【文档说明】(新高考)高考数学二轮复习讲义05《空间几何体的表面积和体积》(解析版) .doc，共(12)页，1001.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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05空间几何体的表面积和体积核心考点读高考设问知考法命题解读空间几何体的表面积【2018新课标1文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择

题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.【2018新课标2理16】已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为_______．【2017新课标1文18】如

图，在四棱锥PABCD中，//ABCD，且90BAPCDP（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，且四棱锥PABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【2015新课标1文18】如图四边形

ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD，（I）证明：平面AEC平面BED；（II）若120ABC，,AEEC三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．空间几何体的体积【2018新课标2文16】已知圆锥的顶点为S，母线S

A，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB△的面积为8，则该圆锥的体积为________．【2019新课标3文理16】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCDABCD挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，,,

,EFGH分别为所在棱的中点，16cm4cmAB=BC=,AA=，3D打印所用原料密度为30.9/gcm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g．【2020新课标1文19】如图，D为圆锥的顶点，O是圆

锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，90oAPC．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设2DO，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥PABC的体积．多面体与球的切、接问题【2020新课标1理10文12】已知,,ABC为球O的球面上

的三个点，⊙1O为ABC的外接圆，若⊙1O的面积为4π，1ABBCACOO，则球O的表面积为（）【2020新课标2理10文11】已知ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16，则O到平面

ABC的距离为（）【2020新课标3理15文16】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【2020新高考全国16】已知直四棱柱1111ABCDABCD的棱长均为

2，60oBAD．以1D为球心，5为半径的球面与侧面11BCCB的交线长为________．【2017新课标1文16】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA平面SCB

，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为．【2019新课标1理12】已知三棱锥P‒ABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA、AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()核心考点一空间几何体的表面积

柱体、锥体、台体、球的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.1.【2018新课标1文5】已知圆柱的上、下

底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π【解析】截面面积为8，所以高22h，底面半径2r，所以表面积

为2(2)2222212S，故选B．2．【2017新课标1文18】如图，在四棱锥PABCD中，//ABCD，且90BAPCDP（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，且四棱锥PABCD的体积为83

，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）由已知90BAPCDP∠∠，得ABAP，CDPD．由于ABCD∥，故ABPD，从而AB平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD．（2）在平面PAD内作PEAD，垂足为E．由（1）知，AB平面PAD

，故ABPE，可得PE平面ABCD．设ABx，则由已知可得2ADx，22PEx．故四棱锥PABCD的体积31133PABCDVABADPEx．由题设得31833x，故2x．从而2PAPD，22ADBC，22PBPC．可得四棱锥PABCD的

侧面积为21111sin606232222PAPDPAABPDDCBC．1．【2018新课标2理16】已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若SAB△的面积为51

5，则该圆锥的侧面积为__________．【解析】因为母线SA，SB所成角的余弦值为78，所以母线SA，SB所成角的正弦值为158，因为SAB△的面积为515，设母线长为l，所以211551528l，280l

，因SA与圆锥底面所成角为45，所以底面半径为2cos42ll，因此圆锥的侧面积为224022rll．2．【2015新课标1文18】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，B

E平面ABCD，（I）证明：平面AEC平面BED；（II）若120ABC，,AEEC三棱锥EACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．GEDACB【解析】(Ⅰ)∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥

AC．∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∴AC⊥平面BED，又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED．(Ⅱ)设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°可得，AG=GC=32x，GB=GD=2x．在RtΔA

EC中，可得EG=32x．∴在RtΔEBG为直角三角形，可得BE=22x．∴3116632243EACDVACGDBEx，解得x=2．由BA=BD=BC可得AE=ED=EC=6．∴ΔAEC的面积为3，ΔEAD

的面积与ΔECD的面积均为5．所以三棱锥E-ACD的侧面积为3+25．核心考点二空间几何体的体积柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝43πR3.1．【2018新课标2文1

