【文档说明】中考数学一轮总复习28《数形结合问题》知识讲解+巩固练习（提高版）（含答案）.doc，共(19)页，514.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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中考冲刺：数形结合问题—知识讲解（提高）【中考展望】1.用数形结合的思想解题可分两类:(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2.热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为:实数、代数

式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为:直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合

的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a决定抛物线的开口方向,b与a一起决定抛物线的对称轴位置,c决定了抛物线

与y轴的交点位置，与a、b一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c的大小变化.【方法点拨】数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使

复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直

角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖

掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．【典型例题】类型

一、利用数形结合探究数字的变化规律1.如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是7S，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A.39SB.36SC.37SD.43S【思路点拨

】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形AnB

nCn三顶点分别在边长为（2n+1）个单位的菱形的内部，此菱形与三角形AnBnCn不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形AnBnCn面积公式，把n=3代入即可求出三角形A3B3C3的面积．【答案】C.【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图

上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形AnBnCn三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形AnBnCn不重合的部分为三个小三角形；而三角形AnBnCn面积=边长为2n+1个单位的菱

形面积-三个小三角形面积=2S（2n+1）2-(21)2(21)(1)2(1)2222nnsnnsnns,=S（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=S（3n2+3

n+1），把n=3分别代入上式得：S3=S（3×32+3×3+1）=37S．故选C．【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力．举一反三:【变式】（2016•潍坊）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正

方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是．【答案】（2n﹣1，2n﹣1）【解析】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1，∴A1点坐标（1，0），∵四边形A1B1C1O是正方形，

∴B1坐标（1，1），∵C1A2∥x轴，∴A2坐标（2，1），∵四边形A2B2C2C1是正方形，∴B2坐标（2，3），∵C2A3∥x轴，∴A3坐标（4，3），∵四边形A3B3C3C2是正方形，∴B3（4，7），∵B1（20，21﹣1），B2（21，22

﹣1），B3（22，23﹣1），…，∴Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1）．类型二、利用数形结合解决数与式的问题2.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+2a的结果为__________.【思路点拨】由数轴可知，0＜a＜2，由此去绝对值，对二次根式化简．【答案与解析】解：∵0＜a＜2

，∴|2-a|+2a=2-a+a=2.故答案为：2．【总结升华】本题考查了绝对值的化简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系．关键是根据数轴上的点的位置来判断数a的取值范围，根据取值范围去绝对值，化简二次根式．类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题3.(1)在边长为a的正方形纸片

中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是__________________（用字母表示）．（2）设直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，将这样的四个完全相同的直角三角

形拼成正方形，验证等式a2+b2=c2成立。【思路点拨】(1)根据阴影部分的面积相等，即可得到公式；(2)直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，这样的4个三角形，即可拼成正方形，据此即可得到．【答案与解析】解：（1）a2-b2=（a+

b）（a-b）；（2）验证：利用面积公式可得正方形的面积是：c2，正方形的面积是四个直角三角形的面积加上里面较小的正方形的面积，得到：4×12ab+（b-a）2=2ab+（a2-2ab+b2）=a2+b2，则a2+b2=c2．【总结升华】本题主要考查了平方差公式的几

何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．类型四、利用数形结合思想解决极值问题4.我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，

已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB′．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在

一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB′，与直线l的交点就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是________

；运用：（2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是_____________.操作：（3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM

，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹）.【思路点拨】(1)由正方形的性质可得点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就是EP+CP的最小值；(2)找点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，则AC′

与x轴的交点即为点D的位置，先求出直线AC′的解析式，继而可得出点D的坐标;(3)分别作点A关于OM的对称点A′、关于ON的对称点A″，连接A′A″，则A′A″与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置．【答案与解析】解：（1）∵点A是点C关于BD的对称点，连接AE，则AE就

是EP+CP的最小值，∴EP+CP的最小值=AE=5；（2）作点C关于x轴的对称点C′，连接AC′，则AC′与x轴的交点即为点D的位置，∵点C′坐标为（0，-2），点A坐标为（6，4），∴直线C′A的解析式为：y=x-2，故点D的坐标

为（2，0）；（3）分别作点A关于OM的对称点A′、关于ON的对称点A″，连接A′A″，则A′A″与OM交点为点B的位置，与ON交点为C的位置；如图所示：点B、C即为所求作的点．【总结升华】此题考查了利用轴对称

