【文档说明】新教材(辅导班)高一数学寒假讲义13《6.4平面向量的应用》课时精讲(原卷版).doc，共(4)页，146.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.4.1平面几何中的向量方法知识点一向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由□01向量的线性运算及数量积表示出来．(2)用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将□02平面几何

问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．知识点二向量在平面几何中常见的应用(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理：□01a∥b⇔a＝λb

(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：□02a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(3)求角问题，

利用公式：cos〈a，b〉＝□03a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|＝□0

4a2＝x2＋y2(a＝(x，y))或AB＝□05|AB→|＝x1－x22＋y1－y22(A(x1，y1)，B(x2，y2))．向量在几何中的应用(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、

夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过

向量的计算获得几何命题的证明．(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(

1)若△ABC是直角三角形，则有AB→·BC→＝0.()(2)若AB→∥CD→，则直线AB与CD平行．()(3)向量AB→，CD→的夹角就是直线AB，CD的夹角．()2．做一做(1)在四边形ABCD中，AB→·BC→＝0，BC→＝AD→，则四边形ABCD是()

A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)设O是△ABC内部一点，且OA→＋OC→＝－2OB→，则△AOB与△AOC的面积之比为________．题型一向量在平面几何证明问题中的应用例1在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠D

AB＝90°，CD＝DA＝12AB，求证：AC⊥BC．用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把

相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝14AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．题型二向量在平面几何计算问题中的应用例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.(1)

若D为斜边AB的中点，求证：CD＝12AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)．用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代

入公式求解，即若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．1．已知|a|＝23，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，

则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A．10B．10C．2D．222．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形3．平面上有三个点A(－

2，y)，B0，y2，C(x，y)(x≠0)，若AB→⊥BC→，则满足条件的x，y的关系式是________．4．在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足|BM→

||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是________．5．如图，在▱OACB中，BD＝13BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝14BA．