【文档说明】新教材(辅导班)高一数学寒假讲义07《6.2.1-2.2平面向量的加减运算》课时精讲(含解析) .doc，共(17)页，756.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.2.1向量的加法运算知识点一向量的加法(1)向量加法的定义□01求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则知识点二向量的三角形不等式对任意两个向量a，b，均有|a＋b|□01≤|a|＋|b|.当a，b同向时有|a＋b|□02＝|a|＋|b|；当a，b反向时有|a＋b|

□03＝||a|－|b||.知识点三向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则(1)两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法

则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示：AC→＝AB→＋AD→(平行四边形法则)，又因为BC→＝AD→，所以AC→＝AB→＋BC→(三角形法则)．(3)在使用三角形

法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.(

2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b的方向与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|＜|b|，则a＋b的方向与b的方

向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量．()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．()(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)对任意四边形ABCD

，下列式子中不等于BC→的是()A.BA→＋AC→B.BD→＋DA→＋AC→C.AB→＋BD→＋DC→D.DC→＋BA→＋AD→(2)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB→＋FE→＋CD→|等于()A．1B．

2C.3D.5(3)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c.答案(1)C(2)B(3)解：a，b，c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行

四边形法则作图．解法一(三角形法则)：如图①所示，作AB→＝a，BC→＝b，则AC→＝a＋b，再作CD→＝c，则AD→＝AC→＋CD→＝(a＋b)＋c，即AD→＝a＋b＋c.解法二(平行四边形法则)：因为a，b，c不共线，如图②所示．在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，以OA→，OB→为

邻边作▱OADB，则对角线OD→＝a＋b，再作OC→＝c，以OC→，OD→为邻边作▱OCED.则OE→＝a＋b＋c.题型一向量的三角形和平行四边形法则例1如下图中(1)，(2)所示，试作出向量a与b的和．[解]如下图中(1)，

(2)所示，首先作OA→＝a，然后作AB→＝b，则OB→＝a＋b.(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二

个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点．②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．(1)如图，已知a，

b，求作a＋b；(2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.解(1)如图①，②所示．首先作AB→＝a，然后作BC→＝b，则AC→＝a＋b.(2)作法一：如图1所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，接着作向量AB

→＝b，则得向量OB→＝a＋b；然后作向量BC→＝c，则向量OC→＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．作法二：如图2所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD→＝OA→＋OB→

＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c即为所求.题型二向量的加法运算例2如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：(1)BC→＋CE→＋EA→；(2)OE→＋AB→

＋EA→；(3)AB→＋FE→＋DC→.[解](1)BC→＋CE→＋EA→＝BE→＋EA→＝BA→.(2)OE→＋AB→＋EA→＝(OE→＋EA→)＋AB→＝OA→＋AB→＝OB→.(3)AB→＋FE→＋DC→＝AB→＋BD→＋DC→＝AD→

＋DC→＝AC→.解决向量加法运算时应关注的两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.化简或计算：(1)CD→＋BC

→＋AB→；(2)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→.解(1)CD→＋BC→＋AB→＝(AB→＋BC→)＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.(2)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝(AB→＋BC→)＋(CD→＋DF→)＋FA→＝AC→

＋CF→＋FA→＝AF→＋FA→＝0.题型三利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AO→＝OC→，DO→＝OB→.求证：四边形ABCD是平行四边形．[证明]AB→＝AO→＋OB→，DC→＝DO→＋OC→，又∵AO→＝OC→，OB→＝

DO→，∴AB→＝DC→，∴AB＝DC且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形．怎样用向量方法证明几何问题用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到

向量间的关系，然后再还原成几何问题．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．证明∵AE→＝AB→＋BE→，FC→＝FD→＋DC→，又AB→＝DC→，FD→＝BE→，

∴AE→＝FC→，即AE与FC平行且相等．∴四边形AECF是平行四边形.题型四向量加法的实际应用例4在水流速度为向东10km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为103km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．[解]如图所示，OA→表示

水速，OB→表示船实际航行的速度，OC→表示船速，由OB→＝OC→＋OA→，易知|BC→|＝|OA→|＝10，又∠OBC＝90°，所以|OC→|＝20，所以∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与

