【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案7．2《一元二次不等式及其解法》(含详解).doc，共(25)页，775.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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7．2一元二次不等式及其解法1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是__________．(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的__________．(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，

一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为__________；当a＜0时，解集为__________．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是_________

_．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的

________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于

号取__________，小于号取__________”求解集．(4)一元二次不等式的解函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1,x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x

2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①②Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅③4．分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔

f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0⇔f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）g（x）≤0⇔f（x）g（x）≤0，g（x）≠0．自查自纠

：1．(1)同解不等式(2)同解变形2．x|x＞bax|x＜baa＝0，b＜03．(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)①{}x|x＜x1或x＞x2②xx≠－b2a③∅(

2016·梧州模拟)不等式2x＋1<1的解集是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1，1)解：因为2x＋1<1，所以2x＋1－1<0，即1－xx＋1<0，该不等式可化为(x＋

1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1．故选A．(2016·青海模拟)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－2，2]C．(－2，2)D．(－∞，2)解：当a≠2时，有a－2

＜0，Δ＜0，所以－2<a<2．当a＝2时，原式化为－4<0，恒成立．所以－2<a≤2．故选B．(2018·温州九校联考)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<－2}，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为()A．

x|－12<x<－13B．x|x<－12或x>－13C．{x|－3<x<2}D．{x|x<－3或x>2}解：由题意得5a＝－3－2，ba＝－3×（－2），解得a＝－1，b＝－6，

所以不等式bx2－5x＋a>0为－6x2－5x－1>0，即(3x＋1)·(2x＋1)<0，所以解集为x|－12<x<－13．故选A．(2017·贵阳一模)已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是________．

解：依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，则函数g(x)的值域取遍一切正实数，因此对于方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4．故填[－4，＋∞)．(2017·

信阳一模改编)已知关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝52，则a＝________．解法一：由题意得，x1＋x2＝a①，x1x2＝－6a2②，①2－4×②可得(x2－x1)

2＝25a2，又x2－x1＝52，所以25a2＝50，解得a＝±2，因为a<0，所以a＝－2．解法二：关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)可化为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得x>－2a或x<3a，所以x1＝3a，x2＝－2a．又x2－x1＝

52，所以－5a＝52，所以a＝－2．故填－2．类型一一元二次不等式的解法(1)解下列不等式．(Ⅰ)x2－7x＋12＞0；(Ⅱ)x2－2x＋1＜0．解：(Ⅰ)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4．而y＝x2－7x＋12的图象开口向

上，可得原不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．(Ⅱ)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1．而y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅．(2)解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)．解：①当k＝0时，不等式的解为x＞

0．②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，不等式的解为1－1－k2k＜x＜1＋1－k2k；若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0时，x＜1＋1－k

2k或x＞1－1－k2k；若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1．综上所述，当k≥1时，不等式的解集为∅；当0＜k＜1时，不等式的解集为{x|1－1－k2k＜x＜1＋1－k2k}；当k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}；当－1＜k＜0时，不等式的

解集为{x|x＜1＋1－k2k或x＞1－1－k2k}；当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；当k＜－1时，不等式的解集为R．点拨：解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的

一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．解含参数的一元二次不等式常分以下几种情况讨论：①根据二次项系数

讨论(大于0，小于0，等于0)；②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；③根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1<x2)．(1)解下列不等式．(Ⅰ)－x2－2x＋3≥0；(Ⅱ)x2－2x＋2＞0．解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等

式可化为x2＋2x－3≤0．方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1．而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(Ⅱ)因为Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0

无实数解，而y＝x2－2x＋2的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋2＞0的解集为R．(2)若关于x的不等式ax2－x＋2a<0的解集为∅，则实数a的取值范围是________．解：依题意知，问题等价于ax2

－x＋2a≥0恒成立，当a＝0时，－x≥0不恒成立；当a≠0时，要使ax2－x＋2a≥0恒成立，需a>0，Δ≤0，即a>0，1－8a2≤0，解得a≥24，即a的取值范围是24

，＋∞．故填24，＋∞．类型二二次不等式、二次函数及二次方程的关系(1)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为()A．x|x<－1或x>12B．x|－1<x<12C．{x|－2<x<1}D．

{x|x<－2或x>1}解：由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，且a＜0．由韦达定理得－1＋2＝－ba，（－1）×2＝2a⇒a＝－1，b＝1．所以不等式2x2＋bx＋a<

0，即2x2＋x－1<0．解得－1＜x＜12．故选B．点拨：已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．(2)已知函数f(x)＝ax2＋

(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0．当x∈(－3，2)时，f(x)>0．(Ⅰ)求f(x)在[0，1]内的值域；(Ⅱ)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．解：(Ⅰ)依题意知，－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝

0的两根，且a<0，则－3＋2＝－b－8a，－3×2＝－a－aba，所以a＝－3，b＝5，则f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3x＋122＋754，函数f(x)的图象关于直线x＝－12对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0，1]上f

(x)为减函数，所以函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12．故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，不等式ax2＋bx＋c≤0即为－3x2＋5x＋c≤0，因为二次函数y＝－

3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝25＋12c≤0，即c≤－2512，所以实数c的取值范围为－∞，－2512．点拨：三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中

，至少有三分之一的题目与之相关．直接考查的不多见，以间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居核心地位．(1)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(Ⅰ)求a，b；(Ⅱ)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0．解：(Ⅰ)因为不等式ax2－3x＋6>

4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a．解得a＝1，b＝2．(Ⅱ)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(2＋c)x＋

