【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案2．8《函数的图象》(含详解).doc，共(10)页，456.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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2．8函数的图象1．作函数的图象的两种基本方法(1)利用描点法作图，其一般步骤为：①确定函数定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；④描点并作出函数图象．(2)图象变换法．2．图象变换的四种形式(1)平移变换①水平平移：y＝f

(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度，得到____________的图象；y＝f(x－a)(a＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位长度而得到；②竖直平移：y＝f(x)的图象向上

平移b(b＞0)个单位长度，得到________的图象；y＝f(x)－b(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向________平移b个单位长度而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”．(2)对称变换①y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)三

个函数的图象与y＝f(x)的图象分别关于、、对称；②若对定义域内的一切x均有f(m＋x)＝f(m－x)，则y＝f(x)的图象关于直线对称．(3)伸缩变换①要得到y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(A>1时)或缩(A<1时)到原来

的_______________________；②要得到y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)或缩(a>1时)到原来的_________________________

_．(4)翻折变换①y＝|f(x)|的图象作法：作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，上方的部分不变；②y＝f(|x|)的图象作法：作出y＝f(x)在y轴右边的图象，以y轴为对称轴将其翻折到左边得y＝f(|x|)在y轴左边的图象，右边的部分不变．自查自纠：

2．(1)①y＝f(x＋a)右②y＝f(x)＋b下(2)①y轴x轴原点②x＝m(3)①A倍②1a倍若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是()ABCD解：因为l

oga2<0，所以0<a<1，由f(x)＝loga(x＋1)的单调性可知A，D错误，再由定义域知B选项正确．故选B.函数y＝1－1x－1的图象是()ABCD解：将y＝－1x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y＝1－1x－1的图象，选项B符合题意．故选

B.(2018·蚌埠二模)函数y＝x33x4－1的图象大致是()ABCD解：由题意，函数在(－∞，－1)，(0，1)上的函数值为负，在(－1，0)，(1，＋∞)上的函数值为正，仅选项A符合．故选A.(2016·北京西城区期末)已知函数f(x)的部

分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________．解：由图象可知x＋t的范围是(0，3)，即不等式的解集为(－t，3－t)，依题意可得t＝1.故填1.(2016·东北三校)已知函数f(x)＝log2（1－x）＋1，－1≤x<0，

x3－3x＋2，0≤x≤a的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是________．解：先作出函数f(x)＝log2(1－x)＋1(－1≤x<0)的图象，再研究f(x)＝x3－3x＋2(0≤x≤a)的图象．令f′

(x)＝3x2－3＝0，得x＝1(x＝－1舍去)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1，f(1)＝0，令x3－3x＋2＝2⇒x＝0或3(－3舍去)，所以f(x)＝x3－3x＋2(0≤x≤a)的图象如图所示，要

使f(x)的值域是[0，2]，则1≤a≤3.故填[1，3]．类型一作图作出下列函数的图象：(1)y＝12|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝2x－1x－1；(4)y＝x2－2|x|－1.解：(1)先作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x

≥0的部分，再作出y＝12x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图①实线部分．①②(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数

y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.(3)因为y＝2＋1x－1，故函数图象可由y＝1x图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.③④(4)y＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x＜0.其图象如图④.点拨：画函数

图象的一般方法：①直接法．当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．②图象变换法．若函数图象可由基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，应注意平移变换与伸缩变换的顺序对

变换单位及解析式的影响．作出下列函数的图象：(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1x＋1；(3)y＝10|lgx|.解：(1)先画出函数y＝x2－4x＋3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图①.(2)y＝2x＋1x＋1

＝2－1x＋1，可由y＝－1x的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图②.(3)y＝10|lgx|＝x，x≥1，1x，0＜x＜1如图③所示．①②③类型二识图(1)(2016·银川质检)设函数f(x

)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数是()A．y＝f(|x|)B．y＝－|f(x)|C．y＝－f(－|x|)D．y＝f(－|x|)解：图中是函数y＝－2－|x|的图象，即函数y＝－f(－|x|)的图象．故选C.(2)(2018

·浙江)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()ABCD解：函数y＝2|x|sin2x是奇函数，故排除A，B选项．不论x取何值，2|x|始终大于0.当x∈0，π2时，sin2x>0，故y＝2|x|sin2x>0，图象在x轴的上方；当x∈π2，π时，sin2x<0，故y＝2|x

|sin2x<0，图象在x轴的下方，选项D符合．故选D.(3)已知函数f(x)＝1ln（x＋1）－x，则y＝f(x)的图象大致为()ABCD解：当x＝1时，y＝1ln2－1<0，排除A；当x＝0时，y不存在，排除D；当x＝－12时，

y＝1－ln2＋12<0，排除C.故选B.点拨：抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函

数的奇偶性，判断图象的对称性．抓住图象的特征，定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题．(1)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数可能为()A．y＝f(|x

|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(|x|)解：y＝f(－|x|)＝f（－x），x≥0，f（x），x＜0.故选C.(2)已知定义域为[0，1]上的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(－x＋1)的图象可能是()ABCD解：f(