6】已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB△的面积为8，则该圆锥的体积为________．【解析】如下图所示，30SAO，90ASB，又211822SABSSASBSA△，解得4SA

，所以122SOSA，2223AOSASO，所以该圆锥的体积为2183VOASO．2.【2019新课标3文理16】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCDABCD挖

去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，,,,EFGH分别为所在棱的中点，16cm4cmAB=BC=,AA=，3D打印所用原料密度为30.9/gcm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g．【解析】由题意得，2146423122EFGHScm

，四棱锥O−EFG的高3cm，∴21123123OEFGHVcm．又长方体1111ABCDABCD的体积为22466144Vcm，所以该模型体积为22114412132VVVcm

，其质量为0.9132118.8g．3.【2020新课标1文19】如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，90oAPC．（1）证明：平面PAB⊥

平面PAC；（2）设2DO，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥PABC的体积．【解析】（1）连接,,OAOBOC，D为圆锥顶点，O为底面圆心，OD平面ABC，P在DO上，,OAOBOCPAPBPC，ABC是圆内接正三角形，ACBC，PAC

PBC△△，90APCBPC，即,PBPCPAPC，PAPBP，PC平面,PABPC平面PAC，平面PAB平面PAC；（2）设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为3,3rlrl，2222O

Dlr，解得1,3rl，2sin603ACr，在等腰直角三角形APC中，2622APAC，在RtPAO中，2262142POAPOA，三棱锥PABC的体积为11236333248PABCABCVPOS

△．1.【2018江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是2.则该正八面体的体积为13×(2)2×1×2＝43.2.如图，

四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为()A.13B.23C.1D.43【解析】∵ED⊥平面ABCD且AD⊂平面ABCD，∴ED⊥AD.∵在

正方形ABCD中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，∴AD⊥平面CDEF.易知FC＝ED2＝1，VA－BEF＝VABCDEF－VF－ABCD－VA－DEF.∵VE－ABCD＝ED×S正方形ABCD×13＝2×2×2×13＝83，VB－EFC＝BC×S△EFC×13＝2×2×1×12×1

3＝23，∴VABCDEF＝83＋23＝103.又VF－ABCD＝FC×S正方形ABCD×13＝1×2×2×13＝43，VA－DEF＝AD×S△DEF×13＝2×2×2×12×13＝43，VA－BEF＝103－43－43＝23.故选B.3．【2019新课标2文17

】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥11EBBCC的体积．【解析】（1）因为在长方体1111ABCDABCD中，11BC平面25

5cea；BE平面255cea，所以11BCBE，又1BEEC，1111BCECC，且1EC平面11EBC，11BC平面11EBC，所以BE平面11EBC；（2）设长方体侧棱长

为2a，则1AEAEa，由（1）可得1EBBE；所以22211EBBEBB，即2212BEBB，又3AB，所以222122AEABBB，即222184aa，解得3a；取1BB中

点F，连结EF，因为1AEAE，则EFAB∥；所以EF平面11BBCC，所以四棱锥11EBBCC的体积为1111111136318333EBBCCBBCCVSEFBCBBEF矩形．核心考点

三多面体与球的切、接问题球的相关性质：1、用一个平面去截球，截面是圆面；经过球心的平面截的圆叫大圆；不经过球心的平面截的圆叫小圆。2、球心和截面圆心的连线垂直于截面，即有222Rrd多面体的外接球模型：

1、长方体的外接球直径为体对角线，则2222abcR；正方体的外接球半径为32aR；正方体的内切球半径为2ar。2、圆柱模型：在三棱锥PABC中，已知PA平面ABC，则外接球半径为R，则2211ROOOA222PAr，其中1rOA为ABC外接圆半径。3、圆锥

模型PABCOO1在正三棱锥PABC中，先求出高线长221hPOPAr，在1RtOOA中，2221ROOr22hRr解方程求出R，其中1rOA为ABC外接圆半径。4、正四面体（构造正方体）、对棱相对的三棱锥（构造长方体）CADB如上左：正四面体DAB

