【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案2．5《指数函数》(含详解).doc，共(8)页，316.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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2．5指数函数1．根式(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的______________，其中n＞1，且n∈N*.①当n为奇数时，正数的n次方根是一个______________数，负数的n次方根

是一个______________数，这时a的n次方根用符号__________________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有________________个，这两个数互为________________．这时，正数a的正的n次方根用符号_____

_____________表示，负的n次方根用符号表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成__________________．③负数没有偶次方根．④0的n(n∈N*)次方根是_________________

_，记作__________________．(2)根式：式子na叫做根式，这里n叫做__________________，a叫做__________________．(3)根式的性质：n为奇数时，nan＝_

_________________；n为偶数时，nan＝__________________.2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a0＝__________________.这里a__________________0.(2)负整数指

数幂：a－n＝__________________(a≠0，n∈N*)．(3)正分数指数幂：amn＝__________________(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(4)负分数指数幂：a－mn

＝__________________(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(5)0的正分数指数幂等于__________________，0的负分数指数幂__________________．(6)有理指数幂的运算性质aras＝（a＞0，r，s∈Q），（ar）s＝（

a＞0，r，s∈Q），（ab）r＝（a＞0，b>0，r∈Q）.3．指数函数的图象及性质定义一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数图象a＞10＜a＜1定义域__________值域__________性质过定点__________在R上是_______在R上是______

___自查自纠：1．(1)n次方根①正负na②两相反数na－na±na④0n0＝0(2)根指数被开方数(3)a|a|2．(1)1≠(2)1an(3)nam(4)1nam(5)0没有意义(6)ar＋sarsarbr3．R(0，＋∞)(0，1)

增函数减函数(2018·河南安阳月考)化简a3b23ab2（a14b12）43ba(a>0，b>0)的结果是()A.baB．abC．a2bD.ab解：原式＝a3b2a13b23ab2ba13＝（a103b83）12a

23b73＝a53b43a23b73＝ab－1＝ab.故选D.(2017·青岛调研)已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为()A．(0，1)B．(2，3)C．(3，2)D．(2，2)解：由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(

2，3)．故选B.(2017·合肥模拟)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0解：设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数，又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所

以x＋y≤0.故选B.函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．解：因为x≥0，所以－x≤0，所以3－x≤3，所以0<23－x≤23＝8，所以0≤8－23－x<8，所以函数y＝8－23－x的值域为[0，8)．故填[0，8)．设函数f(x)＝12x－7，

x<0，x，x≥0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．解：当a<0时，不等式f(a)<1可化为12a－7<1，即12a<8，即12a<12－3，所以a>－3.又a<0，所以－3<a

<0.当a≥0时，不等式f(a)<1可化为a<1，所以0≤a<1.综上，a的取值范围为(－3，1)．故填(－3，1)．类型一指数幂的运算(1)－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0＝________.解：原式＝－278－23＋1500－12

－105－2＋1＝－82723＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.故填－1679.(2)化简：14－12·（4ab－1）3110－1·（a3·b－3）12＝________.解：原式＝2×333223322210abab

＝21＋3×10－1＝85.故填85.(3)已知a12＋a－12＝3，求下列各式的值．(Ⅰ)a＋a－1；(Ⅱ)a2＋a－2；(Ⅲ)a2＋a－2＋1a＋a－1＋1.解：(Ⅰ)将a12＋a－12＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.(Ⅱ)将a＋a－1＝7

两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可得a2＋a－2＋1a＋a－1＋1＝47＋17＋1＝6.点拨：指数幂运算的一般原则：①指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．②先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．③底数是负数，先确

定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．④运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)32－13×－760＋814×42－－2323＝________.解：原式＝2313×1＋234×214－231

3＝2.故填2.(2)化简：4a23b－13÷113323ab＝________.解：原式＝(－6)2133a·1133b＝－6a.故填－6a.(3)已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，则x12－y12x12＋y12＝________.解：因为x12－y12

x12＋y12＝（x12－y12）2（x12＋y12）（x12－y12）＝x＋y－2（xy）12x－y，又x＋y＝12，xy＝9，且x<y，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108，则x－y＝