求解最短路径的问题，求解模式题意已经给出，注意仔细理解，灵活运用题目所给的信息．类型五、利用数形结合思想，解决函数问题高清课堂：数形结合问题资源编号：416971经典例题15.（仙游县二模）已知，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（0，2），点

P（m，n）是抛物线2114yx上的一个动点．（1）①如图1，过动点P作PB⊥x轴，垂足为B，连接PA，求证：PA=PB；②如图2，设C的坐标为（2，5），连接PC，AP+PC是否存在最小值？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说

明理由；（2）如图3，过动点P和原点O作直线交抛物线于另一点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．【思路点拨】（1）①设P（m，n）得出PB=m2+1，再根据A（0，2）得出AP=m2+1，即可证出PB=PA；②过点P作PB⊥x轴于

B，由PA=PB得出要使AP+CP最小，只需当C，P，B共线时即可，再根据点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，即可得出答案；（2）作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，先得出PF=2DE，再根据==，得出设P（m，m2+1）

，则D（m，m2+），根据m2+=（m）2+1，求出m，从而得出点P的坐标，最后代入求解即可．【答案与解析】解：（1）①设P（m，n）∴n=m2+1，∵PB⊥x轴，∴PB=m2+1，∵A（0，2）∴AP==m2+1，∴PB=PA；②过点P作

PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，所以点P的坐标为（2，2），（2）如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，由（1）得：DA=DE，PA=PF∵PA=2DA，∴PF=2

DE，∵△ODE∽△OPF，∴==，设P（m，m2+1），则D（m，m2+）∵点D在抛物线y=x2+1上，∴m2+=（m）2+1，解得m=±2，∴P1（，3），直线OP的解析式为y=x，P2（﹣，3）直线OP的解析式为y=﹣x，综上所求，所求直线OP的解析式为y=x或y=﹣x．【

总结升华】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理，关键是根据题意做出辅助线，列出算式，注意分类讨论思想的运用．举一反三:高清课堂：数形结合问题资源编号：416971经典例题2【变式】在平面直角坐标系xOy中，抛物线21124yx的顶点为M，直

线2yx，点0Pn，为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线21124yx和直线2yx于点A，点B.（1）直接写出A，B两点的坐标（用含n的代数式表示）；⑵设线段AB的长为d，求d关于n的函数关系式及d的最小值，并直接

写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；(3)已知二次函数2yaxbxc（a，b，c为整数且0a），对一切实数x恒有x≤y≤2124x，求a，b，c的值.【答案】解：(1)21(2)4Ann，，()Bnn，.(2)d=AB=AByy=2124nn

.∴d=2112()48n=2112()48n.∴当14n时，d取得最小值18.当d取最小值时，线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM.(如图)(3)∵对一切实数x恒

有x≤y≤2124x，∴对一切实数x，x≤2axbxc≤2124x都成立.(0a)①当0x时，①式化为0≤c≤14.∴整数c的值为0.此时，对一切实数x，x≤2axbx≤2124x都成立.(0a)即222,

12.4xaxbxaxbxx对一切实数x均成立.由②得21axbx≥0(0a)对一切实数x均成立.∴210,10.ab由⑤得整数b的值为1.此时由③式得，2axx≤2124x对一切实数x均成立.(0a)xy111APBMO④⑤②③即21(

2)4axx≥0对一切实数x均成立.(0a)当a=2时，此不等式化为14x≥0，不满足对一切实数x均成立.当a≠2时，∵21(2)4axx≥0对一切实数x均成立，(0a)∴2220,1(1)4(2)0.4aa

∴由④，⑥，⑦得0<a≤1.∴整数a的值为1.∴整数a，b，c的值分别为1a，1b，0c.中考冲刺：数形结合问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．（2016•黄冈模拟）如图1为深50cm的圆柱形

容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2为容器顶部离水面的距离y（cm）随时间t（分钟）的变化图象，则（）A．注水的速度为每分钟注入cm高水位的水B．放人的长方体的高度为30cmC．该容器注满水所用的时间为21分钟D．此长方体的体积为此容器的体

积的2.若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的①、②、③、④对应顺序.①小车从光滑的斜面上滑下(小车的速度与时间的关系)⑥⑦②一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物

