【文档说明】中考数学冲刺压轴题《因动点产生的梯形问题》含答案.doc，共(15)页，388.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1.5因动点产生的梯形问题例1如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5,6)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点

E的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．图1例2如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，点B是这条直线上第一象限内的一个点，过点B作x轴

的垂线，垂足为D，已知△ABD的面积为18．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线212yxbxc经过点A和点B，求抛物线的解析式；（3）已知（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对

称轴上的一点，过点P作PQ//AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQ＝CP，求点P的坐标．图1例3已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线

的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y

＝3x－3交于点E，若73tanDPE，求四边形BDEP的面积．图1例4如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）

求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始

终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图1例5已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12

)两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，

请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为

t秒，求S关于t的函数关系式．图1图2例1如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5,6)．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上，且

△AEC和△AED相似，求点E的坐标；（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．动感体验请打开几何画板文件名“15徐汇24”，拖动点E在x轴上运动，可以体验到，直线CA和直

线DA与x轴的夹角都是45°，△CAE∽△EAD存在两种情况．思路点拨1．由A、C、D三点的坐标，可以得到直线CA、直线DA与x轴的夹角都是45°，因此点E不论在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE

．因此讨论△AEC和△AED相似，要分两种情况．每种情况又要讨论对应边的关系．2．因为∠CAD是直角，所以直角梯形存在两种情况．满分解答（1）如图1，因为抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(5,6)代入y＝a(x＋1)

(x－3)，得12a＝6．解得12a．所以抛物线的解析式为2113(1)(3)222yxxxx．（2）由22131(1)2222yxxx，得顶点D的坐标为(1,－2)．由A(－1,0)

、C(5,6)、D(1,－2)，得∠CAO＝45°，∠DAO＝45°，AC＝62，AD＝22．因此不论点E在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE＝∠DAE．图2图3如果△CAE∽△DAE，那么它们全等，这是不可能的．图1如图2，图3，如果△CAE∽△EAD，那么AE2＝AC

²AD＝622224．所以AE＝26．所以点E的坐标为(261,0)，或(261,0)．（3）因为∠CAD＝90°，因此直角梯形存在两种情况．①如图4，当DF//AC时，由1()162SDFACAD，得1(62)22162DF．解得DF＝22．此时F、D两点间的水平距

离、竖直距离都是2，所以F(3,0)．②如图5，当CF//AD时，由1()162SCFADAC，得1(22)62162CF．解得CF＝223．此时F、C两点间的水平距离、竖直距离都是23，所以F1716(,)33．图4图5考点伸展如

果第（3）题改为：点F在抛物线上，点F和点A、C、D构成梯形，求点F的坐标，那么就要分三种情况讨论了．如图4，当DF//AC时，点F就是点B(3,0)．如图6，当CF//AD时，FH＝CH．设F213(,)22xxx，那么213()

6522xxx．解得x＝±5．此时点F的坐标为(－5,16)．如图7，当AF//CD时，FMCNAMDN．所以1(1)(3)8214xxx．解得x＝7．此时点F的坐标为(7,16)．图6图7例

2如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，点B是这条直线上第一象限内的一个点，过点B作x轴的垂线，垂足为D，已知△ABD的面积为18．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线212yxbxc经过点A和点B，求抛物线的解析式；（3）已知（2）中的

抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上的一点，过点P作PQ//AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQ＝CP，求点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14金山24”，拖动点P运动

，可以体验到，AQ＝CP有两种情况，四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形．思路点拨1．△ABD是等腰直角三角形，根据面积可以求得直角边长，得到点B的坐标．2．AQ＝CP有两种情况，四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形．平行四边形的情况很简单，等腰梯形求点P

比较复杂，于是我们要想起这样一个经验：平行于等腰三角形底边的直线截两腰，得到一个等腰梯形和一个等腰三角形．满分解答（1）直线y＝x＋2与x轴的夹角为45°，点A的坐标为(－2,0)．因为△ABD是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6．因此OD＝4．所以点B的坐标为(4,6)．

（2）将A(－2,0)、B(4,6)代入212yxbxc，得220,846.bcbc解得b＝2，c＝6．所以抛物线的解析式为21262yxx．（3）由21262yxx，得

抛物线的对称轴为直线x＝2，点C的坐标为(0,6)．如果AQ＝CP，那么有两种情况：①如图2，当四边形CAQP是平行四边形时，AQ//CP，此时点P的坐标为(2,6)．②如图3，当四边形CAQP是等腰梯形时，作AC的垂直平分线交x轴于点F，那么点P在FC上．设点F的坐标

为(x,0)，根据FA2＝FC2列方程，得(x＋2)2＝x2＋62．解得x＝8．所以OF＝8，HF＝6．因此39tan642PHHFF．此时点P的坐标为9(2,)2．图2图3考点伸展第（3）题等腰梯形CAQP时，求点P的坐标也可以这样思考：过点P作P

