【文档说明】《1.1 一元二次方程》教学设计1-九年级上册数学苏科版.doc，共(6)页，4.997 MB，由小喜鸽上传

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1§1.1一元二次方程教材：苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程一、学情分析八年级下是学生智力和身心发展的关键阶段，学生的逻辑思维从经验型逐渐向理论型发展，对新知充满了好奇心和探究欲望但概括和抽象及类比能力有限。在初一、初二，学生已经陆续学习了“一元一次方程”、“二元一次方程”、“分式方程”，对

方程已有了一定的了解，积累了一些用方程表示简单情境中的数量关系的经验，但对于各类方程区别与联系、探寻等量关系以及体会方程的应用价值仍有待进一步的提升．二、学习内容分析1．教材分析“一元二次方程”是“苏科版”义务教育课程标准实验教科书·数学·九

年级（上册）第一章的教学内容，它属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的“数与代数”领域．本节课内容是在“一元一次方程”、“二元一次方程组”、“分式方程”的基础上，为满足解决某些实际问题和进一步学习数学的需要提出的，是体会方程思想和方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型的继续．通过

本节的学习对培养学生分析问题、解决问题的能力，体会数学的应用价值具有重要意义．2．学习内容“一元二次方程”从知识点主要讲两方面的内容：一元二次方程的概念；一元二次方程的一般形式．选用的教学内容以及思想方法的结构如图所示.3．知识点讲解要

点从现实情境到数学模型，从数学模型到一元二次方程的特点，从一元二次方程特点到一元二次方程的概念到概念的辨析、应用、再认识到一元二次方程的一般形式，都要经历理性思维的过程，所以讲解时应采用问题引导下的独立学习与讨论相结合的方式．根据教材内容与学情分

析，本节课预计达成以下教学目标．三、教学目标1．知识与技能（1）探索实际问题中的等量关系，并用方程描述，进一步感受方程是刻画现实世界的有效模型，发展数学化经验．（2）通过观察、比较、类比、归纳出一元二次方

程的概念及一般形式，会把一元二次方程化为一般形式．（3）培养观察、思考、分析问题的能力．2．过程与方法（1）经历探索实际问题中的数量关系和变化规律并抽象出方程的过程，体会方程与实际问题的联系，加强数学的应用意识，渗透数学建模思想．丰

富的实际情境数学化数学模型一元一次方程模型二元一次方程模型分式方程模型一元二次方程模型类比概括一元二次方程特点归纳一元二次方程概念一元二次方程一般形式再认识概括2（2）经历一元二次方程概念的形成过程，体

会类比的数学思想方法．3．情感态度价值观激发学习兴趣、积极参与教学活动，培养数学来源于生活又服务于生活的观念，在学习中体会成功的喜悦，树立学好数学的自信．根据教学内容、教学目标，结合学生的认知特点，本节课的教学重难点确定如下．四、教学重难点教学重点：探索实际问题中的数

量关系及变化规律并抽象出方程，归纳一元二次方程的概念，概括一元二次方程的一般形式．教学难点：从实际问题中建立方程模型；一元二次方程概念与一般形式的概括．为突出重点、突破难点，完成预期教学目标，本节课设计了六个教学环节：情境导学（情境创设）→探究问学（建构活动）→合作互学（数学化认识）→展示品学（

例题探究）→提升思学（课堂小结）→训练做学（拓展延伸）.五、教学过程1．情境导学：生活中处处有数学，学校数学兴趣小组进行了一天的观察和记录，老师节选了其中一段：教学楼有一块面积为4m2的正方形文化墙．羽毛球场上正在进行一场比赛，比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分，初二（1

）班赛了12场后积20分.跑道上小明、小强正参加100m跑，小强的速度是小明的1.1倍，结果小强成绩比小明快1.2s．如图，走廊上有一个长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m．图书馆2016年藏书5万册，到了2018年藏书达到了7.2

万册，管理员告诉学生16—17，17—18每年藏书平均增长的百分率相同．活动：根据实际情境提出问题、找出等量关系、设出未知数并列出方程．设它的边长为xm．根据题意，得x2＝4．设初二（1）班赢了x场，则输了(12－x)场．根据题意，得2x+(12－x)=20．设初二（1）班

赢了x场，输了y场．根据题意，得x+y＝12，2x+y＝20．（一情境两模型）设小明的速度为xm/s，则小强的速度为1.1xm/s．根据题意，得100x－1001.1x＝1.2．设小明的时间为xs，则小强的速度为（x-2）s．3根据题意，得1.1×100x＝

100x-2设平均每年的增长率是x．根据题意，得5(1+x)2=7.2．设梯子的底端到墙面的距离是xm．根据题意，得x2＋（x－1）2＝25．．．．．．．【设计意图】一元二次方程的情境可以有多样化的选取，既可以关注现实生活中的二次方程背景，又可基于方

