【文档说明】新教材(辅导班)高一数学寒假讲义13《6.4平面向量的应用》课后练习(含解析).doc，共(4)页，166.141 KB，由MTyang资料小铺上传

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A级：“四基”巩固训练一、选择题1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A．BD→＝CE→B．BD→与CE→共线C．BE→＝BC→D．DE→与BC→共线答案D解析∵D，E分别是AB，

AC的中点，∴DE∥BC，即DE→与BC→共线．2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，AO→＝12(AB→＋AC→)，且|OA→|＝|AB→|，则BA→·BC→为()A．1B．3C．－1D．－3答案A解析由题意知，O为BC的中点，且∠ABC

＝60°，|BC→|＝2，|AB→|＝1，∴BA→·BC→＝1×2×12＝1.3．已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足PA→＝PB→＋PC→，则PDAD的值为()A．1B．13C．12D．2答案A解析∵PA→＝PB→＋PC→，∴PA必为以P

B，PC为邻边的平行四边形的对角线．∵D为边BC的中点，∴D为PA的中点，∴PDAD＝1.4．已知非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝1

2，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形答案D解析∵AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，∴∠A的平分线所在的向量与BC→垂直，所以△ABC为等腰三角形．又AB→|A

B→|·AC→|AC→|＝12，∴cosA＝12，∴∠A＝π3.故△ABC为等边三角形．5．已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()A．b＝a3B．b＝a3＋1aC．(b－a3)b－a

3－1a＝0D．|b－a3|＋b－a3－1a＝0答案C解析由题意，知OA→＝(0，b)，OB→＝(a，a3)，AB→＝(a，a3－b)．因为△OAB为直角三角形，所以①若OA→⊥OB→，则OA→·OB→＝0，即a3b＝0，当b＝0时，点O与

点A重合；当a＝0时，点O与点B重合，故a3b≠0，即OA与OB不垂直．②若OA→⊥AB→，则OA→·AB→＝0，即b(a3－b)＝0，又b≠0，故a3＝b.③若OB→⊥AB→，则OB→·AB→＝0，即a2＋a3(a3－b)＝0，

又a≠0，故a3＋1a－b＝0.故当△OAB为直角三角形时，有a3＝b或a3＋1a－b＝0，即(b－a3)b－a3－1a＝0.二、填空题6．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则MA→·MD→＝________.答案2解

析根据题意可得MA→·MD→＝12CB→＋BA→·－12CB→＋CD→＝－14|CB→|2＋12CB→·CD→－12CB→·BA→＋BA→·CD→＝－14×(2)2＋12×2×1×cos135°－1

2×2×2×cos135°＋2×1×cos0°＝－12－12＋1＋2＝2.7．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则PA2＋PB2PC2＝_______.答案10解析将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，则P

A2＋PB2PC2＝PA→2＋PB→2PC→2＝PC→＋CA→2＋PC→＋CB→2PC→2＝2|PC→|2＋2PC→·CA→＋CB→＋AB→2|PC→|2＝|AB→|2|PC→|2－6＝42－6＝10.8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面

积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案π6，5π6解析以α，β为邻边的平行四边形的面积为S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝12，所以sinθ＝12|β|，又因为|β|≤1

，所以12|β|≥12，即sinθ≥12且θ∈[0，π]，所以θ∈π6，5π6.三、解答题9.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝12DC．求：(1)AD

的长；(2)∠DAC的大小．解(1)设AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b.∴|AD→|2＝AD

→2＝23a＋13b2＝49a2＋2×29a·b＋19b2＝49×9＋2×29×3×3×cos120°＋19×9＝3.故AD＝3.(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量AD→与AC→的夹角．∵cosθ＝AD→·

AC→|AD→||AC→|＝23a＋13b·b3×3＝13b2＋23a·b33＝13×9＋23×3×3×－1233＝0，∴θ＝90°，即∠DAC＝90°.B级：“四能”提升训练1．在矩形AB

CD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.答案212解析如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，3)，C(3，3)，D(3,0)，A

C→＝(3，3)，设AE→＝λAC→，则点E的坐标为(3λ，3λ)，故BE→＝(3λ，3λ－3)．因为BE⊥AC，所以BE→·AC→＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝14，所以E34，34.故ED→＝94，－34，则|ED→|＝

942＋－342＝212，即ED＝212.2．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.证明建立如

图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0<λ<2)，则A(0,1)，P22λ，22λ，E1，22λ，F22λ，0，∴PA→＝－22λ，1－22λ，EF→

＝22λ－1，－22λ，∴|PA→|＝－22λ2＋1－22λ2＝λ2－2λ＋1，|EF→|＝22λ－12＋－22λ2＝λ2－2λ＋1，∴|PA→|＝|EF→|，∴PA＝EF.