2c<0，即(x－2)(x－c)<0．①当c>2时，不等式的解集为{x|2<x<c}；②当c<2时，不等式的解集为{x|c<x<2}；③当c＝2时，不等式的解集为∅．(2)(2018·江苏模拟)已知函数f(

x)＝x2＋ax＋b(b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．解：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24．因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－a24＝0，即

b＝a24，所以f(x)＝x＋a22．又因为f(x)<c，所以x＋a22<c．由题意知c>0，则－a2－c<x<－a2＋c．所以－a2－c＝m，①－a2＋c＝m＋6．②②－①得2c＝6，所以c＝9．另解：由题意知f(x)＝x2＋ax＋a24．又f(x)<c的解集为

(m，m＋6)，所以方程f(x)－c＝0即x2＋ax＋a24－c＝0的两根x1＝m，x2＝m＋6，则|x1－x2|＝6＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（－a）2－4a24－c，解得c＝9．故填9．类型三分式不等式的解法解下列不等式．(1)x＋12x－1<0；(2)1－x3x＋5≥0；(

3)x－1x＋2>1．解：(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，所以－1<x<12，故原不等式的解集为x|－1<x<12．(2)原不等式可化为x－13x＋5≤0，所以（x－1）（3x＋5）≤0，3x＋5≠0，

所以－53≤x≤1，x≠－53，即－53<x≤1．故原不等式的解集为x|－53<x≤1．(3)原不等式可化为x－1x＋2－1>0，即x－1－（x＋2）x＋2>0，所以－3x＋2>0，则x<－2．故原

不等式的解集为{x|x<－2}．点拨：首先通过“移项、通分”，将不等式右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式，将原分式不等式化为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0．(1)不等式x－12x＋1≤1的解集

为________．解：x－12x＋1≤1⇔x－12x＋1－1≤0⇔－x－22x＋1≤0⇔x＋22x＋1≥0．方法一：x＋22x＋1≥0⇔（x＋2）（2x＋1）≥0，2x＋1≠0．得{x|x＞－12或x≤－2}．方法二：x＋22x＋1≥0⇔x＋2≥0，2x＋1＞0或

x＋2≤0，2x＋1＜0．得{x|x＞－12或x≤－2}．故填{x|x＞－12或x≤－2}．(2)(2016·丽水模拟)已知两个集合A＝{x|y＝ln(－x2＋x＋2)}，B＝x|2x＋1e－x≤0，则A∩B＝()A．－12，2B．

－1，－12C．(－1，e)D．(2，e)解：由题意得A＝{x|－x2＋x＋2>0}＝{x|－1<x<2}，B＝x|x>e或x≤－12，故A∩B＝－1，－12．故选B．类型四和一元二次不等式有关的恒成立问题设函数f(x)＝mx2－mx－1

．(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．解：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；若m≠0，则m<0，Δ＝m2＋4m<0⇒－4<m<0．所以m的取值范围

为(－4，0]．(2)方法一：要使x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立，需mx－122＋34m－6<0，x∈[1，3]．令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]．则需g(x)max<0．当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(

x)max＝g(3)＝7m－6，所以7m－6<0，解得m<67，所以0<m<67．当m＝0时，－6<0恒成立．当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数．所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0，解得m<6，所以m<0．综上所述，m的取值范围为

－∞，67．方法二：f(x)<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，因为x2－x＋1＝x－122＋34>0，所以m<6x2－x＋1，在x∈[1，3]上恒成立．又函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1，

3]上的最小值为67，所以只需m<67即可．所以m的取值范围为－∞，67．点拨：①不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，a>0，Δ<0；②不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数

(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，a<0，Δ<0；③处理与一元二次不等式有关的恒成立问题常可用分离参数的方法，很多时候都可以减少不必要的讨论，其中：f(x)≤a恒成立⇔a≥f(x)max；f(x)≥a恒成立⇔a≤f(x)min．注

意：解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围是________．解：由题意知，f(x)图象的开口向上，故要使f(x)>0恒成立，只

需Δ<0，即(a－4)2－4(5－2a)<0，解得－2<a<2．故填(－2，2)．(2)对于满足|a|≤2的所有实数a，使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值范围为________．解：原不等式转化

为(x－1)a＋x2－2x＋1＞0，设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)在[－2，2]上恒大于0，故有：f（－2）＞0，f（2）＞0即x2－4x＋3＞0，x2－1＞0解得x＞3或x＜1，x＞1或x＜－1．所以x＜－1或x＞3．故填(－∞，－1

)∪(3，＋∞)．1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图

象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0．若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一

特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f（x）g（x）≥0或f（x）g（x）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论

．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式

(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．6．一元二次不等式求解的程序框图1．(2018·潍坊模拟)函数f(x)＝1ln（－x2＋4x－3）的定义域是()A．(－∞，1)∪(3，＋∞)B．(1，3)C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．(1，2)∪(2，3)解：由题意知－x2＋4x

－3>0，－x2＋4x－3≠1，即1<x<3，x≠2，故函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，3)．故选D．2．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为()A．－2B．－1C．1D．2解：依题意得q，1是方

程x2＋px－2＝0的两根，则q＋1＝－p，即p＋q＝－1．故选B．3．(2018·郑州模拟)已知关于x的不等式ax－1x＋1>0的解集是(－∞，－1)∪12，＋∞，则a的值为()A．－1B．12C．1D．2解：由题意得a≠0，且不等式等价于a(x＋1)

x－1a>0，由解集的特点可得a>0且1a＝12，故a＝2．故选D．4．(2018·福建模拟)若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是()A．(0，4)B．[0，4)C．(0，4]D．[0，4]解：由题意知a＝0

时，满足条件．当a≠0时，由a>0，Δ＝a2－4a≤0，得0<a≤4，所以实数a的取值范围是[0，4]．故选D．5．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要条件是()A．x>1或x<12B

