【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案1．3《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》(含详解).doc，共(8)页，229.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为__________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称

命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为____

__________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称

命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(真值表)pqp∧qp∨q綈p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．自查自纠：1．逻辑联

结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真(2018·陕西部分学校摸底)命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是()A．∃x0≥0，x0x0

－1≤0B．∃x0>0，0≤x0≤1C．∀x>0，xx－1≤0D．∀x<0，0≤x≤1解：因为xx－1>0⇔x<0或x>1，所以xx－1>0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是“∃x0>0，0≤x0≤1”．故选B.(2018·河北武邑中学模拟)下列命题为

假命题的是()A．∀x∈R，2018x－2＞0B．∃x0∈R，tanx0∈RC．∃x0∈R，lgx0＜0D．∀x∈R，(x－100)2018＞0解：对于A，指数式2018x－2恒大于0，A为真命题；对于B，

正切函数的值域为R，B为真命题；对于C，对数函数的值域为R，故C为真命题；对于D，x＝100时，(x－100)2018＝02018＝0，D为假命题．故选D.(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命

题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧(綈q)C．(綈p)∧qD．((綈p)∧(綈q)解：由x＞0时x＋1＞1，知p是真命题，由－1＞－2，(－1)2＜(－2)2可知q是假命题，即p，綈q均是真命题．故选B.命题“∀x∈R，|x－2|＋|x－4|>

3”的否定是________________________．解：由定义知命题的否定为“∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3”．故填∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3.已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．解：因为p是

假命题，则綈p为真命题，即“∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0”为真命题，所以Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1.故填(0，1)．类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断(1)(2018·江西南昌模拟)设命题p：∃x

0∈(0，＋∞)，x0＋1x0＞3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真命题的是()A．p∧(綈q)B．(綈p)∧qC．p∧qD．(綈p)∨q解：命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0＞3，当x0＝3时，3＋13＞3

，命题为真．命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，当x＝4时，两式相等，命题为假．则p∧(綈q)为真命题．故选A.(2)已知命题p：∀x∈N*，12x≥13x；命题q：∃x0∈N*，2x0＋21－x0＝22，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．

(綈p)∧qC．p∧(綈q)D．(綈p)∧(綈q)解：根据幂函数的性质，可知命题p为真命题；由2x0＋21－x0＝22，得22x0－22·2x0＋2＝0，解得2x0＝2，即x0＝12(或2x0＋21－x0≥22x0·21－x0＝22，当且仅当2x0＝21－x0，

即x0＝12时等号成立)，命题q为假命题．所以只有p∧(綈q)为真命题．故选C.点拨：判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤：第一步，判断复合命题的结构；第二步，判断构成这个命题的每个简单命题的真假；第三步，依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反作出判断．(1)已

知命题p：∃x0∈R，x0－2>lgx0；命题q：∀x∈R，ex>1.则()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(綈q)是真命题D．命题p∨(綈q)是假命题解：取x0＝10，得x0－2＞lgx0，所以命题p是真命题

；取x＝－1，得ex＜1，所以命题q是假命题．则p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∧(綈q)是真命题，p∨(綈q)是真命题．故选C.(2)(2018·安徽皖江名校联考)命题p：存在x∈0，π2，使sinx＋cosx＞2；命题q：“∃x0∈(0，＋∞)，l

nx0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”，则四个命题：(綈p)∨(綈q)，p∧q，(綈p)∧q，p∨(綈q)中，正确的命题个数为()A．1B．2C．3D．4解：因为sinx＋cosx＝2sin

x＋π4≤2，所以命题p是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q为真命题．则(綈p)∨(綈q)为真命题，p∧q为假命题，(綈p)∧q为真命题，p∨(綈q)为假命题，所以4个命题中正确的有2个．

故选B.类型二含有逻辑联结词的命题的综合问题已知函数f(x)＝－x－1，x＜－2，x＋3，－2≤x≤12.(1)求函数f(x)的最小值；(2)已知m∈R，p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意的m∈R恒成立，q：函数y＝(m

2－2)x是增函数，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．解：(1)函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在－2，12上单调递增，故f(x)的最小值f(x)min＝f(－2)＝1.(2)由题意得，p与q一真一假．若p为真，则m2＋