C可构造如图正方体（所有面对角线相等）；如上右：对棱相等的三棱锥ABCD可构造如图长方体（对面的对角线相等）。1．【2020新课标1理10文12】已知,,ABC为球O的球面上的三个点，⊙1O为ABC的外接圆，若⊙1O的面积为4π，1ABBCACOO，则球O的表面积为（）

A．64πB．48πC．36πD．32π【解析】设圆1O半径为r，球的半径为R，依题意，得24,2rr，由正弦定理2sin6023ABr，123OOAB，根据球的截面性质1OO平面ABC，222

211111,4OOOAROAOOOAOOr，球O的表面积2464SR．故选A．2．【2020新课标2理10文11】已知ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为（）PACO1BOA．3B．32C．1D．

32【解析】设球O的半径为R，则2416R，解得2R．设ABC外接圆半径为r，边长为a，ABC是面积为934的等边三角形，21393224a，解得3a，22229933434ara，球心O到平面ABC的距离2243

1dRr．故选C．3.【2019新课标1理12】已知三棱锥P‒ABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA、AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A．86B．46C．26D．6【解析】解法一:,PAPBPCAB

C为边长为2的等边三角形，PABC为正三棱锥，PBAC，又E，F分别为PA、AB中点，//EFPB，EFAC，又EFCE，,CEACCEF平面PAC，PB平面PAC，2PAB

PAPBPC，PABC为正方体一部分，22226R，即364466,62338RVR，故选D．解法二:设2PAPBPCx，,EF分别为,PAAB中点，//EFPB，且12EFPBx，ABC为边长为

2的等边三角形，3CF又90CEF213,2CExAEPAxAEC中余弦定理2243cos22xxEACx，作PDAC于D，PAPC，D为AC中点，1cos2ADEA

CPAx，2243142xxxx，221221222xxx，2PAPBPC，又===2ABBCAC，,,PAPBPC两两垂直，22226R，62R，344666338VR

，故选D．1．【2020新课标3理15文16】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】方法1：等面积法易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示

，其中2,3BCABAC，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于223122AM，故1222222S△ABC，设内切圆半径为r，则ABCAOBBOCAOCSSSS△△△△11

1222ABrBCrACr1332222r，解得22r，其体积34233Vr．故答案为23．方法2：几何法如右图，当球与圆锥内切时体积最大，设球的半径为r，由题意知1,3C

BPB，圆锥的高22PC．由POBPAH得2213rr，则22r，故球的体积34233Vr．故答案为23．2.【2017新课标1文16】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC

是球O的直径．若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为．【解析】取SC的中点O，连接,OAOB，因为,SAACSBBC，所以,OASCOBSC，因为平面SAC平面SBC，所以OA

平面SBC．设OAr，3111123323ASBCSBCVSOArrrr，所以31933rr，即球的表面积为2436r3．【2020新高考全国16】已知直四棱柱1111ABCDABCD的棱长均为2，60oBAD．以1D为球心，5为半径的

球面与侧面11BCCB的交线长为________．【解析】如图，取11BC的中点为E，1BB的中点为F，1CC的中点为G，因为60oBAD，直四棱柱1111ABCDABCD的棱长均为2，所以111DBC为等边三角形，所以1DE3，111DEBC

，又四棱柱1111ABCDABCD为直四棱柱，所以1BB平面1111DCBA，所以111BBBC，因为1111BBBCB，所以1DE侧面11BCCB，设P为侧面11BCCB与球面的交线上的点，则1DEEP，因为球的半径为5，13DE，所以2211||||

||532EPDPDE，所以侧面11BCCB与球面的交线上的点到E的距离为2，因为||||2EFEG，所以侧面11BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，因为114BEFCEG，所以2FEG

，所以根据弧长公式可得2222FG．故答案为22．