．x>1或－1<x<12C．－1<x<12D．x<－1或x>12解：原不等式等价于2x－1>0，1－|x|<0或2x－1<0，1－|x|>0．所以x>12，x>1或x<－1或x<12，－1<x<

1．所以x>1或－1<x<12．故选B．6．(2018·重庆模拟)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A．52B．72C．154D．152解：由

条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝(x＋2a)(x－4a)＝0的两根，则x1＝－2a，x2＝4a，4a＋2a＝15，得a＝52．故选A．7．(2018·青岛模拟)不等式2x2－3|x|－35>0的解

集为________．解：2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－72(舍)⇔x>5或x<－5．故填{x|x<－5或x>5}．8．关

于x的不等式4x＋mx2－2x＋3<2对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为________．解：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，所以原不等式即4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，所以m<2x2－8x＋6恒成立

，设f(x)＝2x2－8x＋6，则需m<f(x)min．而f(x)＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2，所以f(x)min＝－2，所以m<－2．所以实数m的取值范围为(－∞，－2)．故填(－∞，－2)．9．若不等式ax2＋5x－2>0的解

集是x|12<x<2．(1)求a的值；(2)求不等式1－axx＋1>a＋5的解集．解：(1)依题意知，a<0且ax2＋5x－2＝0的两个实数根为12和2，由根与系数的关系得12＋2＝－5a，解得a＝－2．(2)将a＝－2代入不等式得1＋2xx＋1>3，即1＋2xx

＋1－3>0，整理得－（x＋2）x＋1>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－1．故不等式的解集为{x|－2<x<－1}．10．(2018·池州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1的定义域为R．(1)求a的取值范围；(2)

若函数f(x)的最小值为22，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0．解：(1)因为函数f(x)＝ax2＋2ax＋1的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立．当a≠0时，则有

a>0，Δ＝（2a）2－4a≤0，解得0<a≤1．综上，a的取值范围是[0，1]．(2)因为f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a（x＋1）2＋1－a，显然a＝0时f(x)min≠22，故a>0，所以当x＝－1时，f(x)min＝1

－a，由题意，得1－a＝22，所以a＝12．所以x2－x－122－12<0，即(2x＋1)(2x－3)<0，解得－12<x<32．故原不等式的解集为－12，32．11．(2017·江西九江月考)已知函数

f(x)＝ax2＋x－a，a∈R．(1)若函数f(x)有最大值178，求实数a的值；(2)解不等式f(x)>1(a∈R)．解：(1)由题意，a≠0，则f(x)＝ax＋12a2－1＋4a24a．当a>0

时，不符合题意；当a<0时，f(x)有最大值，则－1＋4a24a＝178，解得a＝－2或－18．(2)f(x)>1，即ax2＋x－a>1，(x－1)(ax＋a＋1)>0，①当a＝0时，解集为{x|x>1}；②当a>0时，(x－1)x＋

1＋1a>0，解集为x|x>1或x<－1－1a；③当a＝－12时，(x－1)2<0，解集为∅；④当－12<a<0时，(x－1)x＋1＋1a<0，解集为x|1<x<－1－1a；⑤当a<－12时，(x－1)

x＋1＋1a<0，解集为x|－1－1a<x<1．(2016·湖北模拟)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c．(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n

|的取值范围．解：(1)证明：由题意知a＜0，a＋b＋c＝0，且－b2a>1，所以c＜a＜0，所以ac>0，所以对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，所以函数y＝f(x)必有两个不同零点．(2)|m－n|2＝

(m＋n)2－4mn＝（b－a）2＋4aca2＝（－2a－c）2＋4aca2＝ca2＋8·ca＋4，由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1

和t(t>1)，由根与系数的关系知ca＝t，所以|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．所以|m－n|>13，所以|m－n|的取值范围为(13，＋∞)．7．2一元二次不等式及其解法1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是__________．(2)

一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的__________．(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为_

_________；当a＜0时，解集为__________．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是__________．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成

立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)

的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取__________，小于号取__________”求解集．(4)一元二次不等式的解函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx

＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1,x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①②Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅③4．分式不等式解法(1)化分式不等式为标

准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0⇔

f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）g（x）≤0⇔f（x）g（x）≤0，g（x）≠0．自查自纠：1．(1)同解不等式(2)同解变形2．x|x＞bax|x＜baa＝0，b＜03．(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)①{}x|x＜x1或

x＞x2②xx≠－b2a③∅(2016·梧州模拟)不等式2x＋1<1的解集是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1，1)解：因为2x＋1<1，所以2x＋1－1<0，即1－xx＋1<0，该不等式可

化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1．故选A．(2016·青海模拟)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－2，2]C．(－2，2)D．(－∞，2)解：当a≠2时，有a－2＜0，Δ＜0，所以－

2<a<2．当a＝2时，原式化为－4<0，恒成立．所以－2<a≤2．故选B．(2018·温州九校联考)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<－2}，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为

()A．x|－12<x<－13B．x|x<－12或x>－13C．{x|－3<x<2}D．{x|x<－3或x>2}解：由题意得5a＝－3－2，ba＝－3×（－2），解得a＝－1，b＝－6，所以不等式bx2－5x＋a>0

为－6x2－5x－1>0，即(3x＋1)·(2x＋1)<0，所以解集为x|－12<x<－13．故选A．(2017·贵阳一模)已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是________．解：依题意

得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，则函数g(x)的值域取遍一切正实数，因此对于方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4．故填[－4，＋∞)．(2017·信阳一模改编)已知关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为(－∞，x1)∪

(x2，＋∞)，且x2－x1＝52，则a＝________．解法一：由题意得，x1＋x2＝a①，x1x2＝－6a2②，①2－4×②可得(x2－x1)2＝25a2，又x2－x1＝52，所以25a2＝50，解得a＝±2，因为a<0，所以a＝－2．解法二：关于x的不等式x2