－x＋1)＝f[－(x－1)]，先将f(x)的图象沿y轴对折得到f(－x)的图象，再将所得图象向右平移1个长度单位就得到函数f(－x＋1)的图象，只有选项B符合．故选B.(3)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数

，则y＝loga(x＋k)的图象是()ABCD解：由函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函数，得f(0)＝0，即k＝2.又f(x)是减函数，得0<a<1，则y＝loga(x＋k)＝loga(x＋2)，定义域是(－2，＋∞)，且单调递减，

只有选项A符合．故选A.类型三用图(1)已知f(x)＝|lnx|，x＞0，2|x|，x≤0，则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．解：由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(

x)＝12或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象．由图象知y＝12与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个．故填5.(2)(2018·衡水中学6月训练)已知实数

a，b，c，2a＝－log2a，12b＝－log12b，12c＝c－23，则()A．b>c>aB．c>b>aC．b>a>cD．c>a>b解：由题意可知，a是函数y＝2x与y＝log12x的交点的横坐标

，b是函数y＝12x与y＝log2x的交点的横坐标．c是y＝12x与y＝23x的交点的横坐标，在同一个平面直角坐标系中，作出函数y＝2x，y＝log12x，y＝12x，y＝log2x，y＝x－23的图象，结合

图象，得b>a>c.故选C.(3)(2018·成都模拟)f(x)是定义在区间[－c，c](c>2)上的奇函数，其图象如图所示．令g(x)＝af(x)＋b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是()A．若a<0，则函数g(x

)的图象关于原点对称B．若a＝1，0<b<2，则方程g(x)＝0有大于2的实根C．若a＝－2，b＝0，则函数g(x)的图象关于y轴对称D．若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有三个实根解：当a<0，b≠0时，g(x)＝af(x

)＋b是非奇非偶函数，不关于原点对称，排除A.当a＝－2，b＝0时，g(x)＝－2f(x)是奇函数，不关于y轴对称，排除C.当a≠0，b＝2时，g(x)＝af(x)＋2，当g(x)＝0时，有af(x)＋2＝0，所以f(x)＝－2a，从图中可以看到，当且仅当

－2<－2a<2时，f(x)＝－2a有三个实根，所以g(x)＝0不一定有三个实根，排除D.当a＝1，0<b<2时，g(x)＝f(x)＋b，由图可知，g(2)＝f(2)＋b＝0＋b>0，g(c)＝f(c)＋b<－2＋b<0，所以存在x∈(2，c

)，有g(x)＝0，故B正确．故选B.点拨：函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具．数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透，以开阔解题思路，提升解题效率．其主要应用见“名师点睛”栏．(1)(2016·湖北优质高

中联考)已知函数f(x)＝[x]－x([x]表示不超过x的最大整数，如[－3.6]＝－4，[2.1]＝2)，则方程f(x)＋lgx＝0的根的个数为()A．8B．9C．10D．11解：方程f(x)＋lgx＝0的根的个数就是函数y＝x－[x]与y＝lgx图象交点的个数，函数y＝x－

[x]是周期为1的周期函数，在同一个坐标系中作出这两个函数图象，如图所示，可知它们共有8个交点，所以方程f(x)＋lgx＝0有8个实根．故选A.(2)若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M、N关于

原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)．已知函数f(x)＝ex，x<0，x2－4x，x≥0，则此函数的“和谐点对”有()A．1对B．2对C．3对D．4对解：作

出函数y＝f(x)的图象如图所示，当x>0时，y＝x2－4x，关于原点对称的点的集合为y＝－x2－4x(x<0)．由题意可得，函数f(x)的“和谐点对”数即为函数y＝ex(x<0)与函数y＝－x2－4x(x<0)的图象的交点个数．由

图象知，函数f(x)有2对“和谐点对”．故选B.(3)(2018·深圳质检)设函数y＝2x－1x－2，关于该函数图象的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；②任意两点的连线都不平行于y轴；③关于直线y＝x对称；④关于原点中心对称．其中正确的是________．(填写

所有正确命题的编号)解：y＝2x－1x－2＝2（x－2）＋3x－2＝2＋3x－2，图象如图所示，x＝2及y＝2是其渐近线，则①不正确，②正确．y＝2＋3x－2由y＝3x向右、向上平移2个单位得到，由y＝3x关于y＝x对称知③正确，④不正确．故仅②③正确．故填②③.1．涉及

函数图象问题的主要考查形式(1)知图选(求)式．(2)知式选(作)图．(3)图象变换．(4)图式结合等．对基本初等函数，要“胸有成图”，会“依图判性”，进而达到对图“能识会用”．2．识图与用图(1)识图：对于给定的图象，要能从图象

的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等．(2)用图：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托．函数图象主要应

用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数的最值；⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期

；⑫求参数范围等．3．图象对称性的证明(1)证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．(2)证明曲线C1与C2的对称性，即证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对

称点在C2上，反之亦然．1．(2018·桂林一调)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是()ABCD解：由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0，只有选项B符合．故选B.2．(2018·全国卷Ⅲ)函

