【文档说明】新教材(辅导班)高一数学寒假讲义13《6.4平面向量的应用》课时精讲(含解析) .doc，共(7)页，202.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.4.1平面几何中的向量方法知识点一向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由□01向量的线性运算及数量积表示出来．(2)用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”①建立平面几何与

向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将□02平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．知识点二向量在平面几何中常见的应用(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用

平行向量基本定理：□01a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：□02a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝

0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝□03a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|＝□04a

2＝x2＋y2(a＝(x，y))或AB＝□05|AB→|＝x1－x22＋y1－y22(A(x1，y1)，B(x2，y2))．向量在几何中的应用(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角

、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量

的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可

以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有AB→·BC→＝0.()(2)若AB→∥CD→，则直线AB与CD平行．()(3)向量AB→，CD→的夹角就是直线AB，CD的夹角．()答案(1)×(

2)×(3)×2．做一做(1)在四边形ABCD中，AB→·BC→＝0，BC→＝AD→，则四边形ABCD是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)设O是△ABC内部一点，且OA→＋OC→＝－2OB

→，则△AOB与△AOC的面积之比为________．答案(1)C(2)1∶2题型一向量在平面几何证明问题中的应用例1在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝12AB，求证：AC⊥BC．[证明]证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝12

AB，故可设AD→＝e1，DC→＝e2，|e1|＝|e2|，则AB→＝2e2.∴AC→＝AD→＋DC→＝e1＋e2，BC→＝AC→－AB→＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.而AC→·BC→＝(e1＋e2)·(e1－e2

)＝e21－e22＝|e1|2－|e2|2＝0，∴AC→⊥BC→，即AC⊥BC．证法二：如图，建立直角坐标系，设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴BC→＝(－1,1

)，AC→＝(1,1)．∴BC→·AC→＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.∴AC⊥BC．用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或

数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝

14AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．证明设AD→＝a，AB→＝b，则DE→＝AE→－AD→＝14AC→－a＝14(a＋b)－a＝14b－34a，FB→＝AB→－AF→＝b－34AC→＝14b－34a，所以DE→＝FB→，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边

形．题型二向量在平面几何计算问题中的应用例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝12AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示

)．[解](1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．∵D为AB的中点，∴Dn2，m2.∴|CD→|＝12n2＋m2，|AB→|＝m2＋n2，∴|CD→|＝12|AB→|，即CD＝

12AB．(2)∵E为CD的中点，∴En4，m4，设F(x,0)，则AE→＝n4，－34m，AF→＝(x，－m)．∵A，E，F三点共线，∴AF→＝λAE→，即(x，－m)＝λn4，－34m.则x＝n4λ，－m＝－34m

λ，故λ＝43，x＝n3，∴Fn3，0，∴|AF→|＝13n2＋9m2，即AF＝13n2＋9m2.用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2＝a2求

解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解设AD→＝a，AB→＝b，则BD→＝a－b，AC→＝a＋b，而|BD→|＝|

a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12.又|AC→|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|AC→|＝6，即AC＝6.1．已知|a|＝

23，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A．10B．10C．2D．22答案C解析以向量a，b为邻边的平行四边形的对角线为a＋b与a－b.|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋2

×23×2×32＋4＝28＝27，|a－b|＝a－b2＝a2－2a·b＋b2＝12－2×23×2×32＋4＝2.2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为()A．梯形B．菱形C．

矩形D．正方形答案A解析由题意得AB→＝(3,3)，DC→＝(2,2)，∴AB→∥DC→，|AB→|≠|DC→|.故选A．3．平面上有三个点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)(x≠0)，若AB→⊥

BC→，则满足条件的x，y的关系式是________．答案y2＝8x(x≠0)解析∵AB→＝2，y2－y＝2，－y2，BC→＝x，y－y2＝x，y2，∴AB→·

BC→＝2x－y24＝0，∴y2＝8x(x≠0)．4．在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是________．答案[

1,4]解析解法一：设|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|＝λ(0≤λ≤1)，则BM→＝λBC→＝λAD→，DN→＝(1－λ)DC→＝(1－λ)AB→，则AM→·AN→＝(AB→＋BM→)·(AD→＋DN→)＝(AB→＋λAD→)·[AD→＋(1－λ)AB→]＝AB→·A

D→＋(1－λ)AB→2＋λAD→2＋λ(1－λ)·AB→·AD→.∵AB→·AD→＝0，∴AM→·AN→＝4－3λ.∵0≤λ≤1，∴1≤AM→·AN→≤4，即AM→·AN→的取值范围是[1,4]．解法二：如图所示，以点A为坐标原点，以边AB所在直线为x轴，边A

D所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为AB＝2，AD＝1，所以A(0,0)，B(2，0)，D(0,1)，C(2，1)．设|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|＝t∈[0,1]，则|BM→|＝t，|CN→|＝2t.则M(2，t)，N(2－2t,1)，故AM→·A

N→＝4－4t＋t＝4－3t，又t∈[0,1]，所以(AM→·AN→)max＝4－3×0＝4，(AM→·AN→)min＝4－3×1＝1.故AM→·AN→的取值范围是[1,4]．5．如图，在▱OACB中，BD＝1

3BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝14BA．证明∵O，E，D三点共线，∴向量OE→与向量OD→共线．则存在实数λ1，使得OE→＝λ1OD→.而OD→＝OB→＋BD→＝OB→＋13OA→，则OE→＝λ1OB→＋λ13OA→.

又∵A，E，B三点共线，∴BE→与BA→共线，则存在实数λ2，使BE→＝λ2BA→＝λ2(OA→－OB→)．∴BE→＝λ2OA→－λ2OB→.而OB→＋BE→＝OE→，∴OB→＋λ2OA→－λ2OB→＝λ1OB→＋λ13OA

→.即(1－λ2)OB→＋λ2OA→＝λ1OB→＋λ13OA→.∵OA→与OB→不共线，∴1－λ2＝λ1，λ2＝λ13，∴λ2＝14.∴BE→＝14BA→，即BE＝14BA．