【文档说明】(新高考)高考数学二轮复习讲义11《圆锥曲线的方程与性质》(解析版) .doc，共(14)页，932.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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11圆锥曲线的方程与性质核心考点读高考设问知考法命题解读圆锥曲线的定义及标准方程【2020新课标1理4】已知A为抛物线C：220ypxp上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第

一问的形式命题.2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化、化归与分类讨论思想方法的考查.【2020新课标1文11】设12,FF是双曲线22:13yC

x的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP，则12PFF△的面积为()【2019新课标1理10文12】已知椭圆C的焦点为121,01,0FF()，()，过F2的直线与C交于A，B两点．若

222AFFB，1ABBF，则C的方程为()【2020新课标3理11】设双曲线C：222210,0xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为5，P是C上一点，且12FPFP．若12PFF的面积为4，则a()【2019新

课标3文理15】设1F，2F为椭圆22:+13620xyC的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若12MFF△为等腰三角形，则M的坐标为________.圆锥曲线的几何性质【2020新课标3文14】设双曲线C：222210,0xyabab的一条渐近线为2yx，则C的离心率为

_________．【2020新课标1理15】已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为_______．【2019新课标1理

16】已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB，120FBFB，则C的离心率为________．【2016新课标3文12理11】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0

)xyabab的左焦点，,AB分别为C的左右顶点，P为C上一点，且PFx轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）直线与圆锥曲线的综合问题【2013新课标1理10】

已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为3,0F，过点F的直线交椭圆于,AB两点，若AB的中点坐标为1,1，则椭圆E的方程为()【2020新高考全国13】斜率为3的直线过抛物线C：24yx的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=__

_____．【2019新课标1理19】已知抛物线C：23yx的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若4AFBF，求l的方程；（2）若3APPB，求AB．【2020新高考全国Ⅱ

卷21】已知椭圆C：22221(0)xyabab过点2,3M，点A为其左顶点，且AM的斜率为12，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值．(2020·天津卷)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F

，且|OA|＝|OF|，其中O为原点.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3OC→＝OF→，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.核

心考点一圆锥曲线的定义及标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).温馨提醒应用

圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b

＞0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).1．【2020新课标1理4】已知A为抛物线C：2

20ypxp上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p（）A．2B．3C．6D．9【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知||122ApAFx，即1292p，解得6p．故选C．2.【2020新课标1文11】设12,FF是双曲线22:13yCx的两

个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP，则12PFF△的面积为（）A．72B．3C．52D．2【解析】方法1：不妨设12(2,0),(2,0)FF，则1,2ac，因为121||2||2OPFF，所以点P在以

12FF为直径的圆上，即12PFF△是以P为直角顶点的直角三角形，故2221212|6|||1||PFPFFF，又12||||22PFPFa，所以2124||||PFPF2212||||2PFP

F12||||162PFPF12||||PFPF，解得12||||6PFPF，所以12FFPS△121||||32PFPF，故选B．方法2：点P的轨迹方程为224xy，联立2213yx，解得32y（得到点P的纵坐标），所以12FFPS

△134322，故选B．方法3：由二级结论焦点三角形12PFF△的面积为22cot3cot4532Sb，故选B．3.【2019新课标1理10文12】已知椭圆C的焦点为121,01,0FF()，()，过F2的直线与C交于A，B两点．若2

22AFFB，1ABBF，则C的方程为()A．2212xyB．22132xyC．22143xyD．22154xy【解法1】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2FBn，则212,3AFnBFABn，由椭圆的定义有121224,22aBFB

FnAFaAFn．在12AFF△和12BFF△中，由余弦定理得2221222144222cos4,422cos9nnAFFnnnBFFn，又2121,AFFBFF互补，2121coscos0AFFBFF，

两式消去2121coscosAFFBFF,，得223611nn，解得32n．2423,an3,a222312,bac所求椭圆方程为22132xy，故选B．【解法2】如图，由已知可设2FBn，则212,3AFnBFABn

，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn．在1AFB△中，由余弦定理推论得22214991cos2233nnnFABnn．在12AFF△中，由余弦定理得2214422243nnnn

，解得32n．2222423,3,312,anabac所求椭圆方程为22132xy，故选B．【解法3】由222AFFB利用向量或相似三角形的性质得点3,22bB，代入椭圆方程得23a，所以，222312bac

，故选B．【解法4】由椭圆的极坐标方程得1cos1e得2cos3n，再利用余弦定理得出关于n的方程．4．【2020新课标2理19】已知椭圆1C：222210xyabab

的右焦点F与抛物线2C的焦点重合，1C的中心与2C的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交1C于,AB两点，交2C于,CD两点，且43CDAB．（1）求1C的离心率；（2）设M是1C与2C的公共点，若5M

F，求1C与2C的标准方程．【解析】（1）,0Fc，ABx轴且与椭圆1C相交于A、B两点，则直线AB的方程为xc，联立22222221xcxyababc，解得2xcbya，则22bABa，抛物线2

