【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案1．1《集合及其运算》(含详解).doc，共(8)页，257.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1．1集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：______，______，__________.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集自然数

集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a____

____集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素___

_____或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集∅⊆A，∅B(B≠∅)结论：集合{a1，a2，„，an}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有_

_______个．4．两个集合A与B之间的运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A的补集记为________韦恩(Venn)图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A

∩A＝________；④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A;②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪∅＝________；⑤A∪B_

_______B∪A.(3)①∁U(∁UA)＝________；②∁UU＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁UA)＝________；⑤A∪(∁UA)＝________.(4)①A∩B＝A⇔

________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card[∁U(A∪B)]＝______________

__________.自查自纠：1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．NN*(N＋)ZQRC3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆AA⊆BB⊇AABBA非空集合2n2n－12n－24．A∪BA∩B

∁UA{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②∅③U④∅⑤U(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－

card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝()A．{0，2}B．{1，2}C．{0}D．{－2，－1，0，1，2}解：由题意知A∩B＝{0，2}．故选

A.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝()A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解：由x2－x－2＞0得

(x－2)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞2，所以A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.(2017·全国卷Ⅱ)设集合Α＝{1，2，4}，Β＝{x|x2－4x＋m＝0}．若Α∩Β＝{1}，则Β＝()A．{1，－3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}解：由

Α∩Β＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．故选C.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．解：A表示圆x2＋y2＝1上所有点的集合，B表示直线y＝x上所有点的集

合，故A∩B表示直线与圆的交点构成的集合，由图可知交点的个数为2，即A∩B中元素的个数为2.故填2.(2017·天津改编)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝_____

___．解：集合A∪B＝{1，2，4，6}，则(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故填{1，2，4}．类型一集合及相关概念(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个

数为()A．9B．8C．5D．4解法一：集合A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9个元素．解法二：A表示由圆x2＋y2＝3内部及边界上所有整数点

构成的集合．如图，则圆内部共有9个满足题意的点．故选A.(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则实数a＝()A.92B.98C．0D．0或98解：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实

根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝23，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝98，所以a的取值为0或98.故选D.点拨：题(1)要注意x，y的约束条件．题(2)集合A中只有一个元素，要分a

＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形．用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(1)设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a的值为________．解：因为

B⊆A，所以a2－a＋1∈A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.由a2－a＋1＝3，得a＝2或a＝－1；由a2－a＋1＝a，得a＝1.经检验，a＝1时集合A，B不满足集合中元素的互异性，舍去．故a＝－1或a＝2.故填－1或2.(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋

3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．解：由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，当a＝0时，x＝23不合题意，舍去；当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，所以a<－98.故填－∞，－98.类型二集合间的关系(2

018·长春市高一联考)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若BA，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．解：(1)①当B≠∅时，如图所示．所以m＋1≥－2，2m－1＜5，2m－1≥m＋1或m＋1＞

－2，2m－1≤5，2m－1≥m＋1，解这两个不等式组，得2≤m≤3.②当B＝∅时，m＋1＞2m－1，得m＜2.综上可得，m的取值范围是(－∞，3]．(2)当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.所以2m－1＞m＋1，m＋1≤－2，2m－

1≥5，即m＞2，m≤－3，m≥3，所以m不存在．即不存在实数m使A⊆B.点拨：已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时

需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到．(1)已知集合A＝{x|lgx>0}，B＝{x|x≤1}，则()A．A∩B≠∅B

．A∪B＝RC．B⊆AD．A⊆B解：由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx>0}＝(1，＋∞)，所以A∪B＝R.故选B.(2)(2018·湖南长沙二模)已知A＝{y|y＝x12，0≤x≤1}，B＝{y|y＝kx＋1，x∈A}，若A⊆B，则实数k的取值范围

为()A．{－1}B．{k|k＜－1}C．{k|－1≤k≤0}D．{k|k≤－1}解：由已知可得A＝{y|y＝x12，0≤x≤1}＝[0，1]，易知k≠0，当k＞0时，B＝[1，1＋k]；当k＜0时，B＝[1＋k，1]．由A⊆B知，当k＞0时不合题意，则1＋k≤0，即

k≤－1.故选D.类型三集合的运算(1)(2018·浙江)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝()A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}解：因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1

，3}，所以∁UA＝{2，4，5}．故选C.(2)集合P＝{x∈R||x－1|<1}，Q＝{x∈R||x－a|≤1}，且P∩Q＝∅，则实数a的取值范围为()A．{a|a≥3}B．{a|a≤－1}C．{a|a≤－1或a≥3}D．{a|

－1≤a≤3}解：P＝{x|0<x<2}，Q＝{x|a－1≤x≤a＋1}，要使P∩Q＝∅，则a＋1≤0或a－1≥2，解得a≤－1或a≥3.故选C.点拨：集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩(Venn)图等进行运算．(1)(201

8·北京)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2，0，1，2}，则A∩B＝()A．{0，1}B．{－1，0，1}C．{－2，0，1，2}D．{－1，0，1，2}解：因为|x|＜2，所以－2＜x＜2，所以A＝{x|－2＜x＜2}．因为B＝{－2，0，1，2}

，所以A∩B＝{0，1}．故选A.(2)设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，则P∩(∁UQ)等于()A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，6，7}D．{1，2，3，4，5}解：因为∁UQ＝{1，2}，所以