水流方向的夹角为120°.应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．解如图所示，设AB→，B

C→分别表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800km，从B地按南偏东55°的方向行驶800km.则救护车行驶的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次行驶的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.依题意，有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°

，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600km，两次行驶的位移和的大小为8002km，方向为

北偏东80°.1．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝aB.AB→＋BC→＋AC→＝0C.AB→＋BA→＝0D.CA→＋AC→＝MN→＋NP→＋PM→答案B解析对于A，根据0加任何向量都等于原向量，且向量加法满足交换律，所以A正确；对于B，根据向量

的三角形加法运算可得AB→＋BC→＝AC→，故原式等于AC→＋AC→≠0.故B错误；对于C，可知AB→与BA→共线且方向相反，所以AB→＋BA→＝0，所以C正确；对于D，可知MN→＋NP→＋PM→＝MP→＋PM→＝0，又CA→＋AC→＝0，可知D正确．故选

B.2．设P是△ABC所在平面内一点，且BC→＋BA→＝BP→＋BP→，则()A.PA→＋PB→＋PC→＝0B.PA→＋PB→＝0C.PC→＋PA→＝0D.PB→＋PC→＝0答案C解析因为P是△ABC所在平面内一点，BC

→＋BA→＝BP→＋BP→，所以P是AC的中点，所以PC→＋PA→＝0.3．若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．答案82km北偏东45°解析如图所示，设AB→

＝a，BC→＝b，则AC→＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形．则|AC→|＝82，∠BAC＝45°.4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB→|＝1，则|BC→＋CD→|＝________.答

案1解析由题意知△ABD为等边三角形，∴|BC→＋CD→|＝|BD→|＝1.5．如图，在正六边形OABCDE中，OA→＝a，OE→＝b，试用向量a，b将OB→，OC→，OD→表示出来．解设正六边形的中心为P，则四边形ABPO，AOEP，ABCP，OPDE均为平行四边形，

由向量加法的平行四边形法则得OP→＝OA→＋OE→＝a＋b.∵AB→＝OP→＝ED→，∴AB→＝ED→＝a＋b.在△AOB中，根据向量加法的三角形法则得OB→＝OA→＋AB→＝a＋a＋b.同理，在△OBC中，OC→＝OB→＋BC→＝a＋a＋b＋b，在△OED中，OD→＝OE

→＋ED→＝OE→＋OP→＝b＋a＋b.6.2.2向量的减法运算知识点一相反向量知识点二向量的减法1．向量减法的运算法则(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)两个

向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，如图，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线(AC→)，而差向量是另一条对角线(DB→)，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合

，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．2．非零向量a，b的差向量的三角不等式(1)当a，b不共线时，如图①，作OA→＝a，OB→＝b，则a－b＝OA→－OB→＝BA→.(2)当a，b共线且同向时，若|a|>|b|，则a

－b与a，b同向(如图②)，于是|a－b|＝|a|－|b|.若|a|<|b|，则a－b与a，b反向(如图③)，于是|a－b|＝|b|－|a|.(3)当a，b共线且反向时，a－b与a同向，与b反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如图④)．可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立：||a

|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的差仍是一个向量．()(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．()(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．()(4)相反向量是共线向量．()答

案(1)√(2)√(3)√(4)√2．做一做(1)非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()A．m＝nB．m＝－nC．|m|＝|n|D．方向相反(2)OB→－OA→＋BA→＝________.(3)四边形ABCD是边长为1的正方形，则|

AB→－AD→|＝________.答案(1)A(2)0(3)2题型一向量的减法运算例1化简：(1)(AB→－CD→)－(AC→－BD→)；(2)(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)．[解](1

)解法一(变为加法)：原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝AB→＋DC→＋CA→＋BD→＝(AB→＋BD→)＋(DC→＋CA→)＝AD→＋DA→＝0.解法二(利用公式AB→－AC→＝CB→)：原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB

→－AC→)－CD→＋BD→＝CB→－CD→＋BD→＝DB→＋BD→＝0.解法三(利用公式AB→＝OB→－OA→，其中O是平面内任一点)：原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(OB→－OA→)－(OD→－OC→)－(OC→－OA→)＋(OD→－OB→)＝OB→－OA