(弹簧长度与所挂重物的重量的关系)③运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)④小杨从A到B后，停留一段时间，然后按原速度返回(路程与时间的关系)正确的顺序是()A．③④②①B．①②③④C．②③①④D．④①③②二填空题3.如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线A

B从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有个.4.（2015秋•江阴市期中）如图1，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q．如图2，先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将

该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示﹣2014的点与圆周上重合的点对应的字母是．5.（2016•鄂州一模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停

止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图（2），当t=时，△ABE与△BQP相似．三、解答题6.将如图所示的长方体石块（a＞b＞c）放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注

水，速度为vcm3/s，直至注满水槽为止．石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图所示．在这三种情况下，水槽内的水深h（cm）与注水时间t（s）的函数关系如上图1-6所示．根据图象完成下列问题：（1）请分别将

三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图象用线连接起来；（2）水槽的高h=cm；石块的长a=cm；宽b=cm；高c=cm；（3）求图5中直线CD的函数关系式；（4）求圆柱形水槽的底面积S．7.在数学活动中，小明为了求23411111+++

++22222n„的值（结果用n表示），设计如图1所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求23411111+++++22222n„的值为_______；（2）请你利用图2，再设计一个能求23411111+++++22222n„的值的几何图形．8.（2015秋•北

京校级期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B是y轴正半轴上一个定点，D是BO的中点．点C在x轴上，A在第一象限，且满足AB=AO，N是x轴负半轴上一点，∠BCN=∠BAO=α．（1）当点C在x轴正半轴上移动时，求∠BCA；（结果用含α的式子

表示）（2）当某一时刻A（20，17）时，求OC+BC的值；（3）当点C沿x轴负方向移动且与点O重合时，α=，此时以AO为斜边在坐标平面内作一个Rt△AOE（E不与D重合），则∠AED的度数的所有可能值有．（直接写出结果）9．阅读材料，解答问题．利用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．解

：设y=x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．（

1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＜0的解集是_________；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0（画出草图）.12122123124„（图1）（图2）10．（1）夜

晚，小明在路灯下散步．已知小明身高1.5米，路灯的灯柱高4.5米．①如图1，若小明在相距10米的两路灯AB、CD之间行走（不含两端），他前后的两个影子长分别为FM=x米，FN=y米，试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围？②有言道：形影不离．其原

意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2，若小明在灯柱PQ前，朝着影子的方向（如图箭头），以0.8米/秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移

动的速度．（2）我们知道，函数图象能直观地刻画因变量与自变量之间的变化关系．相信，大家都听说过龟兔赛跑的故事吧．现有一新版龟兔赛跑的故事：由于兔子上次比赛过后不服气，于是单挑乌龟再来另一场比赛，不过这次路线由乌龟确定„比赛开始，在同一起点出发，按照规定路线，兔子飞驰而出，极速奔跑，

直至跑到一条小河边，遥望着河对岸的终点，兔子呆坐在那里，一时不知怎么办．过了许久，乌龟一路跚跚而来，跳入河中，以比在陆地上更快的速度游到对岸，抵达终点，再次获胜．根据新版龟兔赛跑的故事情节，请在同一坐标系内（如图3），画出乌龟、兔子离开终

点的距离s与出发时间t的函数图象示意图（实线表示乌龟，虚线表示兔子）.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】设AB的解析式为y=k1t+b1，BC的解析式为y=k2t+b2，由题意得，，解得：，，∴y=，A、当0≤t≤3时，注水的速度为每分钟注入cm高水位的水，当3＜t

≤21时，注水的速度为每分钟注入cm高水位的水；B、由图象知，那样放置在圆柱体容器内的长方体的高为50﹣30=20cm；C、令y=0，则﹣x+35=0，解得：x=21，∴该容器注满水的时间为21秒．D、设每秒钟的注水量为mcm3．则下底面中未被长方体覆盖部分的面

积是：m÷=（cm2），圆柱体的底面积为：m÷=cm2．二者比为：=1：4，∴长方体底面积：圆柱体底面积=3：4．∵圆柱高：长方体高=20：50=2：5，∴长方体体积：圆柱体体积=6：20=3：10，