P∩(∁UQ)＝{1，2}．故选A.类型四韦恩(Venn)图(2018·河北武邑质检改编)已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2＋2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则阴影部分表示的集合为()A．[－3，2

]B．(－3，2)C．(－3，2]D．[－3，2)解：由函数y＝x2＋2≥2，得A＝[2，＋∞)，由函数y＝lg(9－x2)，得9－x2＞0，即B＝(－3，3)．因为全集U＝R，所以∁UA＝(－∞，2)，图中阴影部分表示的集合为B∩∁UA＝(－3，2)．故选B.点拨：韦恩(V

enn)图能更直观地表示集合之间的关系，先化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．如图，全集I＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x＜3}C．{x

|x＜3}D．{x|x＞0}解：由图可知，阴影部分表示的是集合A∪B＝{x|0＜x＜3}．故选B.1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同

的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数

集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何集合的子集

．5．五个关系式A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB)＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难

以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题．例如：已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4

a－9}，且A，B，C中至少有一个不是空集，求a的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即1－4a＜0，1－4（2a－1）≤0，a＞4a－9，解得58≤a＜3，从而所求a的取值范围为a|a＜58或a≥3.1．(2016·四川)

设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．3B．4C．5D．6解：由题意，A∩Z＝{－2，－1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C.2．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－

4x＋3＜0}，B＝{x|2x－3＞0}，则A∩B＝()A.－3，－32B.－3，32C.1，32D.32，3解：A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2x－3＞0}＝x|x＞32，所以A∩B＝x|32＜

x＜3.故选D.3．已知全集R，集合A＝{x|(x－1)(x＋2)(x－2)＝0}，B＝{y|y≥0}，则A∩(∁RB)为()A．{1，2，－2}B．{1，2}C．{－2}D．{－1，－2}解：A＝{1，2，－

2}，而B的补集是{y|y<0}，故两集合的交集是{－2}．故选C.4．(2018·海淀一模)设集合P＝{m|－1＜m≤0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系成立的是()A．PQ

B．PQC．P＝QD．P∩Q＝∅解：Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①当m＝0时，－4＜0恒成立；②当m＜0时，需Δ＝(4m)2－4×m×(－4)＜0，解得－1＜m

＜0.综合①②知－1＜m≤0.故选C.5．集合P＝{1，4，9，16，„}，若a∈P，b∈P，则ab∈P，则运算可能是()A．除法B．加法C．乘法D．减法解：当为除法时，14∉P，所以排除A；当为加法时，1＋4＝5∉P，所以排除B；当为乘法时，m2·n

2＝(mn)2∈P，C正确；当为减法时，1－4∉P，所以排除D.故选C.6．设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝7x－x2－6}，B＝{x∈Z|－1<x≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A

．3B．4C．7D．8解：A＝{x∈N|y＝7x－x2－6}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共

7个．故选C.7．(2018·黄冈市高一质检)已知A＝{x∈R|x＜－2或x＞3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为________．解：因为A∪B＝A，所以B⊆A

.①当B≠∅时，有a＞3，a≤2a－1或2a－1＜－2，a≤2a－1，解得a＞3.②当B＝∅时，由a＞2a－1，得a＜1.综上可知，实数a的取值范围是{a|a＜1或a＞3}．故填{a|a＜1或a＞3}．8．已知集合A，B

与集合A@B的对应关系如下表：A{1，2，3，4，5}{－1，0，1}{－4，8}B{2，4，6，8}{－2，－1，0，1}{－4，－2，0，2}A@B{1，3，5，6，8}{－2}{－2，0，2，8}若A＝{－2019，0，2018}，B＝{－2019，0，2017}，试根

据图表中的规律写出A@B＝________.解：由规律知，A@B是由A∪B中元素去掉A∩B中元素构成的集合，故A@B＝{2017，2018}．故填{2017，2018}．9．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m，－3}，且3∈A，求m的值．解：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m

2＋m＝3，解得m＝1或m＝－32.当m＝1时，m＋2＝2m2＋m＝3，不满足集合元素的互异性，当m＝－32时，A＝－3，12，3满足题意．故m＝－32.10．(2018·珠海四中检测)若A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，A∩B＝{9}

，求A∪B.解：由A∩B＝{9}可知9∈A，则x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或5.当x＝3时，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，集合B中元素不满足互异性，故舍去；当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，满足题意，此时A∪B＝{－

7，－4，－8，4，9}；当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，矛盾，故舍去．综上，A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}．11．(2018·南京市高一联考)设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x

2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解：A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{－4，0}，因为B⊆A，所以分B＝A和BA两种情况讨论．①当A＝B时，B＝{－4，0}，则有－4，0是方程x2＋

2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1.②当BA时，若B≠∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，验证知B＝{0}满足条件；若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.综上可知，所求实数a

的取值范围是{a|a＝1或a≤－1}．(2018·河北衡水中学模拟)对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b

＝16，a∈N*，b∈N*，a≠b}的真子集的个数是()A．27－1B．211－1C．212－1D．214－1解：因为16是偶数，所以M＝{(1，16)，(2，8)，(16，1)，(8，2)，(1，15)，(

15，1)，(3，13)，(13，3)，(5，11)，(11，5)，(7，9)，(9，7)}，共12个元素，则集合M的真子集个数为212－1.故选C.