?参考数据（其中1iizx）71iiizyz72217iizz184.50.370.55参考公式：对于一组数据11

,uv，22,uv，…，,nnuv，其回归直线ˆˆˆvau的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆniiiniiuvnuvunu，ˆˆavu．（2）现有一个复原好

的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面．某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望EX．【答案】（1）100ˆ13yx，每天魔方还原的平均速度y约为13秒；（2）分布列见解析，509．【解析】（

1）由题意，根据表格中的数据，可得99994532302421507y，可得7172217184.570.375055ˆ1000.550.557iiiiizyzybzz，所以501000.3713aybz

，因此y关于x的回归方程为100ˆ13yx，所以最终每天魔方还原的平均速度y约为13秒．（2）由题意，可得随机变量X的取值为3,4,6,9，可得141(3)669APX，142A2(4)669PX，111

142241AAA205(6)63A669PX，1122AA1(9)669PX，所以X的分布列为：X3469P19295919所以125150()346999999EX．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)xy

Cabab的上、下顶点分别为,AB，P为直线2y上的动点，当点P位于点1,2时，ABP△的面积1ABPS△，椭圆C上任意一点到椭圆的左焦点1F的最短距离为21．（1）求椭圆C的方程；（2）连接,PAPB，直线,PAPB分别交椭圆于,MN（

异于点,AB）两点，证明：直线MN过定点．【答案】（1）2212xy；（2）证明见解析．【解析】（1）因为椭圆的上、下顶点分别为,AB，点1,2P，ABP△的面积1ABPS△，所以1212ABPSb△，基底1b，又因为椭圆C上任意一点到椭

圆的左焦点1F的最短距离为21，设,Mxy是椭圆上任意一点，(,0)Fc，则2222222()2cMFxcyxcxaa，对称轴2axac，所以在区间[,]xaa上递增，

则xa时，minMFac，即21ac，又222abc，解得2a，所以椭圆方程为2212xy．（2）设(,2)Pt，由题意得，直线PA，PB的斜率存在，设1:1PAlyxt，3:1PBlyxt，由2

21112yxtxy，得22242,22ttMtt；由223112yxtxy，得2221218,1818ttNtt，所以222222222182241

82:12422182MNttttttlyxtttttt，化简得26182tyxt，所以直线MN过定点10,2．21．（12分）已知正三角形AB

C，某同学从A点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动．设掷骰子n次时

，棋子移动到A，B，C处的概率分别为：nPA，nPB，nPC，例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为10PA，112PB，112PC．（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率3PA，3PB，

3PC；（2）记nnPAa，nnPBb，nnPCc，其中1nnnabc，nnbc，求8a．【答案】（1）314PA，338PB，338PC；（2）843128a

．【解析】（1）ABCA；ACBA，所以311111112222224PA；ABAB；ACAB；ABCB，所以31111111113++22222

22228PB；ABAC；ACAC；ACBC，所以31111111113++2222222228PC．（2）∵nnbc，即11nnbc，2n，又1112nnnbac，∴2n时，1111112

2nnnnnbacab，又∵1111nnnabc，可得121nnbb，由11111111322323nnnbbb，可得数列13nb

是首项为16，公比为12的等比数列，1111362nnb，即1111362nnb，又11111111212136232nnnnab，故843128a．22．（12分）已知函

数211ln2fxxaxax．（1）当0a时，求函数fx的单调区间；（2）设函数22ln12xgxeaxaxfx，若gx在1,2内有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析；（

2）25,22ee．【解析】（1）函数fx的定义域为0,，所以2111aaxxaxfaxaxxxxx．（ⅰ）当01a时，由0fx，得1

ax，则fx的减区间为,1a；由0fx，得xa或1x，则fx的增区间为0,a和1,．（ⅱ）当1a时，0fx，则fx的增区间为0,．（ⅲ）当1a时，由0fx，得1xa，则fx的减区间为1,a；由0fx，得

1x或xa，则fx的增区间为0,1和,a．（2）222ln121xxgxeaxaxfxexax，gx在1,2内有且仅有一个零点，即关于x方程

21xxeax在1,2上有且仅有一个实数根．令21xxehxx，1,2x，则211xxxehxx，令1xpxxe，1,2x，则10xpxe，故px在

1,2上单调递减，所以120pxpe，即当1,2x时，0hx，所以hx在1,2上单调递减．又12he，2522eh，则2522ehxe，所以a的取值范围是25,22ee．