－ax－6a2>0(a<0)可化为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得x>－2a或x<3a，所以x1＝3a，x2＝－2a．又x2－x1＝52，所以－5a＝52，所以a＝

－2．故填－2．类型一一元二次不等式的解法(1)解下列不等式．(Ⅰ)x2－7x＋12＞0；(Ⅱ)x2－2x＋1＜0．解：(Ⅰ)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4．而y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得原不等式x2－7x＋12＞0

的解集是{x|x＜3或x＞4}．(Ⅱ)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1．而y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅．(2)解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)．解：①当k＝0时，不等式的解为x＞0．

②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，不等式的解为1－1－k2k＜x＜1＋1－k2k；若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0时，x＜1＋1－k2k或x＞1－1－k2k；若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；若Δ＝0，即

k＝－1时，不等式的解为x≠－1．综上所述，当k≥1时，不等式的解集为∅；当0＜k＜1时，不等式的解集为{x|1－1－k2k＜x＜1＋1－k2k}；当k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}；当－1＜k＜0时，不等式的解

集为{x|x＜1＋1－k2k或x＞1－1－k2k}；当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；当k＜－1时，不等式的解集为R．点拨：解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第

三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．解含参数的一元二次不等式常分以下几种情况讨论：①根据二次项系数讨论(大于0，小于0，等于0)；②根据根的判别式讨论(Δ>

0，Δ＝0，Δ<0)；③根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1<x2)．(1)解下列不等式．(Ⅰ)－x2－2x＋3≥0；(Ⅱ)x2－2x＋2＞0．解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0．方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1．而y＝

x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(Ⅱ)因为Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解，而y＝x2－2x＋2的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋2＞0的解集为R．(2)若关于x

的不等式ax2－x＋2a<0的解集为∅，则实数a的取值范围是________．解：依题意知，问题等价于ax2－x＋2a≥0恒成立，当a＝0时，－x≥0不恒成立；当a≠0时，要使ax2－x＋2a≥0恒成立，需a>0，Δ≤0，即a>0，1－8a2≤0

，解得a≥24，即a的取值范围是24，＋∞．故填24，＋∞．类型二二次不等式、二次函数及二次方程的关系(1)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为()A．x|x<－1或x>12B．x|－1<

x<12C．{x|－2<x<1}D．{x|x<－2或x>1}解：由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，且a＜0．由韦达定理得－1＋2＝－ba，（－1）×2＝2a⇒a＝－1，b＝1．所以不等式2x2＋bx＋a

<0，即2x2＋x－1<0．解得－1＜x＜12．故选B．点拨：已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．(2

)已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0．当x∈(－3，2)时，f(x)>0．(Ⅰ)求f(x)在[0，1]内的值域；(Ⅱ)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．解：(Ⅰ)依题

意知，－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，且a<0，则－3＋2＝－b－8a，－3×2＝－a－aba，所以a＝－3，b＝5，则f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3x＋122＋754，函数f(x)的图象

关于直线x＝－12对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0，1]上f(x)为减函数，所以函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12．故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，不等式ax2＋bx＋c≤0即为－3x2＋5x＋c≤0，因为二次函

数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝25＋12c≤0，即c≤－2512，所以实数c的取值范围为－∞，－2512．点拨：三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，至少有三分之一的题目与之相关．直接考查的不多见，以间接考查为主，贯穿高中数

学的始终．其中二次函数居核心地位．(1)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(Ⅰ)求a，b；(Ⅱ)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0．解：(Ⅰ)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x

|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a．解得a＝1，b＝2．(Ⅱ)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(

x－c)<0．①当c>2时，不等式的解集为{x|2<x<c}；②当c<2时，不等式的解集为{x|c<x<2}；③当c＝2时，不等式的解集为∅．(2)(2018·江苏模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)

<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．解：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24．因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－a24＝0，即b＝a24，所以f(x)＝x＋a22．又因为f(x)<c，所以

x＋a22<c．由题意知c>0，则－a2－c<x<－a2＋c．所以－a2－c＝m，①－a2＋c＝m＋6．②②－①得2c＝6，所以c＝9．另解：由题意知f(x)＝x2＋ax＋a24．又f(x)<c的解集为(m，m＋6)，所以方程f(x)－c＝0即x2＋ax＋a24－c＝0的两根x1

＝m，x2＝m＋6，则|x1－x2|＝6＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（－a）2－4a24－c，解得c＝9．故填9．类型三分式不等式的解法解下列不等式．(1)x＋12x－1<0；(2)1－x3x＋5≥0；(3)x－1x＋2>1．解：(1)原不等式可化为(

x＋1)(2x－1)<0，所以－1<x<12，故原不等式的解集为x|－1<x<12．(2)原不等式可化为x－13x＋5≤0，所以（x－1）（3x＋5）≤0，3x＋5≠0，所以－53≤x≤1，

x≠－53，即－53<x≤1．故原不等式的解集为x|－53<x≤1．(3)原不等式可化为x－1x＋2－1>0，即x－1－（x＋2）x＋2>0，所以－3x＋2>0，则x<－2．故原不等式的解集为{x|x<－2}．点拨：首先通过

“移项、通分”，将不等式右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式，将原分式不等式化为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0．(1)不等式x－12x＋1≤1的解集为________．解：x－1