2m－2≤1，故－3≤m≤1；若q为真，则m2－2＞0，故m＞2或m＜－2.则有①p真q假，则－3≤m≤1，－2≤m≤2，解得－2≤m≤1；②p假q真，则m＞1或m＜－3，m＜－2或m＞2，解得m＜－3或m＞2.故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪[－

2，1]∪(2，＋∞)．点拨：由“p或q”为真，“p且q”为假判断出p和q一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知命题p：在x∈[1，2

]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f(x)＝log13(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，则实数a的取值范围为________．解：因为x∈[1，2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立，所以a>2－x2

x＝2x－x在x∈[1，2]时恒成立，令g(x)＝2x－x，则g(x)在[1，2]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝1，所以a>1.即若命题p真，则a>1.又因为函数f(x)＝log13(x2－

2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数，所以u(x)＝x2－2ax＋3a是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)>0在[1，＋∞)上恒成立，所以a≤1，u（1）>0，所以－1<a≤1，即若命题q真，则－1<a≤1.综上知，若命题“p∨q”是真命题，则a>－1

.故填(－1，＋∞)．类型三全称命题与特称命题(1)(2018·东北师大附中质检)已知命题p：∀x∈R，ex－x－1＞0，则綈p是()A．∀x∈R，ex－x－1＜0B．∃x0∈R，ex0－x0－1≤0C．∃x0∈R，ex0

－x0－1＜0D．∀x∈R，ex－x－1≤0解：因为全称命题的否定是特称命题，则綈p：∃x0∈R，ex0－x0－1≤0.故选B.(2)已知“命题p：∃x0∈R，ax20＋2x0＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是()A．[0，1)B．(－∞，1)C．

[1，＋∞)D．(－∞，1]解法一：当a＝0时，2x＋1＜0，可得x＜－12，此时命题p为真；当a≠0时，要使命题p为真，只要Δ＝4－4a＞0，即a＜1且a≠0即可．综上可知，a＜1.解法二：命题p的否定是“∀x∈R，a

x2＋2x＋1≥0”．当a＝0时，显然命题綈p为假；当a≠0时，命题綈p为真的充要条件是a＞0且Δ＝4－4a≤0，即a≥1.故綈p为真时，a的取值范围为A＝[1，＋∞)，故p为真时，a的取值范围为∁RA＝(－

∞，1)．故选B.点拨：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．常见命题及其否定形式：命题否定p綈pp∨q(綈p)∧(綈q)p∧q（綈p)∨(綈q)∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p

(x0)∀x∈M，綈p(x)(1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0

)＞n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0解：全称命题的否定为特称命题，因此原命题的否定形式是“∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0”．故选D.(2)命题“∃x0∈R，asinx0＋cosx0≥2”

为假命题，则实数a的取值范围是________．解：原命题为假，即命题“∀x∈R，asinx＋cosx＜2”为真命题，即a2＋1＜2，解得－3＜a＜3，即实数a的取值范围是(－3，3)．故填(－3，3)．1．含有逻辑联结词命题真假

的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．全称命题与特称命题真假的判断(1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合

M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，至少能找一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x＝±1”中含逻辑联结词

“或”，“≥”表示“大于或等于”；“綊”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表正面词语等于(＝)大于(＞)小于(＜)是都是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至多有

一个至少有一个任意的所有的一定否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定1．“a和b都不是偶数”的否定形式是()A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数解：“a和b都不是偶数”的否定形式是“a和b至少有一个是

偶数”．故选A.2．已知命题p：∃a∈(－∞，0)，a2－2a－3＞0，那么命题p的否定是()A．∃a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0B．∃a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0C．∀a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0D．∀a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0解：易知綈p：∀a∈(－∞，0)，a

2－2a－3≤0.故选D.3．已知命题p∶∀x∈R，2x2＋2x＋12>0，命题q：∃x0∈R，sinx0－cosx0＝2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．(綈p)∧(綈q)C．p∨(綈q)D．(綈p)∨q解：在命题p中，当x＝－12时，2x2＋2x＋12＝0，故p为假命题；在命题q中，

当x0＝3π4时，sinx0－cosx0＝2，故q为真命题，所以(綈p)∨q为真命题．故选D.4．下列说法中，正确的个数是()①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；②若p：∃x0∈R，x20－x0＋1≤0，则綈p

