【文档说明】通用版高考数学(理数)一轮复习第21讲《两角和与差的正弦》学案(含详解) .doc，共(11)页，1.344 MB，由MTyang资料小铺上传

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1第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)=.(2)公式C(α±β):cos(α±β)=.(3)公式T(α±β):tan(α±β)=.常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tanα±tanβ=tan(

α±β)(1∓tanαtanβ).2.二倍角余弦公式的变形:sin2α=,cos2α=.3.一般地,函数f(α)=asinα+bcosα(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ).题组一常识题1.[

教材改编]sin75°的值为.2.[教材改编]已知cosα=-,α∈,则sinα+的值是.3.[教材改编]cos65°cos115°-cos25°sin115°=.4.[教材改编]已知tanα=,tanβ=

-2,则tan(α-β)的值为.题组二常错题2◆索引:忽略角的取值范围;公式的结构套用错误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.5.已知tan+α=,α∈,π,则cosα的值是.6.化简:sinx-cosx=.7.计算:=.8.若α+

β=,则[1+tan(π-α)](1-tanβ)的值为.探究点一两角和与差的三角函数公式例1(1)[2018²湘潭模拟]若sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,则sin2αcosβ=()A.B.C.D.(2)[2018²晋城一模]已知cos=cosα,tan

β=,则tan(α+β)=.[总结反思]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.3变式题(1

)[2018²佛山质检]已知cosα=,α∈,则cos=()A.-B.C.D.(2)[2018²唐山三模]已知tanα+=1,则tanα-=()A.2-B.2+C.-2-D.-2+探究点二两角和与差公式的

逆用与变形例2(1)[2018²烟台一模]已知cos=,则cosx+cos=()A.-1B.1C.D.(2)已知sinα+cosβ=,sinβ-cosα=,则sin(α-β)=.[总结反思]常见的公式变形:(1)两角正切的和差

公式的变形,即tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);(2)asinα+bcosα=sin(α+φ)tanφ=.4变式题(1)[2018²河南中原名校联考]cos375°+sin375°的值为()A.B.C.-D.-(2)(1+tan

20°)(1+tan21°)(1+tan24°)(1+tan25°)=.探究点三角的变换问题例3(1)已知α∈,cos-sinα=,则sinα+的值是()A.-B.-C.D.-(2)[2018²莆田二模]已知sinα=,sin(β-α)=-,α,β均为锐角,则β

=()A.B.C.D.[总结反思]常见的角变换:±2α=2±α,2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=--α等.变式题(1)[2018²榆林模拟]若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos=

()A.B.-C.D.-5(2)已知<β<α<π,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin2α=()A.B.-C.D.-第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切考试说明1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切

公式.3.会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.【课前双基巩固】知识聚焦(1)sinαcosβ±cosαsinβ(2)cosαcosβ∓sinαsinβ(3)

对点演练1.[解析]sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=³+³=.62.[解析]∵cosα=-,α∈,∴sinα=,∴sin=sinαcos+cosαsin=³+

³=.3.-1[解析]原式=cos65°cos115°-sin65°sin115°=cos(65°+115°)=cos180°=-1.4.7[解析]tan(α-β)==7.5.-[解析]因为tan+α=tan+α=,所以=,所以ta

nα=-,又α∈,π,所以cosα=-=-.6.sin[解析]sinx-cosx=cossinx-sincosx=sin.7.[解析]==tan(45°-15°)=tan30°=.8.2[解析]因为α+β=,所以ta

n(α+β)=-1,即=-1,整理得(1-tanα)(1-tanβ)=2,所以[1+tan(π-α)](1-tanβ)=(1-tanα)(1-tanβ)=2.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)利用两角和与差的正弦公式展开已知条件,进而求解;(2)先利用已知条件求出tanα,再根据两角

和的正切公式求解.(1)B(2)-[解析](1)由sin(2α-β)=,sin(2α+β)=,可得sin2αcosβ-cos2αsinβ=①,sin2αcosβ+cos2αsinβ=②,由①+②得2sin2αcosβ=,所以sin2αcosβ=.故选B.7(2)∵cos=c

osα-sinα=cosα,∴-sinα=cosα,故tanα=-,∴tan(α+β)====-.变式题(1)D(2)D[解析](1)∵cosα=,α∈,∴sinα===,∴cos=cosαcos+sinαsin=³+³=.故选D.(2)由题意知,tan=tan===

