【文档说明】中考数学一轮总复习01《实数》知识讲解+巩固练习（提高版）（含答案）.doc，共(14)页，597.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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中考总复习：实数—知识讲解（提高）【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，

并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用；4.逐步形成数形结合、分类讨论、建模思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：

正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2.按性质符号分类：正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数

负分数负无理数有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如nm（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24、等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如2.101

00100010000„（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型：3256、、，„都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，

我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值（1)

代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：)0()0(0)0(aaaaaa（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个

非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．3.倒数（1)实数(0)aa的倒数是a1；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数1ab.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有

一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作a．（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作a．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；

一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．要点诠释：若,aa则0a；-,aa则0a；-ab表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每

一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0

，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>

b>0，a2>b2a>bba；或利用倒数转化：如比较417与154.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的

运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a

+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=

ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的

数都得0．5.乘方与开方（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，an所表示的意义是n个a相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、

负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数011(0)(0).ppaaaaa≠，≠要点诠释：（1）加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次

运算．（2）实数的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc考点六、有效数字和科学记数法1.近似数一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一

位．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.2.有效数字一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．3.科学记数法把一个数用±a×10n（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数

法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10n，其中1≤a＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非

零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.考点七、数形结合、分类讨论、建模思想1.数形结合思想实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题

的突破口；2.分类讨论思想（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏；3.从实际问题中抽象出数学模型以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个

考点来解决问题，然后有的放矢.【典型例题】类型一、实数的有关概念1．（2015春•杭锦后旗校级期末）在下列各数中，无理数有（）.，，，﹣π，﹣，，，0，0.5757757775„（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）．A．2个B．3个C．4个D

．5个【答案】D；【解析】无理数有：，，﹣π，，0.5757757775„（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）共有5个．故答案是：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001„，等

有这样规律的数．举一反三：【高清课程名称：实数高清ID号：369214关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2-4】【变式】（2015•安徽）与1+最接近的整数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】B.∵4＜5

＜9，∴2＜＜3．又5和4比较接近，∴最接近的整数是2，∴与1+最接近的整数是3，故选：B．类型二、实数有关的计算【高清课程名称：实数高清ID号：369214关联的位置名称（播放点名称）：经典例题8-9】2．(1)有一列数

174,103,52,21，„，那么依此规律，第7个数是______；（2）已知123112113114,,,1232323438345415aaa4a6541,,24551依据上述规律，则99a．【答案】

(1)750－；（2）1009999.【解析】(1)符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是750－.（2）99a.99991001001101100991【点评

】(1)规律：21)1nnn(－（n为正整数）；（2）规律：111(1)(2)1(2)nnnnnnn（n为正整数）.举一反三：【变式】a是不为1的有理数，我们把11a称为a的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112，1的差倒数是111(1)2．已

知113a，2a是1a的差倒数，3a是2a的差倒数，4a是3a的差倒数，„，依此类推，则2009a．【答案】因为113a，,43.)31(112a,4.43113a,31.411

4a,43.)31(115a,4.43116a„„..三个一循环，因此2009a.43)31(112a类型三、实数大小的比较3．若20072008a，20082009b，试不用．．将分数化小数的方法

比较a、b的大小．【答案与解析】a=2007200920082009(20081)(20081)20082009222008120082009，b2200820082009，222200812008，∴a<b．【点评

】通过通分进行比较.举一反三：【变式】当0b时，比较1＋b与1的大小.【答案】（1）∵b≠0时，∴b＞0或b＜0．当b＞0时，1＋b＞1，当b＜0时，1＋b＜1.类型四、平方根的应用4．已知0)2(12312cba，求bca的值.【答案与解析】∵

13a≥0，21b≥0，2(2)c≥0，0)2(12312cba.∴10321020abc解得13122abc则11()33bca.【点评】利用a≥0，a≥0，na2≥0（n为自然数）等常见的三种非负数及其性

质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得a、b、c的值，代入后本题得以解决。举一反三：【变式】已知x、y是实数，且34x+（y2－6y+9）=0，若axy－3x=y，则实数a的值是（）A．14B．－14C．74D．－74【答案】

A.∵34x+（y－3）2=0，∴3x+4=0，y－3=0，∴x=－43，y=3．∵axy－3x=y，∴－43×3a－3×（－43）=3，∴a=14∴答案选A.类型五、实数运算中的规律探索5．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十

五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和6×7的两个示例．（1）用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的

正确性？【答案与解析】（1）按照题中示例可知：要计算7×8，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；（2）按照题中示例可知：要计算a×b，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a；右手应伸出（b

-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10，未伸出的手指数的积为（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b根据题中的规则，a×b的结果为10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）而10×（

a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b所以用题中给出的规则计算a×b是正确的．【点评】此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．6．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，

它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个

数位上的数字再立方，求和„，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（）A．363B．153C．159D．456【答案】B；【解

析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，

则T=153．故选B．【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数．可以任意找一个3的倍数，如6．第一次立方后得到216；第二次得到225；„；第十次得到153；开始重复，则可知T=153．举一反三：【

