【文档说明】新教材(辅导班)高一数学寒假讲义07《6.2.1-2.2平面向量的加减运算》课时精讲(原卷版).doc，共(13)页，648.330 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.2.1向量的加法运算知识点一向量的加法(1)向量加法的定义□01求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)向量加法的运算法则知识点二向量的三角形不等式对任意两个向量a，b，均有|a＋b|□01≤|a|＋|b|.当

a，b同向时有|a＋b|□02＝|a|＋|b|；当a，b反向时有|a＋b|□03＝||a|－|b||.知识点三向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．准确理解向量加法的三角形法则和平行

四边形法则(1)两个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示：AC→＝AB→＋AD→(平行四边形法则)，又因为BC→＝AD→，所

以AC→＝AB→＋BC→(三角形法则)．(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不

相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b的方向与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|＜|b|，则

a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量．()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．()(3)任意两个向量的和向

量不可能与这两个向量共线．()2．做一做(1)对任意四边形ABCD，下列式子中不等于BC→的是()A.BA→＋AC→B.BD→＋DA→＋AC→C.AB→＋BD→＋DC→D.DC→＋BA→＋AD→(2)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1

，则|AB→＋FE→＋CD→|等于()A．1B．2C.3D.5(3)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c.题型一向量的三角形和平行四边形法则例1如下图中(1)，(2)所示，试作出向量a与b的和．(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使

之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点．②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中

，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．(1)如图，已知a，b，求作a＋b；(2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.题型二向量的加法运算例2如图，在△ABC中，O为重心，D，

E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：(1)BC→＋CE→＋EA→；(2)OE→＋AB→＋EA→；(3)AB→＋FE→＋DC→.解决向量加法运算时应关注的两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2

)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.化简或计算：(1)CD→＋BC→＋AB→；(2)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→.题型三利用向量

加法证明几何问题例3已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AO→＝OC→，DO→＝OB→.求证：四边形ABCD是平行四边形．怎样用向量方法证明几何问题用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量

间的关系，然后再还原成几何问题．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．题型四向量加法的实际应用例4在水流速度为向东10km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为103km

/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．1．下列等式

错误的是()A．a＋0＝0＋a＝aB.AB→＋BC→＋AC→＝0C.AB→＋BA→＝0D.CA→＋AC→＝MN→＋NP→＋PM→2．设P是△ABC所在平面内一点，且BC→＋BA→＝BP→＋BP→，则()A.PA→＋PB→＋PC→＝0B.PA→＋

PB→＝0C.PC→＋PA→＝0D.PB→＋PC→＝03．若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°

，|AB→|＝1，则|BC→＋CD→|＝________.5．如图，在正六边形OABCDE中，OA→＝a，OE→＝b，试用向量a，b将OB→，OC→，OD→表示出来．6.2.2向量的减法运算知识点一相反向量知识点二向量的减法1．向量减法的运算法则(1)向

量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，如图，两个向量也是共起点，和向量是起

点与它们的起点重合的那条对角线(AC→)，而差向量是另一条对角线(DB→)，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．2．非零向量a，b的差向量的三角不等式(1)当a，b不共线时，如图

①，作OA→＝a，OB→＝b，则a－b＝OA→－OB→＝BA→.(2)当a，b共线且同向时，若|a|>|b|，则a－b与a，b同向(如图②)，于是|a－b|＝|a|－|b|.若|a|<|b|，则a－b与a，b反向(如图③)，于是|a－b|＝|b

|－|a|.(3)当a，b共线且反向时，a－b与a同向，与b反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如图④)．可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的差仍是一个向量．()(2

)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．()(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．()(4)相反向量是共线向量．()2．做一做(1)非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()A．m＝nB．m＝

－nC．|m|＝|n|D．方向相反(2)OB→－OA→＋BA→＝________.(3)四边形ABCD是边长为1的正方形，则|AB→－AD→|＝________.题型一向量的减法运算例1化简：(1)(AB→－CD→)－(AC→－BD→)；(2)(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－O

B→)．(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．化简下列各式：(1)AB→－AC→－DB→；(2)

AB→＋BC→－AD→；(3)AB→－CD→－DB→.题型二向量减法的几何意义例2如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用a，b，c表示向量BD→，BC→，BE→，CD→及CE→.[结论探究]若例2

条件不变，试用a，b，c表示向量DA→.求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终

点的向量．已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量OD→等于()A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．a－b－c题型三向量加法、减法的综合应用例3如图，O为△ABC的外心，H为垂心

．求证：OH→＝OA→＋OB→＋OC→.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置；(2)寻找相应的平行四边形或三角形；(3)运用法则找关系，化简得结果．如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证：AD→＋BE→＋CF→＝

0.1．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()A.AC→－AB→＝BC→B.AD→－BD→＝AB→C.BD→－AC→＝BC→D.BD→－CD→＝BC→2．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，

则AF→－DB→等于()A.FD→B.FC→C.FE→D.DF→3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF→＝OF→＋OE→B.EF→＝OF→－OE→C.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→4．若a，b为相反向量，且|a|＝1，

|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.5．已知O为平行四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示OD→.