∴圆柱体的体积为长方体容器体积的；故选C．2.【答案】A；二、填空题3.【答案】5.【解析】如图，分别以一顶点为定点，连接其与另一顶点的连线，在此图形中根据平行线分线段成比例定理可知，CD∥BE∥AF，ED∥FC∥AB，EF∥AD∥BC，EC∥FB，AE∥BD

，AC∥FD，根据垂直平分线的性质及正六边形的性质可知，相互平行的一组线段的垂直平分线相等，在这五组平行线段中，AE、BD与AB垂直，其中垂直平分线必与AB平行，故无交点．故直线AB上会发出警报的点P有：CD、ED、EF、EC

、AC的垂直平分线与直线AB的交点，共五个．4．【答案】m；【解析】解：∵由题意可得，q、m、n、p第一次在数轴上对应的点为﹣1、﹣2、﹣3、﹣4，即每四个为一个循环，∴2014÷4=503…2∴数轴上表示﹣20

14的点与圆周上重合的点对应的字母是m．故答案为：m．5．【答案】294秒；【解析】由图象可知，BC=BE=5，AB=4，AE=3，DE=2，∵△ABE与△BQP相似，∴点E只有在CD上，且满足=，∴=，

∴CQ=．∴t=（BE+ED+DQ）÷1=5+2+（4﹣）=．三、解答题6．【答案与解析】（1）（1）图1与图4相对应，图2与图6相对应，图3与图5相对应；（2）10；a=10；b=9；c=6.（3）由题意可知C点的坐标为（45，9），D点

的坐标为（53，10），设直线CD的函数关系式为h=kt+b，∴945,1053kbkb解得1,8.278kb∴直线CD的函数关系式为h=12788t；（4）石块的体

积为abc=540cm3，根据图4和图6可得：10540(106)535321ss.解得S=160（cm2）.7.【答案与解析】（1）设总面积为：1，最后余下的面积为：12n，故几何图形的值为：2341111

1+++++22222n„的值为112n.故答案为：112n.8.【答案与解析】解：（1）过A分别作AM⊥BC于E，AF⊥x轴于F，则∠AMB=∠AFO=90°，设AO与BC交于点P，在△ABP和△COP中，∠BAO=∠BCN，∠BPA=∠CPO，∴∠ABP=∠COP，即∠ABM=∠AO

F，在△ABM和△AOF中，∴△ABM≌△AOF（AAS），∴AM=AF，∴CA平分∠BCF，∴．∵∠BCN=α，∴∠BCM=180°﹣α，∴；（2）∵△ABM≌△AOF，△ACM≌△ACF，∴BM=OF，CM=CF，∵OC+BC=OC+BM+CM，∴OC+BC=OC+OF+

CF=2OF，∵A（20，17），∴OF=20，∴OC+BC=40；（3）当点C沿x轴负方向移动且与点O重合时，∵x轴与y轴垂直，∴α=90°，此时以AO为斜边在坐标平面内作一个Rt△AOE（E不与D重合），则∠AED的度数的所有可能值有∠AED=45°或135°．故答案为：90°；

45°或135°．9．【答案与解析】解：（1）-1＜x＜3；（2）设y=x2-1，则y是x的二次函数，∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2-1=0，解得x1=-1，x2=1．∴由此得抛物线y=x2-1的大致图象如图所示．观察函数图

象可知：当x＜-1或x＞1时，y＞0．∴x2-1＞0的解集是：x＜-1或x＞1．10．【答案与解析】解：（1）∵EF∥AB，∴∠MEF=∠A，∠MFE=∠B．∴△MEF∽△MAB．①===．∴=，MB=3x

BF=3x-x=2x．同理，DF=2y．∵BD=10，∴2x+2y=10，∴y=-x+5，∵当EF接近AB时，影长FM接近0；当EF接近CD时，影长FM接近5，∴0＜x＜，②如图2所示，设运动时间为t秒，则EE′=FF′=0.8t,∵EF∥PQ,∴∠REF=∠RPQ，∠RFE=∠RQP,∴△R

EF∽△RPQ,∴∴∵EE′∥RR′,∴∠PEE'=∠PRR'，∠PE′E=∠PR′R,∴△PEE′∽△PRR′,∴∴∴RR'=1.2t∴1.2t=1.2(Vt影子米/秒）1.2t=1.2(Vt影子米/秒）.（2）如图3所示．