程家族前后一致、逻辑连贯的特点．从一元一次方程出发，类比定义、学习一元二次方程．《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学教学应体现数学概念的问题情境，从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过观察、探索、猜测、交流、反思等活动．

逐步体会数学知识的意义，获得积极的情感体验，发展应用数学知识的意义．本节课情境的设计从学生生活中熟悉的文化墙、羽毛球比赛、100米跑、梯子以及图书馆藏书出发，只呈现数据，不给问题．让学生根据实际情境提出问题、找出等量关系、设出未知数并列出方程．在

学生得到的方程中既涵盖了已经学过的一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程，也涵盖了本节课所学习的一元二次方程．2．探究问学（亲历一元二次方程概念的形成过程）二次呈现情境中得到的方程，对方程进行分类．衔接语：刚刚我们通过情境问题，得到了以下方程：（1）2x+(12－x)＝20；（

2）x+y＝12，2x+y＝20；（3）5(1+x)2=7.2；（4）x2＝4；（5）100x－1001.1x＝1.2；（6）x2＋（x－1）2＝25．．．．．．．问1．你能从中找出哪些是我们比较熟悉、曾经学习过的方程吗？生：有（

1）2x+(12－x)＝20；（3）x+y＝12，2x+y＝20；（5）100x－1001.1x＝1.2．问2．你能分别说出它们是我们曾经所学习的哪一类方程，并说明理由吗？生1：2x+(12－x)＝20是一元一次方程，因为

它只有一个未知数，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式．生2：x+y＝12和2x+y＝20都是二元一次方程，因为它们有两个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式．生3：100x－1001.1x＝1.2是分式方程，因为它的未知数出现在分母中．师：

观察的很仔细，表述的也非常恰当！请大家接着思考．问3．过刚刚的回忆，不禁引发我们思考：方程的命名、定义主要取决于哪些因素？4生：未知数的个数、未知数的次数、未知数的位置．问4．对比左边我们所熟悉的方程，

你能说出右边三个方程的特点吗？生：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是整式．问5．你能给我们的新研究对象命名和下定义吗？生：我们可以称它们为一元二次方程．定义为：只含有一个未知数，且未知数的最

高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【设计意图】二次呈现从实际情境中得到的方程，通过设计问题串引导学生观察、比较、类比、概括最终自己建构出一元二次方程的定义，让学生亲历知识的形成过程，加深对概念的理解，并对所学的各类方程都有比较清楚的认识和理解，也为本节课的研究奠

定了坚实的基础与方向.3．合作互学（认识一元二次方程的一般形式，加深概念的理解）你能识别下列方程中的一元二次方程吗？（1）x2+x＝1；（2）x2＝1x；（3）x2＝1；（4）x2－3x+2y＝0；（5）x2－3＝(x－1)(x+2)．生1：（1）x2+x＝1；（3）x2

＝1；（5）x2－3＝(x－1)(x+2)是的，因为它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2．生2：（5）x2－3＝(x－1)(x+2)不是一元二次方程，因为如果化简后左右两边的x2抵消了！师

：生2观察的非常仔细，此题也提醒我们要判断一个方程是不是一元二次方程化简是非常必要的，这样的情况其实在实际情境中我们就遇了：回到情境中的一元二次方程师：只有把方程化简整理才能准确判断是不是一元二次方程，最后把方程右边的项全都移到左边合并同类项就可以更清楚的识别．而且所有的一元二方程都

可以化简成类似这样的形式，你能概括出一元二次方程的一般形式吗？生：一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．其中ax2、bx、c分别为二次项、一次项、常数项，a，b分别为二次项系数、一次项系数．师：通过

刚刚的探讨研究，我们又进一步得出一元二次方程的一般形式，加深了对一元二次方程的理解．【设计意图】通过对一元二次方程的识别，加深对概念的理解，并让学生意识到化简方程的必要性从而自然探索出一元二次方程的一般形式．4．展示品学5(1+x)2＝7.2x2＝4x2＋（x－1）2＝255x2+10x＝2.2x

2＝42x2－2x+1＝255x2+10x－2.2＝0x2－4＝0x2－x-12＝05(1+x)2＝7.2x2＝4x2+（x－1）2＝252x+(12－x)＝20一元一次方程x+y＝12，2x+y＝20.100x－1001.1x＝1.2分式方程整式方程二元一次方程二元一次方程5例1

．如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m.如果花圃面积是24m2，求花圃的长和宽．（1）你能根据题意列出方程吗？（2）把所得的方程化为一般形式并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．解：（1）设花圃的宽为xm．根据题意，得x(1

9－2x)＝24．（2）去括号，得19x－2x2＝24，移项，得2x2－19x+24＝0，所以二次项系数为2，一次项系数为－19，常数项为24．（教师规范板书）5．训练做学：一．根据题意，列出方程：（1）一张面积是240cm2的长方形彩纸，它的长比宽多8cm，