－63，所以x12－y12x12＋y12＝12－2×3－63＝－33.故填－33.类型二指数函数的图象及应用(1)函数y＝ax－a－1(a>0且a≠1)的图象可能是()ABCD解：函数y＝ax－1a是由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度得到的，A项显然错误；当a>1时，

0<1a<1，平移距离小于1，所以B项错误；当0<a<1时，1a>1，平移距离大于1，所以C项错误．故选D.(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．解：令|2x－2|－b＝

0，得|2x－2|＝b，令y＝|2x－2|，y＝b，其函数图象有两个交点，结合函数图象可知，0<b<2，即b∈(0，2)．故填(0，2)．点拨：①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地

，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()ABCD解：f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，因此

排除B、C、D，只有A满足．故选A.(2)(2018·广州一模)设函数f(x)＝|2x－1|，x≤2，－x＋5，x>2，若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围

是()A．(16，32)B．(18，34)C．(17，35)D．(6，7)解：画出函数f(x)的图象如图所示．不妨令a<b<c，由图象可知，a<b<2，则由f(a)＝f(b)得1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2.结合图象可

得4<c<5，故16<2c<32，所以18<2a＋2b＋2c<34.故选B.类型三指数函数的综合问题(1)(2018·莆田二十四中模拟)已知α∈π4，π2，a＝(cosα)cosα，b＝(sinα)cosα，c＝(

cosα)sinα，则()A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．c<a<b解：因为α∈π4，π2，所以0<cosα<22，cosα<sinα，根据幂函数的性质，可得(sinα)cosα>(cosα)cosα，根据指数函数的性质，可得(cosα)cosα>(cosα)sinα，

所以b>a>c.故选D.(2)函数y＝2212xx的单调递增区间是________．解：令t＝－x2＋x＋2≥0，得函数的定义域为[－1，2]，所以t＝－x2＋x＋2在－1，12上单调递增，在12，2上单调递减，根

据“同增异减”的原则，函数y＝2212xx的单调递增区间是12，2.故填12，2.(3)(2018·珠海模拟)若xlog52≥－1，则函数y＝4x－2x＋1－3的最小值为()A．－4B．－3C．－1D．0解：由xlog52≥－1得log52x≥l

og515，即2x≥15，令t＝2x，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，因为t≥15，所以当t＝1，即x＝0时，函数取得最小值为－4.故选A.点拨：解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R上单调，过定点等；对于

底数a与1的大小关系不明确的，要分类讨论；涉及零点问题往往要数形结合；不同底的往往要化同底，并注意换元思想的应用．(1)(2017·河南平顶山一模)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f（x1）－x1f（x2）x1－x2>0，记a＝f（30.

2）30.2，b＝f（0.32）0.32，c＝f（log25）log25，则()A．a<b<cB．b<a<cC．c<a<bD．c<b<a解：由题意得，x1－x2与x2f(x1)－x1f(x2)同号，则x1－x2与x2f（x1）－x1f（x2）x1x2(即f（x1）x

1－f（x2）x2)同号，所以函数f（x）x是(0，＋∞)上的增函数，因为1<30.2<2，0<0.32<1，log25>2，所以0.32<30.2<log25，所以b<a<c.故选B.(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取

值范围是________．解：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|

在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．故填(－∞，4]．(3)(2018·浙江丽水月考)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．解：原不等式变形为m2－m<

12x，因为函数y＝12x在(－∞，－1]上是减函数，所以12x≥12－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<12x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.故填(－1，2)．1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a的取

值范围不确定，则要对其进行分类讨论．2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也

不同，则要利用中间量．3．作指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点－1，1a，(0，1)，(1，a)．1．(2016·昆明模拟)设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为()A．18B．21C．24D．27解：因

为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因为9y＝32y＝3x－9，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.故选D.2．(2016·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2ax－1(a＞0且a≠

1)的图象恒过点P，则点P的坐标是()A．(1，6)B．(1，5)C．(0，5)D．(5，0)解：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过点P(1，6)．故选A.3．(2017·德州一模)已知a＝3525，b＝2535，c＝