2x＋1≤1⇔x－12x＋1－1≤0⇔－x－22x＋1≤0⇔x＋22x＋1≥0．方法一：x＋22x＋1≥0⇔（x＋2）（2x＋1）≥0，2x＋1≠0．得{x|x＞－12或x≤－2}．方法二：x＋22x＋1≥0⇔

x＋2≥0，2x＋1＞0或x＋2≤0，2x＋1＜0．得{x|x＞－12或x≤－2}．故填{x|x＞－12或x≤－2}．(2)(2016·丽水模拟)已知两个集合A＝{x|y＝ln(－x2＋x＋2)}，B＝x|2x＋1e

－x≤0，则A∩B＝()A．－12，2B．－1，－12C．(－1，e)D．(2，e)解：由题意得A＝{x|－x2＋x＋2>0}＝{x|－1<x<2}，B＝x|x>e或x≤－12

，故A∩B＝－1，－12．故选B．类型四和一元二次不等式有关的恒成立问题设函数f(x)＝mx2－mx－1．(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取

值范围．解：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；若m≠0，则m<0，Δ＝m2＋4m<0⇒－4<m<0．所以m的取值范围为(－4，0]．(2)方法一：要使x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立，需mx－122＋34m－6<0，x∈[1，3]．令g(x)＝mx－122

＋34m－6，x∈[1，3]．则需g(x)max<0．当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6，所以7m－6<0，解得m<67，所以0<m<67．当m＝0时，－6<0恒成立．当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数．所以g(x)max＝g(1)

＝m－6<0，解得m<6，所以m<0．综上所述，m的取值范围为－∞，67．方法二：f(x)<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，因为x2－x＋1＝x－122＋34>0，所以m<6x2－x＋1，在x∈[1，3]上恒成立．又函数y＝6x2－x

＋1＝6x－122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m<67即可．所以m的取值范围为－∞，67．点拨：①不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，a>0，Δ<0；②不等式ax2＋

bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，a<0，Δ<0；③处理与一元二次不等式有关的恒成立问题常可用分离参数的方法，很多时候都可以减少不必要的讨论，其中

：f(x)≤a恒成立⇔a≥f(x)max；f(x)≥a恒成立⇔a≤f(x)min．注意：解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大

于0，则a的取值范围是________．解：由题意知，f(x)图象的开口向上，故要使f(x)>0恒成立，只需Δ<0，即(a－4)2－4(5－2a)<0，解得－2<a<2．故填(－2，2)．(2)对于满足|a|≤

2的所有实数a，使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值范围为________．解：原不等式转化为(x－1)a＋x2－2x＋1＞0，设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)在[－2，2]上恒大于0，

故有：f（－2）＞0，f（2）＞0即x2－4x＋3＞0，x2－1＞0解得x＞3或x＜1，x＞1或x＜－1．所以x＜－1或x＞3．故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二

次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0．若二次项系数中含参数

且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f（x）g（x）≥0或f（x）g（x）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避

免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学

思想．6．一元二次不等式求解的程序框图1．(2018·潍坊模拟)函数f(x)＝1ln（－x2＋4x－3）的定义域是()A．(－∞，1)∪(3，＋∞)B．(1，3)C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．(1，2)∪(2，3)解：

由题意知－x2＋4x－3>0，－x2＋4x－3≠1，即1<x<3，x≠2，故函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，3)．故选D．2．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为()A．－2B．－1C．1D．2解：依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0的两

根，则q＋1＝－p，即p＋q＝－1．故选B．3．(2018·郑州模拟)已知关于x的不等式ax－1x＋1>0的解集是(－∞，－1)∪12，＋∞，则a的值为()A．－1B．12C．1D．2解：由题意得a≠0，且不等式等价于a(x＋1)x－1a>0，由解集的特点可得a>0且

1a＝12，故a＝2．故选D．4．(2018·福建模拟)若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是()A．(0，4)B．[0，4)C．(0，4]D．[0，4]解：由题意知a＝0时，满足条件．当a≠0时，由a>0，Δ＝a2－4a≤0，得0<a

≤4，所以实数a的取值范围是[0，4]．故选D．5．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要条件是()A．x>1或x<12B．x>1或－1<x<12C．－1<x<12D．x<－1或x>12解：原不等式等价于2x－1>0，1－

|x|<0或2x－1<0，1－|x|>0．所以x>12，x>1或x<－1或x<12，－1<x<1．所以x>1或－1<x<12．故选B．6．(2018·重庆模拟)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－

x1＝15，则a＝()A．52B．72C．154D．152解：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝(x＋2a)(x－4a)＝0的两根，则x1＝－2a，x2＝4a，4a＋2a＝15，得a＝52．故选A．7．(2018

·青岛模拟)不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．解：2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－72(舍)⇔x>5或x<－5．故填{x|x<－5或x>5}．8．关于x的不等式4x＋mx2－2

x＋3<2对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为________．解：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，所以原不等式即4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，所以m<2x2－8x＋6恒成立，设f(x)＝2x2－8x＋6，则需m<f(x)min．而f(x)＝2x2－8x＋6＝

2(x－2)2－2，所以f(x)min＝－2，所以m<－2．所以实数m的取值范围为(－∞，－2)．故填(－∞，－2)．9．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是x|12<x<2．(1)求a的值；(2)求不等式1－

axx＋1>a＋5的解集．解：(1)依题意知，a<0且ax2＋5x－2＝0的两个实数根为12和2，由根与系数的关系得12＋2＝－5a，解得a＝－2．(2)将a＝－2代入不等式得1＋2xx＋1>3，即1＋2xx＋1－3

>0，整理得－（x＋2）x＋1>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－1．故不等式的解集为{x|－2<x<－1}．10．(2018·池州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1的定义域为R．(1)求a的取值范围；(2)

若函数f(x)的最小值为22，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0．解：(1)因为函数f(x)＝ax2＋2ax＋1的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立．当a≠0时，则