数f(x)＝－x4＋x2＋2的图象大致为()ABCD解：f′(x)＝－4x3＋2x，f′(x)＞0的解集为－∞，－22∪0，22，f′(x)＜0的解集为－22，0∪22，＋∞，由此可知仅D项与f

(x)的单调性吻合．故选D.3．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝sin2x1－cosx的部分图象大致为()ABCD解：令函数f(x)＝sin2x1－cosx，其定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝sin（－2x）1－cos（－x）＝－sin2x1－cosx＝－f(x)，所以f(x)为

奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B；因为fπ2＝sinπ1－cosπ2＝0，f3π4＝sin3π21－cos3π4＝－11＋22<0，所以排除A；又f(π)＝sin2π1－cosπ＝0，所以排除D.故选C.4．(2018·甘肃省庆阳市月考)已知函数

f(x)＝xa，g(x)＝ax，h(x)＝logax(其中a>0，a≠1)，在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是()ABCD解：对于A，其中指数函数的底数大于1，而幂函数的指数小于0，故A不对；对于B，其中幂函数的指数大于1，对数函数的底数也大于1，故B对

；对于C，其中指数函数的底数大于1，而对数函数的底数小于1，故C不对；对于D，其中幂函数的指数大于1，而指数函数的底数小于1，故D不对．综上，B正确．故选B.5．(2018·贵州模拟)某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已

知该年的平均气温为10℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t之间的函数关系的是()ABCD解：因为气温图象在前6个月的图象大致关于点(3，0)对称，所以C(6)≈0，排除D；注意到后几个月的气温单调

下降，则从0到12月前的某些时刻，平均气温应大于10℃，可排除C；因为该年的平均气温为10℃，所以t＝12时，C(12)＝10，排除B；仅选项A符合．故选A.6．(2018·吉林三校联考)若函数f(x)＝（2－

m）xx2＋m的图象如图所示，则实数m的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1，2)C．(0，2)D．(1，2)解：根据图象可知，函数图象过原点，即f(0)＝0，所以m≠0.当x>0时，f(x)>0，m≥2显然不满足，所以2－m>0

，即m<2.函数f(x)在[－1，1]上单调递增，所以f′(x)>0在[－1，1]上恒成立，f′(x)＝（2－m）（x2＋m）－2x2（2－m）（x2＋m）2＝（m－2）（x2－m）（x2＋m）2>0，因为m－

2<0，所以只需要x2－m<0在[－1，1]上恒成立，所以m>1，综上所述，1<m<2.故选D.7．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝2logf(x)的定义域是________．解：当f(x)>0时，函数g(x)有意义．由函数y＝f(x)的图象知当x∈(2，8]时，满足f(x)

>0.故填(2，8]．8．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解：如图，作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此实

数a的取值范围是[－1，＋∞)．故填[－1，＋∞)．9．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数y＝f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集．解：(

1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.(2)因为f(x)＝x|4－x|＝x（x－4），x≥4，－x（x－4），x<4.函数y＝f(x)的图象如图所示．由图象知f(x)有两个零点

．(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2，4]．(4)从图象上观察可知：不等式f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}．10．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0，1)对称．(1)求f(

x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋ax，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0，1)点的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－1x＋2，所以

y＝f(x)＝x＋1x(x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋ax＝x＋a＋1x，g′(x)＝1－a＋1x2.因为g(x)在(0，2]上为减函数，所以1－a＋1x2≤0在(0，2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0，2]上恒成立，所以a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞)．11．已知函数

f(x)＝1－|x＋1|，x∈[－2，0]，2f（x－2），x∈（0，＋∞）.(1)求函数f(x)在[－2，4]上的解析式；(2)若方程f(x)＝x＋a在区间[－2，4]内有3个不等实根，求实数a的取值范围．解：(1)当－2≤x≤4时，函数f(x)＝1－|x＋

1|，x∈[－2，0]，2－2|x－1|，x∈（0，2），4－4|x－3|，x∈[2，4].(2)作出函数f(x)在区间[－2，4]上的图象如图．设y＝x＋a，方程f(x)＝x＋a在区间[－2，4]内有3个不等实根，即函数y＝f(x)的图

象与直线y＝x＋a在区间[－2，4]上有3个交点．由图象易知，实数a的取值范围是－2<a<0或a＝1，即{a|－2<a<0或a＝1}．(2017·安徽六安一中月考)已知函数f(x)＝－x2＋4x－3

，x≤1，lnx，x＞1.若|f(x)|＋a≥ax，则a的取值范围是________．解：由|f(x)|＋a≥ax得|f(x)|≥ax－a，作出y＝|f(x)|的图象和直线y＝ax－a，如图所示．设x≤1时，h(x)＝|f(x)|＝x2－4x＋3，设过点A(

1，0)的函数h(x)图象的切线斜率为k，则k＝h′(1)＝2×1－4＝－2.由图可知，当－2≤a≤0时，|f(x)|的图象在直线y＝ax－a上方，即|f(x)|＋a≥ax成立．所以a的取值范围是[－2，0]．故填[－2，0]．