-2+.故选D.例2[思路点拨](1)首先利用两角差的余弦公式展开cos,整理后再逆用两角差的余弦公式即可;(2)将两个条件等式分别平方相加即可.(1)B(2)-[解析](1)由题可知,cosx+cos=cosx+cosxcos+sinxsi

n=cosx+sinx==cos=³=1.故选B.(2)∵sinα+cosβ=,sinβ-cosα=,∴(sinα+cosβ)2=,(sinβ-cosα)2=,即sin2α+2sinαcosβ+cos2β=①,sin2β-2sinβcosα+cos2α

=②,8由①+②得sin2α+2sinαcosβ+cos2β+sin2β-2sinβcosα+cos2α=(sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sinαcosβ-sinβcosα)=1+1+2sin(α-β)=2+2sin(α-β)=,

则sin(α-β)=-.变式题(1)A(2)4[解析](1)cos375°+sin375°=cos15°+sin15°=cos(45°-15°)=cos30°=.故选A.(2)(1+tan20°)(1+tan25°)=1+tan20°+tan25°+tan20

°tan25°=1+tan(20°+25°)(1-tan20°tan25°)+tan20°tan25°=2,同理可得(1+tan21°)(1+tan24°)=2,所以原式=4.例3[思路点拨](1)对条件整理可得cos=,又α+=-,利用两角差的正弦公式求解;

(2)根据角的变换得β=α+(β-α),利用已知条件先求出sinβ的值,再求角β.(1)B(2)C[解析](1)由cos-sinα=,得cosαcos-sinαsin-sinα=,即cosα-sinα=,∴cosα-sinα=,即cos=

.∵α∈,∴α+∈,∴sin==,∴sin=sin=sin-cos=³=-,故选B.9(2)因为sinα=,sin(β-α)=-,且α,β均为锐角,所以cosα=,cos(β-α)=,所以sinβ=sin[α+(β-α)]=sinαcos(β-α)+cosα

sin(β-α)=³+³==,所以β=.故选C.变式题(1)A(2)B[解析](1)由题可知,0<+α<,<-<,所以sin=,sin=,所以cos=cos-=coscos+sinsin=³+³=.故选

A.(2)因为<β<α<,所以0<α-β<,π<α+β<,由cos(α-β)=,得sin(α-β)=,由sin(α+β)=-,得cos(α+β)=-,则sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β

)+cos(α-β)sin(α+β)=³+³=-,故选B.【备选理由】例1考查两角差的正切公式、基本不等式、正切函数的单调性,考查综合分析与运算的能力;例2主要考查三角函数中的恒等变换的应用,熟练运用相关公式和特殊角的关系是解题的关键;例3考查两角和与差的正弦公

式的运用,关键是角的配凑,然后化简求值.10例1[配合例1使用][2018²南充模拟]若tanα=3tanβ,则α-β的最大值为.[答案][解析]∵tanα=3tanβ,∴tanβ>0,∴tan(α-β)===.∵tanβ>0,∴+3tanβ≥2=2,∴tan(α-β)≤,当且仅当3tan2

β=1,即tanβ=时取等号,此时β=,tanα=3tanβ,即tanα=,α=.又0<β<α<,∴0<α-β<,∴0<tan(α-β)≤,又y=tanx在上单调递增,∴当tan(α-β)取得最大值时,α-β的值最大,∴当α=,β=时,α-β的值最大,∴α-

β的最大值为-=.例2[配合例3使用][2018²安徽皖江八校联考]的值为.[答案]1[解析]===1.11例3[配合例3使用][2018²安阳模拟]已知m=,若sin2(α+γ)=3sin2β,则m=()A.B.C.D.2[解析]D∵sin2(α+γ)=

3sin2β,∴sin[(α+β+γ)+(α+γ-β)]=3sin[(α+β+γ)-(α+γ-β)],∴sin(α+β+γ)cos(α+γ-β)+cos(α+β+γ)sin(α+γ-β)=3sin(α+β+γ)cos(α+γ-β)-3cos(α+β+γ)sin(α+γ-β),∴-2sin

(α+β+γ)cos(α+γ-β)=-4cos(α+β+γ)sin(α+γ-β),即==2,∴m=2.故选D.