有a>0，Δ＝（2a）2－4a≤0，解得0<a≤1．综上，a的取值范围是[0，1]．(2)因为f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a（x＋1）2＋1－a，显然a＝0时f(x)min≠22，故a>0，所以当x＝－1时，f(x)min＝1－a，由

题意，得1－a＝22，所以a＝12．所以x2－x－122－12<0，即(2x＋1)(2x－3)<0，解得－12<x<32．故原不等式的解集为－12，32．11．(2017·江西九江月考)已知函数f(x)＝ax2＋x－a，a∈R．(1)若函数f(x)有最大值178，求实数a的

值；(2)解不等式f(x)>1(a∈R)．解：(1)由题意，a≠0，则f(x)＝ax＋12a2－1＋4a24a．当a>0时，不符合题意；当a<0时，f(x)有最大值，则－1＋4a24a＝178，解得a＝－2或－18．(2)f(x)>1，即ax2＋x－a>1，(x－1)(ax＋a＋1)>

0，①当a＝0时，解集为{x|x>1}；②当a>0时，(x－1)x＋1＋1a>0，解集为x|x>1或x<－1－1a；③当a＝－12时，(x－1)2<0，解集为∅；④当－12<a<0时，(x

－1)x＋1＋1a<0，解集为x|1<x<－1－1a；⑤当a<－12时，(x－1)x＋1＋1a<0，解集为x|－1－1a<x<1．(2016·湖北模拟)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集

为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c．(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围．解：(1)证明：由题意知a＜0，a＋b＋c＝0，且－b2a>1，所以c＜a＜0，

所以ac>0，所以对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，所以函数y＝f(x)必有两个不同零点．(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝（b－a）2＋4aca2＝（－2a－c）2＋4aca2＝ca2＋8·ca＋4，由不等式ax2＋bx＋c>

0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)，由根与系数的关系知ca＝t，所以|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．所以|m－n|>13，所以|m－n|的取值

范围为(13，＋∞)．7．2一元二次不等式及其解法1．解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是__________．(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的__________．(3)解

不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．2．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为__________；当a＜0时，解集为__________．若关于x的不

等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是__________．3．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x的

值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0

)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取__________，小于号取__________”求解集．(4)一元二次不等式的解函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝a

x2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1,x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①②Rax2＋bx＋c＜0(a

＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅③4．分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式．(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（

x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0⇔f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；f（x）g（x）≤0⇔f（x）g（x）≤0，g（x）≠0．自查自纠：1．(1)同解不等式(2)同解变形2．

x|x＞bax|x＜baa＝0，b＜03．(1)一元二次(2)解集(3)两边中间(4)①{}x|x＜x1或x＞x2②xx≠－b2a③∅(2016·梧州模拟)不等式2x＋1<1的解集是()A．(－∞，－1)∪(1，

＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1，1)解：因为2x＋1<1，所以2x＋1－1<0，即1－xx＋1<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1．故选A．(2016·青海模拟)不等式

(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－2，2]C．(－2，2)D．(－∞，2)解：当a≠2时，有a－2＜0，Δ＜0，所以－2<a<2．当

a＝2时，原式化为－4<0，恒成立．所以－2<a≤2．故选B．(2018·温州九校联考)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<－2}，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为()A．x|－12<x<－13B．x|x<－12或x>－13C．{x|－3<x<2}

D．{x|x<－3或x>2}解：由题意得5a＝－3－2，ba＝－3×（－2），解得a＝－1，b＝－6，所以不等式bx2－5x＋a>0为－6x2－5x－1>0，即(3x＋1)·(2x＋1)<0，所以解集为x|－12<x<－13．故选A．(2017·贵阳一模)已知函数f

(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是________．解：依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，则函数g(x)的值域取遍一切正实数，因此对于方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得

a≥－4．故填[－4，＋∞)．(2017·信阳一模改编)已知关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝52，则a＝________．解法一：由题意得，x1＋x2＝a①，

x1x2＝－6a2②，①2－4×②可得(x2－x1)2＝25a2，又x2－x1＝52，所以25a2＝50，解得a＝±2，因为a<0，所以a＝－2．解法二：关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)可化为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得x>－

2a或x<3a，所以x1＝3a，x2＝－2a．又x2－x1＝52，所以－5a＝52，所以a＝－2．故填－2．类型一一元二次不等式的解法(1)解下列不等式．(Ⅰ)x2－7x＋12＞0；(Ⅱ)x2－2x＋1＜0．解：(Ⅰ)方程x

2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4．而y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得原不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．(Ⅱ)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1．而y＝x2－2x

＋1的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅．(2)解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)．解：①当k＝0时，不等式的解为x＞0．②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，不

等式的解为1－1－k2k＜x＜1＋1－k2k；若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0时，x＜1＋1－k2k或x＞1－1－k2k；若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1．综上所述，当k≥1时，不等式的解集为

∅；当0＜k＜1时，不等式的解集为{x|1－1－k2k＜x＜1＋1－k2k}；当k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}；当－1＜k＜0时，不等式的解集为{x|x＜1＋1－k2k或x＞1－1－k2k}；

当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；当k＜－1时，不等式的解集为R．点拨：解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将

二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．解含参数的一元二次不等式常分以下几种情况讨论：①根据二次项系数讨论(大于0，小于0，等于0)；②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；③根据根

的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1<x2)．(1)解下列不等式．(Ⅰ)－x2－2x＋3≥0；(Ⅱ)x2－2x＋2＞0．解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0．方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1．而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，

可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(Ⅱ)因为Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解，而y＝x2－2x＋2的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋2＞0的解集为R．(2)若关于x的不等式ax2－x