2525，则()A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<c<a解：因为y＝25x在R上为减函数，35>25，所以b<c.又因为y＝x25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，所以a>c，所以b<c<a.故选D.4．已知函数f(x)＝－12x，a≤x

<0，－x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3]B．[－3，0)C．[－3，－1]D．{－3}解：当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，当a≤x<0时，f(x)∈－1

2a，－1，所以－12a，－1是[－8，1]的子集，即－8≤－12a<－1，即－3≤a<0，所以实数a的取值范围是[－3，0)．故选B.5．(2017·宜宾诊断检测)已知函数f(x)＝x－4＋9x＋1，x∈(0，4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g

(x)＝a|x＋b|的图象为()ABCD解：因为x∈(0，4)，所以x＋1>1，所以f(x)＝x＋1＋9x＋1－5≥6－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时，取等号．所以a＝2，b＝1.因此g(x)＝2|x＋1|，该函数图象由y＝2|x|向左平移一

个单位得到，结合图象知A正确．故选A.6．(2017·江淮十校三联)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()A．f(bx)≤f(cx)B．f(bx)≥f(cx)C．f(bx)>f(cx)D．与x有关，不确定解：由f(

x＋1)＝f(1－x)知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以b＝2，由f(0)＝3知，c＝3.所以f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)．当x>0时，3x>2x>1，结合函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，知f(3x)>f

(2x)，即f(bx)<f(cx)；当x＝0时，3x＝2x＝1，所以f(3x)＝f(2x)，即f(bx)＝f(cx)；当x<0时，3x<2x<1，结合函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，知f(3x)>f(2x)，即f(bx)<f(cx)．综上，f(bx)≤f(

cx)．故选A.7．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y＝f（x），x＞0，g（x），x＜0.如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝________.解：依题意，f(1)＝12，所以a＝12，所以f(x)＝12x，

x>0.当x<0时，－x>0.所以g(x)＝－f(－x)＝－12－x＝－2x.故填－2x(x<0)．8．(2018·长春模拟)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．解：不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<1

2x.在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝12x的图象如图．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a<1，所以a>－1.故填(－1，＋∞)．9．设a＞0且

a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．解：令t＝ax(a＞0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t＞0)．①当0＜a＜1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈

a，1a，此时f(t)在a，1a上为增函数．所以f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.解得a＝13a＝－15舍去.②当a＞1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈1a，a，此时f(t)在1a，a上为增函

数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝13或3.10．已知f(x)＝1ax－1＋12x3(a>0，且a≠1)．(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义

域上恒成立．解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．对于定义域内任意x，有f(－x)＝1a－x－1＋12(－x)3＝ax1－ax＋12(－x)3＝－1－1ax－1＋12(－x)3＝1a

x－1＋12x3＝f(x)．所以f(x)是偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，所以只需讨论x>0时的情况．当x>0时，要使f(x)>0，即1ax－1＋12x3>0，即1ax－1＋12>0，即ax＋12（ax－1）>0，则ax>1.又因为x>0，所以a>1.因此a>1时，f(x)

>0.故a的取值范围为(1，＋∞)．11．(2017·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)当x<0时，f(x)＝0，此时f(x)＝3

2无解；当x≥0时，f(x)＝2x－12x，由2x－12x＝32，得2·(2x)2－3·2x－2＝0，看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－12，因为2x>0，所以x＝1.(2)当t∈[1，2]时，不等式为2t22t－122t＋m2t－12t≥0，即m(22t－1)≥

－(24t－1)，因为t∈[1，2]，所以22t－1>0，所以m≥－(22t＋1)．而t∈[1，2]时，－(22t＋1)∈[－17，－5]，故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．已知函数f(x)＝x＋1，0≤x＜1，2x－12，x≥1，设a>b≥0，若f(

a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．解：画出函数图象如图所示，由图象可知要使a>b≥0，f(a)＝f(b)同时成立，则12≤b<1，bf(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b2＋b＝b＋12

2－14，所以34≤b·f(a)<2.故填34，2.