【文档说明】《小结与思考》教学实录-九年级上册数学苏科版.docx，共(8)页，861.650 KB，由小喜鸽上传

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以下为本文档部分文字说明：

《挖掘隐含的基本图形解决问题（1）》一、教学目标：1、根据已知条件，借助图形把隐含的圆找出来；2、利用圆的丰富的性质来解决问题，达到化隐为显，化难为易，化繁为简的效果．3、经历构造圆的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力．二、教学

重点：能根据已知条件构造辅助圆，并利用圆的有关性质来解决问题．教学难点：能根据已知条件发现隐圆．三、课堂实录：师：在我们解题过程中，常会遇到有些题不知从何处入手解决，那么如何找到解题切入点呢？本节课介绍一种解题策略：通过挖掘隐含的基本图形解决问题。首先让我们一起思考问题1，请同学们看学案。

问题1、如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=80°，则∠BDC=_______°．学生自主思考后交流：生1：（实物投影）设∠ABD=x°，根据AB=AD可知∠ABD=∠ADB=x°，由三角形内角和为180°得∠CAB=（100-2x）°；在△ACD中，根据AC=A

D可知∠ACD=∠ADC=，所以∠BDC=40°．师：生1发现了题中有3个等腰三角形，并使用了“设而不求”的方法解出本题，非常好。还有其它的方法吗？生2：（实物投影）以A为圆心，AB为半径画圆，根据同弧(等弧)所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，得到∠BDC

=40°．师：你怎么会想到以A为圆心画圆?生2：题中“AB=AC=AD”这一条件告诉我们B，C，D这三点到A的距离相等，根据圆的定义可知．师:说得很好!圆的定义——到定点的距离等于定长的点的集合是圆。所以，以后当遇有公共端点的等

线段长时，通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造圆。师：刚刚两位同学都很好地利用了题中条件，挖掘出其中隐藏的基本图形，从而顺利地解决了本题。特别是第二种构造圆的方法，非常巧妙、便捷，可以说秒杀此题

。师：还有很多同学可能还没有构造圆的意识，今天我们就着重研究如何挖掘隐圆这种基本图形来解决问题。请同学们继续思考问题2。问题2、四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB=90°，∠CDB=30°，则∠CAB=

______°.生3：取AB的中点O，连接CO、DO，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，CO=DO=AO=DO，所以A、B、C、D四点都在以O为圆心，AO为半径的圆上再根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠CAB=∠CDB=30°。师：很好．通

过构造圆，从而构造了圆周角相等，这个难题一下子就迎刃而解了．那么在本题构造圆的过程中，你有什么发现呢？能否归纳一些有用的结论？生4：90°的圆周角所对的弦是直径，所以看到直角三角形想到直角顶点在以斜边为直径的圆上。生5：我发现有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点在同一个圆上。师：很好，简

称四点共圆。此时，圆心是斜边的中点，公共斜边是圆的直径，直角是直径所对的圆周角。师：那么如果不是两个直角三角形呢？如果是两个有公共边的一般三角形，且公共边所对的同侧两个角相等（不一定是90度），那么这样的两

个三角形四个顶点也共圆吗？比如△ABC和△ABD，它们有公共边AB，且AB所对的同侧角∠C和∠D相等。如果我们作出△ABD的外接圆，那么点C是不是一定在圆上？如果点C不一定在圆上，它可能在圆外吗？可能在圆内吗？生6：如果点C在圆外，设AD与圆交于点E，根据“同弧所对的圆周角相等”得：∠AD

B=∠AEB；根据“三角形外角大于与它不相邻的任何一个内角”得：∠AEB>∠C，这与条件“∠C=∠D”相矛盾，所以点C不可能在圆外。生7：如果点C在圆内，延长AC交圆于点F，同样可得∠ADB=∠AFB，∠AFB

<∠ACB，这与条件“∠ACB=∠D”相矛盾，所以点C也不可能在圆内。师：非常好。刚刚两个同学用了反证法证明：如果两个三角形有公共边，且公共边同侧所对的角相等，那么两个三角形的四个顶点共圆。师：这一条公共边（也叫定边）是圆的弦，两个等角是同弧所对的圆周角。简单地说，同侧定角度对定边的四点

共圆，其实直角三角形是它的特殊情况。师：那么异侧呢？有公共边且在公共边异侧的两个三角形满足什么条件就四点共圆呢？师：我们也先来看一下特殊的情况——直角三角形。如果有公共斜边的两个直角三角形分布在斜边两侧，那么它们四点共圆吗？生：四点共圆。师：证