＋2a<0的解集为∅，则实数a的取值范围是________．解：依题意知，问题等价于ax2－x＋2a≥0恒成立，当a＝0时，－x≥0不恒成立；当a≠0时，要使ax2－x＋2a≥0恒成立，需a>0，Δ≤0，即a>0，1－8a2≤0，解得a≥24，即a的取值范围是24，＋

∞．故填24，＋∞．类型二二次不等式、二次函数及二次方程的关系(1)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为()A．x|x<－1或x>1

2B．x|－1<x<12C．{x|－2<x<1}D．{x|x<－2或x>1}解：由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，且a＜0．由韦达定理得－1＋2＝－ba，（－1）×2＝2a⇒a＝－1，b＝1．所以不等式2x2＋bx＋a<0，即2

x2＋x－1<0．解得－1＜x＜12．故选B．点拨：已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．(2)已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x

)<0．当x∈(－3，2)时，f(x)>0．(Ⅰ)求f(x)在[0，1]内的值域；(Ⅱ)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．解：(Ⅰ)依题意知，－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，且a<0，则－3＋2＝－b－8a，－3×

2＝－a－aba，所以a＝－3，b＝5，则f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3x＋122＋754，函数f(x)的图象关于直线x＝－12对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0，1]上f(x)为减函数，所以函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12．故f(x)在[0，1]内的值域为[

12，18]．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，不等式ax2＋bx＋c≤0即为－3x2＋5x＋c≤0，因为二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝25＋12c≤0，即c≤－2

512，所以实数c的取值范围为－∞，－2512．点拨：三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，至少有三分之一的题目与之相关．直接考查的不多见，以间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居核心地位．

(1)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．(Ⅰ)求a，b；(Ⅱ)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0．解：(Ⅰ)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程

ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a．解得a＝1，b＝2．(Ⅱ)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0．①当c>2时，不等式的解集为{x|2<x<c}；

②当c<2时，不等式的解集为{x|c<x<2}；③当c＝2时，不等式的解集为∅．(2)(2018·江苏模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为

________．解：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24．因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以b－a24＝0，即b＝a24，所以f(x)＝x＋a22．又因为f(x)<c，所以x＋a22<c

．由题意知c>0，则－a2－c<x<－a2＋c．所以－a2－c＝m，①－a2＋c＝m＋6．②②－①得2c＝6，所以c＝9．另解：由题意知f(x)＝x2＋ax＋a24．又f(x)<c的解集为(m，m＋6)，所以方程f(x)－c＝0即x2＋ax＋a24－c＝0的两根x1＝m，x2＝

m＋6，则|x1－x2|＝6＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（－a）2－4a24－c，解得c＝9．故填9．类型三分式不等式的解法解下列不等式．(1)x＋12x－1<0；(2)1－x3x＋5≥0；(3)x－1x＋2>1．解

：(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，所以－1<x<12，故原不等式的解集为x|－1<x<12．(2)原不等式可化为x－13x＋5≤0，所以（x－1）（3x＋5）≤0，3x＋5≠0，所以－53≤x≤1，x≠－53，即－53<

x≤1．故原不等式的解集为x|－53<x≤1．(3)原不等式可化为x－1x＋2－1>0，即x－1－（x＋2）x＋2>0，所以－3x＋2>0，则x<－2．故原不等式的解集为{x|x<－2}．点拨：首先通过“移项、通

分”，将不等式右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式，将原分式不等式化为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0．(1)不等式x－12x＋1≤1的解集为________．解：x－12x＋1≤1⇔x－12x＋

1－1≤0⇔－x－22x＋1≤0⇔x＋22x＋1≥0．方法一：x＋22x＋1≥0⇔（x＋2）（2x＋1）≥0，2x＋1≠0．得{x|x＞－12或x≤－2}．方法二：x＋22x＋1≥0⇔x＋2≥0，2x＋1＞0或x＋2≤0，2x＋

1＜0．得{x|x＞－12或x≤－2}．故填{x|x＞－12或x≤－2}．(2)(2016·丽水模拟)已知两个集合A＝{x|y＝ln(－x2＋x＋2)}，B＝x|2x＋1e－x≤0，则A∩B＝()A．－12，2B．－1，－12C．

(－1，e)D．(2，e)解：由题意得A＝{x|－x2＋x＋2>0}＝{x|－1<x<2}，B＝x|x>e或x≤－12，故A∩B＝－1，－12．故选B．类型四和一元二次不等式有关的恒成立问题设函数f(x)＝mx2－mx－1．(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m

的取值范围；(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．解：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；若m≠0，则m<0，Δ＝m2＋4m<0⇒－4<m<0．所以m的取值范围为

(－4，0]．(2)方法一：要使x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立，需mx－122＋34m－6<0，x∈[1，3]．令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3]．则需g(x)max<0．当m>0时，g(x)在[1，3]上

是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6，所以7m－6<0，解得m<67，所以0<m<67．当m＝0时，－6<0恒成立．当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数．所以g(x)max＝g(1)＝m

－6<0，解得m<6，所以m<0．综上所述，m的取值范围为－∞，67．方法二：f(x)<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，因为x2－x＋1＝x－122＋34>0，所以m<6x2－x＋1，在x∈[1，3]上恒成立．又函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34

在[1，3]上的最小值为67，所以只需m<67即可．所以m的取值范围为－∞，67．点拨：①不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，a>0，Δ<0；②不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的

条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，a<0，Δ<0；③处理与一元二次不等式有关的恒成立问题常可用分离参数的方法，很多时候都可以减少不必要的讨论，其中：f(x)≤a恒成立⇔a≥f(x)max；f(x)≥a恒成立⇔a≤f(x)min．注意：解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主

元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围是________．解：由题意知，f(x)图象的开口向上，故要使f(x)>0恒成立，只需Δ<0，即(a－4)2－4(5－2a)<

