【文档说明】中考数学冲刺压轴题《因动点产生的等腰三角形问题》含答案.doc，共(18)页，585.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1.2因动点产生的等腰三角形问题例1如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC

的中点，AC＝23，求AB、BD的长；（2）如图1，求证：HF＝EF．（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图1图2例2如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴

为y轴，且经过(0,0)和1(,)16a两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1,0)、N(x2,0)两点，当△AMN为等

腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1例3如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若B

P＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1备用图例4如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物

线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由

．图1例5如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、

O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例6如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43yx的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速

度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点

P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图11.2因动点产生的等腰三角形问题

答案例1如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，H

F．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB、BD的长；（2）如图1，求证：HF＝EF．（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“15重庆25”，拖动点E运动，可以体验到，△FA

E与△FDH保持全等，△CMF与△CAE保持全等，△CEF保持等边三角形的形状．思路点拨1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．满分解答（1）如图3，在Rt△

ABC中，∠BAC＝60°，AC＝23，所以AB＝43．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝3，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝43，由勾股定理，得BD＝213．（2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE

平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝12AD．在Rt△ADH中，DH＝12AD．所以AE＝DH．因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．图3图4图5（3）如图5

，作FM⊥AB于M，联结CM．由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．因此FM＝12AD，△ACM是等边三角形．又因为AE＝12AD，所以FM＝EA．又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△C

AE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．图6图7如图8，图9，点E落在BC边

上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．图8图9图10图11例2如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和1(,)16a两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运

动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1,0)、N(x2,0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形A

MN存在三种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．满分解答（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．

所以b＝0，c＝0．将1(,)16a代入y＝ax2，得2116a．解得14a（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为214yx，设点P的坐标为21(,)4xx．已知A(0,2)，所以222411(2)4416PAxxx＞214x．而圆心P到x轴的距离为214x，所以

半径PA＞圆心P到x轴的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，2241416PMPAx，22411()416PHxx，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．等腰△AMN存在

三种情况：①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．图2图3②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝23．此时x＝OH＝232．所以点P的纵坐标为22211(232)(31)

42344x．③如图5，当NA＝NM时，点P的纵坐标为也为423．图4图5考点伸展如果点P在抛物线214yx上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0,1)，那么在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．这是因为：设点P的坐标为21(,)4xx．已知B(0,

1)，所以222222111(1)(1)1444PBxxxx．而圆心P到直线y＝－1的距离也为2114x，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．例3如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点

D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1备用图动感

体验请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验

到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意

，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．满分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以315tan544EDCDC，254EC．（

2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以43PMDMQNDN．所以34QNPM，43PMQN．图

2图3图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时3344QNPM．所以319444CQCNQN．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时31544QNPM．所以1531444CQCNQN．（

3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，3tan4QDDNQPDPDDM．在Rt△ABC中，3tan4BACCA．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CD

Q．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时4433PMQN．所以45333BPBMPM．②如图6，当QC＝QD时，由cosCHCCQ，可得5425258

CQ．所以QN＝CN－CQ＝257488（如图2所示）．此时4736PMQN．所以725366BPBMPM．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5图6考点伸展如

图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解256BP．例4如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设

点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P

在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会

落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,

0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最

小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BHPHBOCO，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1,2)．图2（3）点M的坐标为(1,1)、(1,6)、(1,6)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点

M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1,1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6m．此时点M的坐标

为(1,6)或(1,6)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3图4图5例5如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转1

20°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名

“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思

路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，

OB＝4，所以BC＝2，23OC．所以点B的坐标为(2,23)．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B(2,23)，232(6)a．解得36a．所以抛物线的解析式为23323(4)6

63yxxxx．（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23y．当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，B

P2＝16．所以224(23)16y．解得1223yy．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以22224(23)2yy．解得23y．综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)，如图2所示．图2图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△

OAB是两个相似的等腰三角形．由23323(4)(2)663yxxx，得抛物线的顶点为23(2,)3D．因此23tan3DOA．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．例6如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正

比例函数43yx的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R

，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1动

感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时

刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ

，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3yxyx得3,4.xy所以点A的坐标是(3，4)．令70yx，得7x．所以点B的坐标是(7，0)．

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8APRACPPORCORASSSS△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222tttt（．整理，得28120tt．解得t＝2或t

＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．图2图3图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，42AB，所以OB＞AB．因此∠O

AB＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的

情形，4≤t＜7．在△APQ中，3cos5A为定值，7APt，5520333AQOAOQOAORt．如图5，当AP＝AQ时，解方程520733tt，得418t．如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分

线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]ttt，得5t．如7，当PA＝PQ时，那么12cosAQAAP．因此2cosAQAPA．解方程52032(7)335tt，得22643t．综上所述，t＝1

或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形．图5图6图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAPAQA来求解．