C的方程为24ycx，联立24xcycx，解得2xcyc，4CDc，43CDAB，即2843bca，223bac，即222320caca，即22320ee，01e，解得12e，因此椭圆1C

的离心率为12；（2）由（1）知2ac，3bc，椭圆1C的方程为2222143xycc，联立222224143ycxxycc，消去y并整理得22316120xcxc，解得23xc或6xc（舍去），由抛物线的定义可得2

5533cMFcc，解得3c．因此，曲线1C的标准方程为2213627xy，曲线2C的标准方程为212yx．1．【2020新课标3文7理5】设O为坐标原点，直线2x与抛物线C：22(0)ypxp交于D，E两点，若ODOE，则C

的焦点坐标为（）A．1,04B．1,02C．(1,0)D．(2,0)【解析】因为2x与抛物线22(0)ypxp交于,ED两点，且ODOE，根据抛物线的对称性可以确定4DOx

EOx，所以2,2D，代入抛物线方程44p，求得1p，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选B．2.【2020新课标3理11】设双曲线C：222210,0xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为5，

P是C上一点，且12FPFP．若12PFF的面积为4，则a（）A．1B．2C．4D．8【解析】方法1：5ca，5ca，根据双曲线的定义可得122PFPFa，12121||42PFFPFFSP△，即12||8PFPF，12FPFP，22212||2PFPFc

，22121224PFPFPFPFc，即22540aa，解得1a，故选A．方法2：12PFF的面积为22cot42Sbb，离心率5e，所以1a，故选A．3．【2019新课标3文理15】设1F，2F为椭圆2

2:+13620xyC的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若12MFF△为等腰三角形，则M的坐标为___________.【解析】由已知可得2222236,36,16,4abcabc，11228MFFFc．∴24MF．设点M的坐标为

0000,0,0xyxy，则121200142MFFSFFyy△，又122201482415,44152MFFSy△，解得015y，2201513620x，解得03x（03x舍去），M\的坐标为3,

15．核心考点二圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的重要性质：(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝ca＝1－b2a2.②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝ca＝1＋b2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x2a2－y2b2

＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).②双曲线y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±abx，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).

(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Fp2，0，准线方程x＝－p2.②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F0，p2，准线方程y＝－p2.1．【2020新课标1理15】已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点

，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为_______．【解析】联立22222221xcxyababc，解得2xcbya，所以2bBFa．依题可得3BFAF，AFc

a，即2223bcaacaaca，变形得2ca，因此C的离心率为2．故答案为2．2．【2016新课标3文12理11】已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，,AB分别为C的左右顶点，P为C上一点，且PFx轴．过

点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【解析】解法1：由题意设直线l的方程为ykxa，分别令xc与0x得FMkac，OEka

，由OBECBM，得12OEOBFMBC，即2kaakacac，整理得13ca，所以椭圆离心率为13，故选A。解法2：设(0,)Em，则直线AE的方程为1xyab，由题意可知(,)mcMcma，(0,)2m和(,0)Ba三点共线，则22mcmmmaca

，化简得3ac，则C的离心率13cea．故选A．3.(多选题)已知椭圆Ω：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则下列结论正确的是()A.若a＝2b，则椭圆Ω的离心率为22B.若椭圆Ω的离心率为12，则ba＝32C.若点F1，F2分别为椭圆Ω的左、右焦

点，直线l过点F1且与椭圆Ω交于A，B两点，则△ABF2的周长为4aD.若点A1，A2分别为椭圆Ω的左、右顶点，点P为椭圆Ω上异于点A1，A2的任意一点，则直线PA1，PA2的斜率之积为－b2a2【解析】若a＝2b，则c＝3b，所以e＝32，A不正确；若e＝12，则

a＝2c，b＝3c，所以ba＝32，B正确；根据椭圆的定义易知C正确；设点P(x0，y0)，则x20a2＋y20b2＝1，易知A1(－a，0)，A2(a，0)，所以直线PA1，PA2的斜率之积是y0x0＋a·y0x0－a＝

y20x20－a2＝b21－x20a2x20－a2＝－b2a2，D正确.故选BCD.1．【2020新课标3文14】设双曲线C：222210,0xyabab的一条渐近线为2yx，则C的离心

率为_________．【解析】由双曲线方程22221xyab可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为2yx，所以2ba，2213cbeaa．故答案为3．2.【2019新课标1理16】已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分

别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB，120FBFB，则C的离心率为____________．【解析】如图，由1,FAAB得1.FAAB又12,OFOF得OA是三角形12FFB的中位线

，即22//,2.BFOABFOA由120FBFB，得121,,FBFBOAFA则1OBOF有1AOBAOF，又OA与OB都是渐近线，得21,BOFAOF又21BOFAOBAOF

，得2160,oBOFAOFBOA．又渐近线OB的斜率为0tan603ba，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2cbeaa．3.(多选题)双曲线C：x24－y22＝1的右焦点为F，点P在双曲

线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率为62B.双曲线y24－x28＝1与双曲线C的渐近线相同C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为2D.|PF|的最小值为2【解析】对于A，因为a＝2