E//x轴交AC于E，那么PE＝PC．直线AC的解析式为y＝3x＋6，设E(m,3m＋6)，那么P(2,3m＋6)．根据PE2＝PC2列方程，得(2－m)2＝22＋(3m)2．解得12m．所以P9(2,)2．图4其实第（3）题还有一个“一石二鸟”的方法：设QH＝n，那么AQ＝4－

n，PH＝3n，P(2,3n)．根据AQ2＝CP2，列方程，得．(4－n)2＝22＋(3n－6)2．整理，得2n2－7n－6＝0．解得n1＝2，232n．当n1＝2时，P(2,6)，对应平行四边形CAQP（如图2）；当232n时，P9

(2,)2，对应等腰梯形CAQP（如图4）．例3已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形A

BCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若73tanDPE，求四边形BDEP的面积．动感体验请打开几何画板文件名“12松江24”，拖动点P向右运

动，可以体验到，D、P间的垂直距离等于7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等．请打开超级画板文件名“12松江24”，拖动点P向右运动，可以体验到，D、P间的垂直距离等于7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等，tan0.

43DPE，四边形BDEP的面积为24．思路点拨1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7．3．已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离

等于7，那么点P向右平移到直线x＝3时，就停止平移．满分解答（1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,－3)．将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y＝ax2＋2x＋c，得20,3.acc解得1,3.ac所

以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1,－4)．（2）①如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(－2,－3)．因为CD//AB，设直线CD的解析式为y＝3x＋b，代入点C(－2,－

3)，可得b＝3．所以点D的坐标为（0，3）．②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE．由73tanDPE，得3tan7PHPDHDH．而DH＝7，所以PH＝3．图1因此点E的坐标为（3，6）．所以1()

242BDEPSBDEPPH梯形．图2图3考点伸展第（2）①用几何法求点D的坐标更简便：因为CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO．因此13BCOABDOB．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）．例4如图1，把两

个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为

线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过

程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．动感体验请打开几何画板文件名“12衢州24”，拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在等腰梯形ABPM．拖动点A′

在线段AC上运动，可以体验到，Rt△A′OB′、Rt△COD、Rt△A′HG、Rt△OEK、Rt△OFG和Rt△EHK的两条直角边的比都为1∶2．请打开超级画板文件名“12衢州24”，拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的

左侧，存在AM＝BP．拖动点A′在线段AC上运动，发现S最大值为0.375．思路点拨1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．2．△

AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．4．设点A′移动的水平距离为m，那

么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．满分解答（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得2,0,421.abccabc解得32a，72b，0c．所以23722yxx

．（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰图1梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝yP′－yB．直线OC的解析式为12yx，设点P的坐标为1(,)2xx，那么237(,)22Mxxx．解方

程23712()222xxx，得123x，22x．x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以21(,)33P．图2图3（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K．设点A′移动的水平距离为m，那么O

G＝1＋m，GB′＝m．在Rt△OFG中，11(1)22FGOGm．所以21(1)4OFGSm．在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以111'(2)1222HGAGmm．所以13(1)(1)22OHOGHGmmm．在Rt△OEK中，OK＝2E

K；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．因此4432332OKOHmm．所以12EKOKm．所以211332224OEHSOHEKmmm．于是22213111(1)44224OFGOEHSS

Smmmm2113()228m．因为0＜m＜1，所以当12m时，S取得最大值，最大值为38．考点伸展第（3）题也可以这样来解：设点A′的横坐标为a．由直线AC：y＝－x＋3，可得A′(a,－a＋3)．由直线OC：1

2yx，可得1(,)2Faa．由直线OA：y＝2x及A′(a,－a＋3)，可得直线O′A′：y＝2x－3a＋3，33(,0)2aH．由直线OC和直线O′A′可求得交点E(2a－2，a－1)．由E、F、G、H4个点的坐标，可得例5已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)

两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上

的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间

为t秒，求S关于t的函数关系式．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“11义乌24”，拖动点M从P向O运动，可以体验到，M在到达PO的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形．思路点拨1．第（2）题可以根

据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．满分解答（1）设抛物线的解析式为2(4)yaxk，代入A（2，0）、C(0，12)两点，得40,1612.akak

解得1,4.ak所以二次函数的解析式为22(4)4812yxxx，顶点P的坐标为（4，－4）．（2）由2812(2)(6)yxxxx，知点B的坐标为（6，0）．假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．由两点

间的距离公式，得22(4)(24)36xx．解得25x或x＝－2．如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．所以，当点D的坐标为(52，54)时，四边形OPBD为等腰梯形．图3图4图5（3）设△PMN与△POB的高分别为

PH、PG．在Rt△PMH中，2PMt，PHMHt．所以'24PGt．在Rt△PNH中，PHt，1122NHPHt．所以32MNt．①如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时2133224Sttt

．②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积．由于2''PDCPMNSPGSPH△△，所以222'2433(24)44PDCtSttt△．此时222339(24)12124

44Stttt．考点伸展第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆．以P为圆心，OB长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．方法二，按照对边相等画圆．以B为圆心

，OP长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．