明方法与同侧的情况类似。那么一般三角形呢？部分学生：互补。师：互补？很好。一画图大家就知道了。师：其实，只要有一组对角互补，它的四个顶点一定是共圆的。严格的证明方法请同学们课后阅读学案后的“延伸拓展”。师：本节课我们先总结黑板上这些构造圆的方法：以后再看到以上这些条件时，我们心中就要

多一个思路:挖掘隐藏的圆，始终要眼中有圆．画出隐藏的圆后，我们就可以利用圆丰富的性质来解决问题了。下面我们就尝试来应用一下：例1、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是

直线AD的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是_________________．生8：由“翻转”得：动点A’到E的距离等于AE，所以A’在以E为圆心，AE为半径的圆上。把隐圆构造出来，然后连接C和圆心E，与圆的交点就

是使A’C最短的点A’，通过勾股定理计算得A’C的最小值为。师：在一些动态问题中，若动点到定点的距离等于定长，则动点运动形成的轨迹是圆，画出隐藏的圆，可以解决一类最值问题（一定点到圆上的动点之间距离的最值）。师：还有什么运动也经常出现圆的运动轨迹？生：（齐声）旋转

。师：嗯，那么再来看看有关旋转运动的问题，请同学们完成下面的练习。练习、如图，已知正方形OABC的边长为4，将一个腰长为2的等腰直角三角板OEF的直角顶点放在点O处．在三角板OEF绕O点逆时针旋转一周的过程中，使得OE∥CF的位置有___

________个．生9：由“旋转”可知，点E、F运动的轨迹是以O为圆心，OF为半径的圆，已知∠FOE=90°，若要OE∥CF则∠CFO必须也为90°，所以CF要垂直于OE，所以CF与⊙O相切，这样的切线有2条，所以满足题意的位置有两个师：很好。要“平行”，CF必须垂直于OE，根据“经过半径的外

端且与半径垂直的直线是圆的切线”可知，CF必须与⊙O相切，而“过圆外一点有两条直线与圆相切”，所以满足OE∥CF的位置有2个。我们来看一下这两个位置。师：几何画板演示两个位置。师：这个练习中可见圆强大的性质，请同学们思考例2，继续体会构造圆解题这种方法的优越性。例2、如图，矩形ABCD的对

角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，AE=5，则sin∠BOE的值为．生10：由矩形内角90°和∠EOC=90°，根据黑板上“对角互补的四点共圆”可得，E、B、C、O都在以EC为直径的圆上，根据“同弧所对的圆周角相等”得∠EOB=∠ECB，所以sin∠B

OE=sin∠BCE=，易求EC=AE=5，EB=3，所以答案为sin∠BOE=sin∠BCE=。师：非常好。体会本题如何构造圆，以及构造圆的作用。本题构造出圆之后，可以转化等角，从而把求斜三角形中∠BOE的正弦的问题转化为直角三角形中等角

的正弦。当然，构造出圆后，圆的作用远远不止这些，我们再通过例3来体会圆还有什么应用。例3、已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），在直线上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有

（）A．1个B．2个C．3个D．4个生11：讲解，老师演示师：不过点C处是直角的2个点是作图得到的，有时画图可能5看不清，有没有更严谨的方法准确判断？生12：比较d与r，判断圆与直线的位置关系，从而判断交点个数师：若d=r，d>r，d<r？生12

：若d=r，则直线与圆相切，这样的直角三角形有3个；若d>r，则直线与圆相离，这样的直角三角形有2个；若d<r，则直线与圆相交，这样的直角三角形有4个。师：所以看到直角三角形存在性问题，我们可以构造圆来解决。那么如果不是直角呢？我

们一起来思考下面的变式。变式、已知点A，B，D的坐标分别为(-4，0)，(2，0)和（0，4），在直线(y>0)上找一点P，使∠APB=∠ADB。（用直尺和圆规在图中作出准确P点的位置）生13：要画“∠APB=∠ADB”，我想到了

“同弧所对的圆周角相等”，然后我先作出了△ABD的外接圆，圆与直线的交点就是所要作的点P。师：“∠APB=∠ADB”这个条件有什么特殊之处？怎么想到画△ABD的外接圆呢？生14：这两个角都有公共对边AB。师：非常好。根据“公共边同侧所对角相等的三角形四个顶点

