【文档说明】中考数学一轮总复习07《一元二次方程、分式方程的解法及应用》知识讲解+巩固练习（基础版）（含答案）.doc，共(13)页，421.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知

识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20axbxc(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2xm的形式，当m＞0时，方程的解为xm；

当m＝0时，方程的解1,20x；当m＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20axbxc变形为222424bbacxaa的形式，再利用直接开平方法求得方

程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20axbxc，当240bac时，它的解为242bbacxa．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释

：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac4b2．△>0方程有两个不相等的实数根；△＝0

方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0cbxax2(a≠0)的两个根是21

xx、，那么acxxabxx2121，．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未

知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1

)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方

程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位

数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关

系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行

一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未

知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思

想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方

程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213xx【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值.【答案与解析】移项，得2231xx二次项系数化为1

，得23122xx配方22233132424xx231416x由此可得3144x11x，212x【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常

数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程

的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.举一反三：【变式】用配方法解方程x2-7x-1=0．【答案】将方程变形为x2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得x2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为x=7+53

2或x=7-532．2．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0.【答案与解析】（1

）证明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，∵m=

2不合题意，∴m=1．【总结升华】（1）注意隐含条件m≠0；（2）注意整数根的限制条件的应用，求出m的值，要验证m的值是否符合题意.举一反三：【变式】已知关于x的方程2(2)210xmxm．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时

，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．【答案】（1）证明:因为△=)12(4)2(2mm=4)2(2m所以无论m取何值时，△>0，所以方程有两个不相等的实数根．（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021xx，根据方程的根与系数的关系得02m，解得2m，所以原方

程可化为052x，解得51x，52x.类型二、分式方程3．（2015•贺州）解分式方程：=﹣．【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验.【答案与解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得x+1=3(2x-1)-2(2x+1

)x+1=2x-5，解得x=6．检验：x=6是原方程的根．故原方程的解为：x=6．【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根.举一反三：【变式1】解分式方程：21233xx

x．【答案】方程两边同乘以3x，得22(3)1xx．2261xx．5x．经检验：5x是原方程的解，所以原方程的解是5x．【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清ID号：405754关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）】【变式2】

方程22123xxx的解是x=．【答案】0x.4．若解分式方程2111(1)xmxxxxx产生增根，则m的值是（）A.B.C.D.【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m的值.【答

案】D；【解析】由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得2m或1，故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值.举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清ID号：405

754关联的位置名称（播放点名称）：例1（2）-例2】【变式】若关于x的方程2332xmxx无解，则m的值是．【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42

千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系.【答案与解

析】设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时由题意，得解得：经检验：是原方程的根xyxy173173答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时.【总结升华】流水问题公式：顺流速度＝静水速度

＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度；静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的

时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【答案】设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意得：答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500

元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价

平均每月降低率为x，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果．【答案与解析】设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x．625（1-

20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．1-x=±0.9，x=1±0.9，x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．答：该产品的成本价

平均每月应降低10%．【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，•要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，•关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.用配方法解方程22

50xx时，原方程应变形为（）A．216xB．216xC．229xD．229x2．关于x的一元二次方程2210xmxm的两个实数根分别是12xx、，且22127xx，则212()xx的值是（）A．1B．12C．13D．253．（2015•成都

）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠04．若关于x的一元二次方程0235)1(22mmxxm的常数项为0，则m的值等于（）A．1B．2C．1或2D．05．在一幅长为80cm，宽为5

0cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）.A．213014000xxB．2653500xxC．213

014000xxD．2653500xx6．甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）A.B.C.D.二、填空题7．（2015•宿迁

）方程﹣=0的解是．8．如果方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，则实数a的取值范围是______．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为__．10．当m为时，关于x的一元二次方程02142mxx有两个相等

的实数根；此时这两个实数根是.11．如果分式方程1xx=1xm无解,则m=.12．已知关于x的方程x1－1xm=m有实数根，则m的取值范围是.三、解答题13.（1）解方程：xxxx4143412；（2）解方程：xxxx221103.14．一列火车从车站

开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．（2015•泗洪县校级模拟）已知关于x的方程x2+（

2m﹣1）x+m2=0有实数根，（1）求m的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用

80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平

方，整理即可得到B项是正确的.2.【答案】C；【解析】∵22127xx∴221212)22(21)7xxxxmm（，解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230xx，212()xx=21212()411213.xxxx

3.【答案】D；【解析】依题意列方程组，解得k＜1且k≠0．故选D．4.【答案】B；【解析】有题意2320,10mmm且≠，解得2m.5.【答案】B；【解析】（80+2x）（50+2x）=5400，化简得2653500xx.6.【答案】B；【解析】由已知，此人步行的路程

为av千米，所以乘车的路程为千米。又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为/SavBb千米小时，应选.二、填空题7．【答案】x=6；【解析】去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0，去括号得：3x﹣6﹣2x=0，整理得：x=6，经检验得x=6是方程的根．故答案为：

x=6．8．【答案】a＜1且a≠0；【解析】△＞0且a≠0.9．【答案】100)1(1202x；【解析】平均降低率公式为(1)naxb(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)10．【答案】m=2

9；x1=x2=2．【解析】由题意得，△=(－4)2－4(m－21)=0即16－4m+2=0，m=29．当m=29时，方程有两个相等的实数根x1=x2=2．11．【答案】-1；【解析】原方程可化为：ｘ＝ｍ．∵原分式方程无解∴ｘ=－1，故代入一次方程有ｍ＝－１．所以，当ｍ＝－

１时，原分式方程无解.12．【答案】当ｍ≤41且ｍ≠０时；【解析】原方程可化为：ｍｘ２－ｘ＋１＝０当ｍ＝０时，得ｘ＝１，原分式方程无解，不符合题意舍去．当ｍ≠０时,⊿=１２－４ｍ≥０，解之ｍ≤41所以，当

ｍ≤41且ｍ≠０时，原分式方程有实数根．三、解答题13.【答案与解析】（1）部分移项得：xxxx4143412∴xxxx4143412∴x412∴x＝2经检验：x＝2是原分式方程的根.（2）原方程可化为：xxxx221313

∴或xxxx22313解之得：，xx12341132121621,,1,23,41131121226xx经检验：，均是原分式方程的根.14.【答案与解析】设这列火车的速度为x千米/时根据题

意，得方程两边都乘以12x，得解得经检验，是原方程的根答：这列火车原来的速度为75千米/时.15.【答案与解析】解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，解得m1=0，m2=﹣2，即m的值为0或﹣2；（3）存在

．根据题意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，∵α2+β2﹣αβ=6，∴（α+β）2﹣3αβ=6，即（2m﹣1）2﹣3m2=6，整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1，∵m≤；∴m的值为﹣1．16.【答案与解析】设AD=BC=xm，则AB=（80－2x）m（1）由题意得：

x（80－2x）=750解得：x1=15，x2=25，当x=15时，AD=BC=15m，AB=50m当x=25时，AD=BC=25m，AB=30m答：当平行于墙面的边长为50m，斜边长为15m时，矩形场地面积为750m2；或当平行于墙面的边长为30m，邻边长为25m时矩形场地面积为750m2.（

2）由题意得：x（80－2x）=810△=40－4×405=1600－1620=－20＜0∴方程无解，即不能围成面积为810m2的矩形场地.