，b＝2，所以c＝a2＋b2＝6，所以双曲线C的离心率为62，所以A正确；对于B，它们的渐近线都是直线y＝±22x，所以B正确；对于C，结合PO⊥PF，点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设点P在渐近线y＝22x上，则直线PF的方程为y－0＝－2(x－6

)，即y＝－2(x－6)，由y＝－2（x－6），y＝22x，解得x＝263，y＝233，所以点P263，233，所以△PFO的面积S＝12×6×233＝2，所以C正确；对于D，因为点F(6，0)，双曲线C的一条渐近

线为直线y＝22x，所以|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离，为2，所以D错误.故选ABC.核心考点三直线与圆锥曲线综合问题1.直线与圆锥曲线相交的弦：设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2

|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.2.过抛物线焦点的弦：抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长

|AB|＝x1＋x2＋p.1．【2020新高考全国13】斜率为3的直线过抛物线C：24yx的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=_______．【解析】24(1,0)3(1)yxFyx，代入抛物线方程得23

1030xx，12121016||+2=33xxABxx，故答案为163．2．【2019新课标1理19】已知抛物线C：23yx的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴

的交点为P．（1）若4AFBF，求l的方程；（2）若3APPB，求AB．【解析】（1）设直线l方程为：32yxm，11,Axy，22,Bxy由抛物线焦半径公式可知：12342AFBFxx

1252xx联立2323yxmyx，得229121240xmxm则2212121440mm12m121212592mxx，解得78m直线l的方程为：3728yx，即12870xy

（2）设直线l方程为：23xyt，联立2233xytyx，得2230yyt，则4120t13t122yy，123yyt3APPB123yy21y，13y123yy

则2121241341314412933AByyyy3．【2020新高考全国Ⅱ卷21】已知椭圆C：22221(0)xyabab过点2,3M，点A为其左顶点，且AM的斜率为12，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值．【解析】(1

)由题意可知直线AM的方程为：13(2)2yx，即24xy．当0y时，解得4x，所以4a，椭圆2222:10xyCabab过点2,3M，可得249116b，解得212b.所以C的方程为：2211612xy.(2)设与直线AM平

行的直线方程为：2xym，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时AMN的面积取得最大值.联立直线方程2xym与椭圆方程2211612xy，可得2232448myy，即2216123480ymym，所以2

21444163480mm，即264m，解得8m，与AM距离比较远的直线方程：28xy，直线AM方程为：24xy，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，即84125514d，由两点

之间距离公式可得22(24)335AM.所以△AMN的面积的最大值为：1125351825.1．【2013新课标1理10】已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为3,0F，过点F的直线交椭圆于,AB两点，若AB

的中点坐标为1,1，则椭圆E的方程为（）A、2214536xyB、2213627xyC、2212718xyD、221189xy【解析】设1122(,),(,)AxyBxy，则122xx，12yy=

－2，2211221xyab①2222221xyab②由①减②得：1212121222()()()()0xxxxyyyyab，∴ABk=1212yyxx=212212()()bxxayy=22ba，又ABk=0131=12，∴22ba=12，又9=2c=22ab

，解得2b=9，2a=18，∴椭圆方程为221189xy，故选D．2．【2010新课标理20】设12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，过1F斜率为1的直线l与E相交于,AB两点，且22,,AFABBF成等差数列，（1）求E的离心率；

（2）设点(0,1)P满足PAPB，求椭圆E的方程．【解析】（I）由椭圆定义知224AFBFABa，又222ABAFBF，得43ABal的方程为yxc，其中22cab．设11,Axy，

22,Bxy，则A、B两点坐标满足方程组22221yxcxyab化简的222222220abxacxacb则2222121222222,acbacxxxxabab因为直线AB斜率为1，所以AB2211212224xxxxxx

得22244,3abaab故222ab所以E的离心率2222cabeaa（II）设AB的中点为00,Nxy，由（I）知212022223xxacxcab，003cyxc．由PAPB，得1PNk，即0011

yx得3c，从而32,3ab故椭圆E的方程为221189xy．3.【2020天津卷】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其

中O为原点.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3OC→＝OF→，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程.【解析】(1)由已知得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|，得c＝b＝3.由a

2＝b2＋c2，得a2＝18.所以椭圆的方程为x218＋y29＝1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y＝kx－3.联立y＝kx－3，x218＋y29＝1，消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝

0，解得x＝0或x＝12k2k2＋1.依题意，可得点B的坐标为12k2k2＋1，6k2－32k2＋1.因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，所以点P的坐标为6k2k2＋1，－32k2＋1.由3OC→＝OF→，得点C的坐标为(1，0)，

故直线CP的斜率kCP＝－32k2＋1－06k2k2＋1－1＝32k2－6k＋1.又因为AB⊥CP，所以k·32k2－6k＋1＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝12或k＝1.所以，直线AB的方程为y＝12

x－3或y＝x－3.即直线AB的方程为x－2y－6＝0或x－y－3＝0.