→－OD→＋OC→－OC→＋OA→＋OD→－OB→＝0.(2)(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)＝(AC→＋BA→)－(OC→－OB→)＝BC→－BC→＝0.(1)向量减法运算的常用

方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．化简下列各式：(1)AB→－AC→－DB→；(2)AB→＋BC→－AD→；(3)AB→－CD→－DB→.解(1)AB→－AC→－DB→＝CB→＋BD→

＝CD→.(2)AB→＋BC→－AD→＝AC→－AD→＝DC→.(3)AB→－CD→－DB→＝AB→＋DC→＋BD→＝AB→＋BD→＋DC→＝AC→.题型二向量减法的几何意义例2如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c

，试用a，b，c表示向量BD→，BC→，BE→，CD→及CE→.[解]∵四边形ACDE为平行四边形，∴CD→＝AE→＝c.BC→＝AC→－AB→＝b－a.BE→＝AE→－AB→＝c－a，CE→＝AE→－AC→＝c－b，∴BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.[结论探究]若例2条件不变，试用a，b

，c表示向量DA→.解解法一(应用三角形法则)：DA→＝EA→－ED→＝－AE→－AC→＝－c－b.解法二(应用平行四边形法则)：DA→＝－AD→＝－(AC→＋AE→)＝－c－b.求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后

作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，

则向量OD→等于()A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．a－b－c答案B解析如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，结合图形有：OD→＝OA→＋AD→＝OA→＋BC→＝OA→＋OC→－OB→＝a＋c－b.题型三向量加法、

减法的综合应用例3如图，O为△ABC的外心，H为垂心．求证：OH→＝OA→＋OB→＋OC→.[证明]作直径BD，连接DA，DC，有OB→＝－OD→，DA⊥AB，DC⊥BC，AH⊥BC，CH⊥AB，故CH∥DA

，AH∥DC.得四边形AHCD是平行四边形，进而AH→＝DC→.又DC→＝OC→－OD→＝OC→＋OB→，得OH→＝OA→＋AH→＝OA→＋DC→＝OA→＋OB→＋OC→.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待

表示的向量位置；(2)寻找相应的平行四边形或三角形；(3)运用法则找关系，化简得结果．如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证：AD→＋BE→＋CF→＝0.证明连接EF，由题意知：AD→＝AC→＋C

D→，BE→＝BC→＋CE→，CF→＝CB→＋BF→.由D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点可知：EF→＝CD→，BF→＝FA→.所以AD→＋BE→＋CF→＝(AC→＋CD→)＋(BC→＋CE→)＋(CB→＋BF→)＝(AC→

＋CD→＋CE→＋BF→)＋(BC→＋CB→)＝(AE→＋EC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋0＝AE→＋CD→＋BF→＝AE→＋EF→＋FA→＝0.1．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()A.AC→－AB→＝BC→B.AD→－BD→＝AB→C.BD→－AC→＝BC→D

.BD→－CD→＝BC→答案C解析由向量减法法则知C错误．2．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AF→－DB→等于()A.FD→B.FC→C.FE→D.DF→答案D解析由题图易知AF→＝DE→，∴AF→－DB→＝DE→－DB→＝BE→，又BE→＝DF→，∴AF→－D

B→＝DF→.3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF→＝OF→＋OE→B.EF→＝OF→－OE→C.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→答案B解析由向量减法的三角形法则可知EF→＝OF→－OE→.故选B.4．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝

1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.答案02解析如果a，b为相反向量，那么a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∴|a－b|＝2|a|＝2.5．已知O为平行四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝

c，用a，b，c表示OD→.解解法一：如图所示，OD→＝OA→＋AD→＝a＋BC→＝a＋(OC→－OB→)＝a＋c－b.解法二：OD→＝OA→＋AB→＋BC→＋CD→＝OA→＋BC→＋(AB→＋CD→)＝OA→＋BC→＋0＝OA→＋(BO→＋OC→)＝a＋(－

b＋c)＝a－b＋c.