0，解得－2<a<2．故填(－2，2)．(2)对于满足|a|≤2的所有实数a，使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值范围为________．解：原不等式转化为(x－1)a＋x2－2x＋1＞0，设f(a)＝(x－1)a＋x2－2

x＋1，则f(a)在[－2，2]上恒大于0，故有：f（－2）＞0，f（2）＞0即x2－4x＋3＞0，x2－1＞0解得x＞3或x＜1，x＞1或x＜－1．所以x＜－1或x＞3．故填(－∞，－1

)∪(3，＋∞)．1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切

联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0．若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时

，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如f（x）g（x）≥0或f（x）g（x）≤0的不等式称为非严格分式不等式)3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑

划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体

现了转化与化归的数学思想．6．一元二次不等式求解的程序框图1．(2018·潍坊模拟)函数f(x)＝1ln（－x2＋4x－3）的定义域是()A．(－∞，1)∪(3，＋∞)B．(1，3)C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．(1，2)∪(2，3)解：由题意知－x2＋

4x－3>0，－x2＋4x－3≠1，即1<x<3，x≠2，故函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，3)．故选D．2．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为()A．－2B．－1C．1D．2解：依题意得q，1是

方程x2＋px－2＝0的两根，则q＋1＝－p，即p＋q＝－1．故选B．3．(2018·郑州模拟)已知关于x的不等式ax－1x＋1>0的解集是(－∞，－1)∪12，＋∞，则a的值为()A．－1B．12C．1D．2解：

由题意得a≠0，且不等式等价于a(x＋1)x－1a>0，由解集的特点可得a>0且1a＝12，故a＝2．故选D．4．(2018·福建模拟)若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是()A．(0，4)B．[0，4)C．(0，4]D．[0，4]解：由题意知a＝0时，满足条

件．当a≠0时，由a>0，Δ＝a2－4a≤0，得0<a≤4，所以实数a的取值范围是[0，4]．故选D．5．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要条件是()A．x>1或x<12B．x>1或－1<x<12C．－1<x<12D．x<－1或x>12解：原不

等式等价于2x－1>0，1－|x|<0或2x－1<0，1－|x|>0．所以x>12，x>1或x<－1或x<12，－1<x<1．所以x>1或－1<x<12．故选B．6．(2018·重庆模拟)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为

(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝()A．52B．72C．154D．152解：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝(x＋2a)(x－4a)＝0的两根，则x1＝－2a，x2＝4a，4a＋2a＝15，得a＝52．故选A．7．(2018·青岛模拟)

不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．解：2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－72(舍)⇔x>5或x<－5．故填{x|x<－5或x>5}．8

．关于x的不等式4x＋mx2－2x＋3<2对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为________．解：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，所以原不等式即4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，所以m<2x2－8x＋6恒成立，设f(x)＝2x2－8

x＋6，则需m<f(x)min．而f(x)＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2，所以f(x)min＝－2，所以m<－2．所以实数m的取值范围为(－∞，－2)．故填(－∞，－2)．9．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是x|12<x<2．(1)求a的值；(2)求不等式1－axx＋1>

a＋5的解集．解：(1)依题意知，a<0且ax2＋5x－2＝0的两个实数根为12和2，由根与系数的关系得12＋2＝－5a，解得a＝－2．(2)将a＝－2代入不等式得1＋2xx＋1>3，即1＋2xx＋1－3>0，整理得－（x＋2）x＋1>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<

－1．故不等式的解集为{x|－2<x<－1}．10．(2018·池州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1的定义域为R．(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为22，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0．解：(1)因为函数f(x)＝ax2＋2ax＋1的定义域为R

，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立．当a≠0时，则有a>0，Δ＝（2a）2－4a≤0，解得0<a≤1．综上，a的取值范围是[0，1]．(2)因为f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a（x＋1）2＋1－a，显然a＝0时f(x)min≠22，故a>0，所以当x＝－

1时，f(x)min＝1－a，由题意，得1－a＝22，所以a＝12．所以x2－x－122－12<0，即(2x＋1)(2x－3)<0，解得－12<x<32．故原不等式的解集为－12，32．11．(2017·江西九江月考)已知函数f(x

)＝ax2＋x－a，a∈R．(1)若函数f(x)有最大值178，求实数a的值；(2)解不等式f(x)>1(a∈R)．解：(1)由题意，a≠0，则f(x)＝ax＋12a2－1＋4a24a．当a>0时，不符合题意

；当a<0时，f(x)有最大值，则－1＋4a24a＝178，解得a＝－2或－18．(2)f(x)>1，即ax2＋x－a>1，(x－1)(ax＋a＋1)>0，①当a＝0时，解集为{x|x>1}；②当a>0时，(x－1)

x＋1＋1a>0，解集为x|x>1或x<－1－1a；③当a＝－12时，(x－1)2<0，解集为∅；④当－12<a<0时，(x－1)x＋1＋1a<0，解集为x|1<x<－1－1a；⑤当a<－12时，(x－1)

x＋1＋1a<0，解集为x|－1－1a<x<1．(2016·湖北模拟)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c．(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；(2)若函数y＝f(

x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围．解：(1)证明：由题意知a＜0，a＋b＋c＝0，且－b2a>1，所以c＜a＜0，所以ac>0，所以对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－

b)2＋4ac>0，所以函数y＝f(x)必有两个不同零点．(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝（b－a）2＋4aca2＝（－2a－c）2＋4aca2＝ca2＋8·ca＋4，由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的

两个解分别为1和t(t>1)，由根与系数的关系知ca＝t，所以|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．所以|m－n|>13，所以|m－n|的取值范围为(13，＋∞)．