设长为xcm，则根据题意可得方程_________________．（2）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔.已知正方形面积是圆面积的19，设圆的半径为xcm，则根据题意可得方程_________________．答案：（1）x（x－8）＝

240；（2）πx2＝9.二．填表：一般形式二次项系数一次项系数常数项x2－x＝24x+1＝x22x2＝1x(x+3)＝－2答案：x2－x－2＝0，1，－1，－2；x2－4x－1＝0，1，－4，－1；2x2－1＝0，2，0，－1；x2+3x+2＝0，1，3，2．【设计意图】一道典型问题的解决再

现本节课的核心知识与技能，教师规范书写，并配合后测练习加强巩固新知．6．提升思学.今天这节课你有何收获？生：我们学习了一元二次方程的定义，了解了它的一般形式．师：接下来你将如何研究一元二次方程？生：解法．师：回归情境中

的方程：如何解x2＝4？生：x1＝2x2＝—2（舍去）师：那么x2－4＝0呢？．．．．．．师：你能试着说说你是如何思考的吗？生：．．．．．．【设计意图】通过设计问题引发学生进一步对探寻一元二次方程解法的思考．思想：把一元二次方程通过降次转化为一元一次方程；方法：平方根的

定义、因式分解．根据学生的实际情况适当渗透，学会“留白”．恰当的留白更会引发学生对数学知识的无限思考与探索．六、本节课设计意图：61．新课程标准指出：学生的学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的．本节课情境创设颇具新意，设计了一个问题情境链，内容真实也很贴近学生的学习生活，很好

的激发了学生的学习积极性．知识之于情境才显活力和美感，这样的设计不仅使教材上原本比较孤立的几个实际问题之间产生了密切的联系，还使情境问题中的方程模型更加丰富，为学生探索各类问题中数量关系提供丰富素材，让学生在解决问题过程中进一步体会：方程是刻画现实世界的有效模型，而建

立方程的关键在于找到等量关系．情境中丰富的方程模型也为后续用类比的方法建构一元二次方程的概念提供有利条件．2．新课程标准指出：有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿和记忆．所以概念教学一定要重视概念的形成过程，而不能只搞“一个定义，三项注意”式的抽象讲解．本节课在一元二次方程概

念的建构过程中，二次呈现问题情境中得到的所有方程，通过设计问题串引发学生深层次的思考，让学生亲历：感知情境→体验本质→抽象概括→完善概念的完整学习过程，了解概念产生的必要性、概念产生的条件、概念形成的规律．虽然花了时间，但探索概念过程中学生经

历了一个螺旋上升、再认识、再概括的过程，印象非常深刻，建构概念的同时还渗透了类比的数学思想方法，对后续学习产生了积极的影响，学生在获取知识的同时，数学思维能力也得到了提升．3．章头图是一章节的导游图，本节课在如何使用章头图上进行了很多的思考，最终把“梯子靠墙

”问题放在情境串中，意在体现一元二次方程与现实生活的密切联系，并从中抽象出本章研究对象，重在“引”字．思维拓展则回归情境中的方程x2＝4、x2－4＝0，启迪学生初步思考各类型的一元二次方程的解法，为后续学习做铺垫．章头图使用揭示了本章主题：

一元二次方程是刻画现实世界的数学模型，导出本章研究路线：认识一元二次方程→探寻它的解法→应用方程解决问题．七、本节课亮点.1．一元二次方程章节课的设计想法：作为初中阶段研究的最后一类方程，学生已经具备研究一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程的学习经验．所以本节课的教学设计，既要完成本节

课的教学内容（一元二次方程的概念：定义、一般形式等），也要考虑到对本章内容的统领作用（适当渗透如何进一步研究一元二次方程？解法．），更要对初中学习过的所有方程从概念、解法到应用有一个宏观、整体的思考（如何研究方程？）．所以我认为这节课的设计是充满挑战

的．2．一元二次方程的情境可以有多样化的选取，既可以关注现实生活中的二次方程背景，又可基于方程家族前后一致、逻辑连贯的特点．从一元一次方程出发，类比定义、学习一元二次方程．本节课情境的设计的非常新颖，从学生生活中熟悉的文化墙、羽毛球比赛、100米跑、梯子

以及图书馆藏书出发，只呈现数据，不给问题．让学生根据实际情境提出问题、找出等量关系、设出未知数并列出方程．在学生得到的方程中既涵盖了已经学过的一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程，也涵盖了本节课所学习的一元

二次方程．《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学教学应体现数学概念的问题情境，从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过观察、探索、猜测、交流、反思等活动．逐步体会数学知识的意义，获得积极的情感体验，发展应用数学知识的意义．我想本节课的设计是与之高度契

合的．3．情境中学生列出的方程巧妙的贯穿整节课，从实际情境——建立方程模型——通过类比认识一元二次方程（概念）——进一步研究一元二次方程（解法）用的都是情境中学生列出的方程，也体现了本节课的整体性．