共圆”可知，P应在△ABD的外接圆上。师：因为时间的关系，研究到这儿我们要暂停一下了。还有一个思考题留给同学们课后研究。思考：在平面直角坐标系中，A(-4，0)，B(2，0)，E(4，0)，点M在x轴上方，且

∠AMB=60°，则线段EM的长的最小值为________.师:通过本节课的学习你有哪些收获和体会？还有哪些疑问？生15：我学到了构造圆的一些方法，以及构造圆能便捷地解决问题。生16：基本图形有丰富的性质和结论，挖掘出条件中隐藏的基本图形有助于将问题逐一击破。师：今天

我们着重研究如何挖掘圆这一种基本图形，当然还有很多其它的基本图形，希望同学们在复习中有意识地积累和运用，争取做到虽然有些问题“题中无图，但我们心中要有图，眼中有形，才能解题有方，甚至出奇制胜！四、课后作业：1、延伸拓展：四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能

作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°．求证：过点A、B、C、D可作一个圆．证明：如图（1），假设过点A、B、C、D四

点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆外，设AD与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°，而已知∠B+∠D=180°，所以∠AEC=∠D，而∠AEC是△CED的外角，∠AEC＞∠D，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上．

如图（2）假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆内，设AD的延长线与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC=180°，而已知∠B+∠ADCA=180°，所以∠AEC=∠ADC，

而∠ADC是△CED的外角，∠ADC＞∠AEC，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上．因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．学习任务：（1）材料中划线部分结论的依据是．（2）证明过程中主要体现了下列哪种数学思想：（填字母代号即可）A、函数思想B、方程

思想C、数形结合思想D、分类讨论思想（3）（2017•扬州）如图3，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．当点P从点A

运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；图32、（2017•贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是______.第2题第3题3、

（2017•无锡）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于____________.五、教后反思：1、关于本节课课题的选

择：首先，课题体现的一种解题策略很实用，学生有时解不出题目，正是不会用条件，或者是只看到条件浅层次的结论，不会深入去挖掘条件背后隐含的基本图形。所以，本节课想提供一种视角，帮助学生更好地审题，更深入地去挖掘条件。其次，复习到现在阶段，学生对于直线形中常见的

几何问题形成了一些基本的解题策略,但从挖掘隐圆这个视角解决问题显得弱了很多。针对班中学生学习实际，根据学生的学习需求选择了这个专题，希望通过问题的讨论，帮助学生归纳总结提升。我想这一课题对于锻炼学生能力、拓宽学生的眼界还是比较好的一个题材。希望通过本节课的学习，理解

程度较好的学生，能够掌握构造辅助圆的基本方法，中等的学生能够在几何题中想到利用辅助圆，基础薄弱学生也能够想得起辅助圆。2、关于本节课的流程：本节课分为两大部分，第一部分是通过解题归纳出构造圆一些方法；第二部分是利用归纳的几个基本模型解决问题，从而发现构造圆解

决问题的优越性。两个部分都是以问题的形式引导学生思考，希望让学生先自主探究，然后合作交流，最后老师引领学生作归纳总结的形式呈现，通过学生思想的碰撞，最终达成共识。作为中考二轮复习课，主要任务是要通过复习提高考生综合能力与应试技巧，所以我们打算以专题的形式介绍一些“数学思想方法”、

解题策略和应试技巧。比如本节课多次提到“从特殊到一般”的数学思想，“类比”的思想等等。同时，由于问题都有一定的难度，所以在每一个问题提出后，老师都要注意给出足够的时间留白，充分给予学生思考问题的时间，合理分配“老师讲”、“学生思考”和“学生交流、小结”的时间。3、本节课的不

足：（1）“构造圆”的中心任务包括：①发现圆；②确定圆心。本节课中很多问题的计算都要用到圆心，而每个问题构造出圆的圆心在哪里，老师的讲解还不够细致、深入，部分同学可能还找不到圆心。（2）对于提问后学生的回答不能仅仅是简单评价，如果能对学生的回答作出及时的总结、方法的提炼，会对学生的学

习起到事半功倍的作用。比如问题1中，第一位学生想到用“等腰三角形”的基本图形解决问题，这种方法很好，其中涉及到设未知数有两种用途：一种是“设而求之”，一种是“设而不求”。如果课上老师能及时点拨、总结，哪怕只是

一两句话，将有助于学生解决一类问题，同时帮助学生建构方法体系。总之，作为中考二轮复习课，还有很多地方需要思考，很多内容需要深入研究，我会不断努力，争取给予学生更高效的复习课。