：∀x∈R，x2－x＋1＞0；③在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件；④若p∨q为真命题，则p，q均为真命题．A．0B．1C．2D．3解：易知①②正确，④错误．在△ABC中，由正弦定理可得asinA＝bsinB，因此sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此“sinA＞sinB

”是“A＞B”的充要条件，③正确．故选D.5．下列命题中，正确的是()A．命题“∀x∈R，x2－x≤0”的否定是“∃x0∈R，x20－x0≥0”B．命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件C．“若am2≤bm2，则a≤b”的否命题为真D．若实数x，y∈[－1，1]，则满足x

2＋y2≥1的概率为π4解：A中否定不能有等号．B中命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件．D中概率应为1－π4.故选C.6．若命题“∀x∈(1，＋∞)，x2－(2＋a)x＋2＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是

()A．(－∞，－2]B．(－∞，2]C．[－2，2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解：当x>1时，原不等式等价于a≤x2－2x＋1＋1x－1＝x－1＋1x－1，由于x－1＋1x－1≥2，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时等号成立，故a≤2.故选B.7．已知命题p1：函数y＝2x－

2－x在R上为增函数；p2：函数y＝x＋1x在(0，＋∞)上为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，是真命题的是________．解：p

1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题，所以q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，所以q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．所以真命题是q1，q4.故填q1，q4.8．已知p：方程x2＋mx＋1＝0

有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是________．解：p为真命题，有Δ＝m2－4＞0，－m＜0，解得m>2.q为

真命题，有Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1<0，解得1<m<3.由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．当p真q假时，由m＞2，m≤1或m≥3，得m≥3；当p假q真时，由m≤2，1＜m＜3，得1

<m≤2.综上，实数m的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．故填(1，2]∪[3，＋∞)．9．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的

对角线互相平分．解：(1)p∨q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p∧q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；綈p：2不是4的约数，假命题．(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p∧q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；綈p：矩形的对角线不相等，假命题．10．指出

下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假．(1)若a＞0且a≠1，则对任意实数x，ax＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|

＝|sinx|；(4)∃x0∈R，使x20＋1＜0.解：(1)全称命题，其否定形式为：若a>0且a≠1，则∃x∈R，ax≤0，显然该命题为假命题．(2)全称命题，其否定形式为：∃x1，x2∈R，且x1＜x2，使t

anx1≥tanx2，该命题为真命题．例如取x1＝0，x2＝π，有x1＜x2，但tanx1＝tanx2＝0；又当x1＝0，x2＝2π3时，有x1＜x2，但tan0＝0，tan2π3＝－3，所以tanx1＞tanx2.(3)特称命题，其

否定形式为：∀T∈R，|sin(x＋T)|≠|sinx|，该命题是假命题．例如T0＝π时，有|sin(x＋π)|＝|sinx|.(4)特称命题，其否定形式为∀x∈R，x2＋1≥0.因为x∈R时，x2≥0，所以x2＋1≥1＞0，故为真命题．11．已知p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，

不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意的m∈[－1，1]恒成立，q：不等式ax2＋2x－1＞0有解．若p∧(綈q)是真命题，求实数a的取值范围．解：p∧(綈q)为真命题，则p真q假．因为x1，x2是

方程x2－mx－2＝0的两个实根，所以x1＋x2＝m，x1x2＝－2，所以|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝m2＋8，所以当m∈[－1，1]时，|x1－x2|max＝3，所以由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意的m∈

[－1，1]恒成立，得a2－5a－3≥3，所以a≥6或a≤－1.因为不等式ax2＋2x－1＞0有解，所以当a＞0时，显然有解；当a＝0时，2x－1＞0有解；当a＜0时，Δ＝4＋4a＞0，解得－1＜a＜0.所以不等式ax2＋2x－1＞0有解时，a＞－

1.又q是假命题，所以a≤－1.故p∧(綈q)是真命题时，a的取值范围为(－∞，－1]．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)当a＝1时，若p且q为假，p或q为真，求

m的取值范围．解：(1)因为对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，所以(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．(2)因为a＝1，且存在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立，所以m≤1.因此，命题q

为真时，m≤1.因为p且q为假，p或q为真，所以p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，由1≤m≤2，m＞1，得1＜m≤2；当p假q真时，由m＜1或m＞2，m≤1，得m＜1.

综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．