变式1】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形是由n个正方形组成的，通过观察可以发现：4n3n2n1n（1）第四个图形中火柴棒的根数是；（2）第n个图形中火柴棒的根数是.【答案】（1）13；（2）13n.【变式2】有一列数1、2、3、4、5、6、„，当按顺序从第

2个数到第6个数时，共数了个数；当按顺序从第m个数到第n个数（m＜n）时，共数了个数。【答案】5；)1(mn.中考总复习：实数—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.在实数π、13、2、sin30°,无理数的个数为()A.1B.2C.3D

.42.对于实数a、b，给出以下三个判断：①若ba，则ba．②若ba，则ba．③若ba，则22)(ba．其中正确的判断的个数是（）A．3B．2C．1D．03．（2015•河南一模）据统计，2014年河南省机动车保有量突破280万辆，对数据“

280万”的理解错误的是（）A．精确到万位B．有三个有效数字C．这是一个精确数D．用科学记数法表示为2.80×1064．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为

半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5B．22C．3D．55．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）A．38B．52C．66D．746.若a、b两数满足567a3＝103，a103＝b，则ba之值为（）A．9656710B．93567

10C．6356710D．5671002842462246844m6二、填空题7．（1）先找规律，再填数：1111111111111111,,,,122342125633078456............111+_______.2011201220112012

则（2）对实数a、b，定义运算★如下：a★b=(,0)(,0)bbaabaaaba，例如2★3=2-3=18.计算[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=.8．已知：,,观察前面的计算过程，寻找计算规

律计算27A（直接写出计算结果），并比较59A310A（填“”或“”或“=”）9．右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→„的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，„，当

数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是（用含n的代数式表示）．10．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为__________

_.11．已知，当n=1时，a1=0；当n=2时，a2=2；当n=3时，a3=0；„则a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为___________．12．（2014秋•石家庄期末）观察图形：请用你发现的规律直接写出图4中y的值．三、解答题13

．对于任何实数，我们规定符号cadb的意义是：cadb=bcad．按照这个规定请你计算：当0132xx时，21xx13xx的值．14.（2014•营口模拟）小彬在做数学题时，发现下面有趣的结果：3﹣2=18

+7﹣6﹣5=415+14+13﹣12﹣11﹣10=924+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16…根据以上规律可知第99行左起第一个数是．15．根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×2

4；17×23；18×22；19×21；20×20.(1)试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论.(不要求证明)16

.已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2.(1)求线段OA2的长；(2)若再以OA2为边按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交

于点A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，„，△OAnBn(如图).求△OA6B6的周长.【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】π、2是无理数.2.【答案】C；【解析】通过举反例说明①②是不对的，只有③是正确的.3.【答案】C；【解析】A、

280万精确到万位是正确的，此选项不合题意；B、280万有三个有效数字是正确的，此选项不合题意；C、280万是一个近似数，不是精确数，此选项符合题意；D、280万用科学记数法表示为2.80×106是正确的，此选项不合题意

．故选：C．4.【答案】D；【解析】用勾股定理求得OB=5即可.5.【答案】D；【解析】先分析出阴影方格的数，如图，找出规律：m=左下角方格的数的平方加上右上角方格的数.6.【答案】C；二、填空题7．【答案】（1）110

06；（2）1；【解析】（1）规律为：111111(1)2nnnnn（n为正整数）.（2）[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=2-4×（-4）2=1.8．【答案】42；.【解析】27A7×6=42；∵59A=9×8

×7×6×5，310A=10×9×8，∴59A310A.9．【答案】B；603；6n＋3；【解析】字母C第“奇数”次出现时，恰好数到的数是这个“奇数”的3倍。10．【答案】4；【解析】第一次结果是-2，继续输入得到结果是4，符合题意.11．【答案】6；【解析】a1=

a3=a5=„=0，a2=a4=a6=„=2，所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=6.12．【答案】12.【解析】∵12=5×2﹣1×（﹣2），20=8×1﹣（﹣3）×4，﹣13=（﹣7）×4﹣5×（﹣3），∴y=3×0﹣6×（﹣2）=12．故答案为：12．三、解

答题13.【答案与解析】14.【答案与解析】解：∵3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，24=52﹣1，…∴第99行左起第一个数是：（99+1）2﹣1=9999．故答案为：9999．15.【答案与解析】(1)11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；

14×26=202-62；15×25=202-52；16×24=202-42；17×23=202-32；18×22=202-22；19×21=202-12；20×20=202-02；例如：11×29；假设11×29=□2-○2；因

为□2-○2=(□+○)(□-○)所以，可以令□-○=11，□+○=29)2(3)1)(1(1321xxxxxxxx.162631222xxxxx.1121)32.13,013222

xxxxxx（原式解得，□=20，○=9，故11×29=202-92(或11×29=(20-9)(20+9)=202-92)(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29<12×28<13×27<14×26

<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20.(3)①若a+b=40,a,b是自然数，则ab≤202=400.②若a+b=40，则ab≤202=400.③若a+b=m，a，b

是自然数，则④若a+b=m，则⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=„=an+bn=40，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥„≥|an-bn|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤„≤anbn.⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=„=an+b

n=m，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥„≥|an-bn|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤„≤anbn.16.【答案与解析】(1)(2)依题意，以此类推，，即△OA6B6的周长为