【文档说明】高考数学(理数)二轮复习专题14《大题专项》练习04 (含答案详解).doc，共(5)页，126.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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大题专项训练4立体几何1．(湖南衡阳一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PB＝PC＝PD.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)若PA＝2，求二面角A－PD－B的余弦值．【解析】(1)

证明：连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形．取BC中点E，连接AE，PE.∵E为BC的中点，∴在△ABC中，BC⊥AE.∵PB＝PC，∴BC⊥PE.又∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.又PA⊂平面PAE，∴BC⊥PA.同理可得CD⊥PA.又∵BC∩CD＝C，∴PA⊥平面ABCD.(2

)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则B(3，－1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，PD→＝(0,2，－2)，BD→＝(－3，3,0)．设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·PD→＝2y－2z＝0，m·BD→＝－3x＋3y＝0，取x＝

3，得m＝(3，1,1)．取平面PAD的法向量n＝(1,0,0)，则cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝155.∴二面角A－PD－B的余弦值为155.2．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除了A，B外的一个

动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC＝EB，DC∥EB，AB＝4，tan∠EAB＝14.(1)求证：平面ADE⊥平面ACD；(2)当AC＝BC时，求二面角D－AE－B的余弦值．【解析】(1)证明：∵AB是半圆O的直径，∴BC⊥A

C.∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥CB.∴BC⊥平面ACD.∵CDEB，∴四边形BCDE是平行四边形．∴BC∥DE，∴DE⊥平面ACD.∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD.(2)EB＝AB·tan∠EAB＝4×14＝1，A

C＝BC＝22.建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则D(0,0,1)，E(0，22，1)，A(22，0,0)，B(0,22，0)．∴AB→＝(－22，22，0)，BE→＝(0,0,1)，DE→＝(0，22，0)，DA→＝(22，0，－1)

．设平面DAE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·DE→＝0，n1·DA→＝0，即22y1＝0，22x1－z1＝0.令x1＝1，得z1＝22，∴n1＝(1,0,22)．设平面ABE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)

，则n2·BE→＝0，n2·AB→＝0，即z2＝0，－22x2＋22y2＝0.令x2＝1，得y2＝1，∴n2＝(1,1,0)．∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝19×2＝26.易知二面角D－EA－B为钝角，∴二面角D－EA－B的余

弦值为－26.3．如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．【解析】(

1)证明：在正方形AMDE中，∵AM∥DE，∴AB∥DE.又∵AB⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AB∥平面PDE.∵AB⊂平面ABF，平面ABF∩平面PDE＝FG，∴AB∥FG.(2)∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE.如图，建立空

间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)．∴BC→＝(1,1,0)，AB→＝(1,0,0)，AF→＝(0,1,1)．设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则

n·AB→＝0，n·AF→＝0，即x＝0，y＋z＝0.令z＝1，则y＝－1，∴n＝(0，－1,1)．设直线BC与平面ABF所成角为α，则sinα＝|cos〈n，BC→〉|＝n·BC→|

n||BC→|＝12.∴直线BC与平面ABF所成角的大小为π6.设点H的坐标为(u，v，w)．∵点H在棱PC上，∴可设PH→＝λPC→(0＜λ＜1)，即(u，v，w－2)＝λ(2,1，－2)，∴u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.∵n是平面ABF的

一个法向量，∴n·AH→＝0，即(0，－1,1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝23.∴点H的坐标为43，23，23，∴PH＝432＋232＋23－22＝2.4．(北京)如

图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E为PD的中点，点F在PC上且PFPC＝13.(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角F－AE－P的余弦值；(3)设点G在PB上且PGPB＝23，判断直线AG是

否在平面AEF内，说明理由．【解析】(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.(2)以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间

直角坐标系，则A(0，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．∵E为PD的中点，点F在PC上且PFPC＝13，∴E(0,1,1)，F23，23，43.∴AE→＝(0,1,1)，AF→＝23，23

，43.设平面AEF的法向量m＝(x，y，z)，则m·AE→＝y＋z＝0，m·AF→＝23x＋23y＋43z＝0，取x＝1，得m＝(1,1，－1)．易得平面AEP的一个法向量为n＝(1,0,0)．设二面角F－AE－P的平面角为θ，由图形可

得θ为锐角，则cosθ＝|m·n||m||n|＝13＝33，∴二面角F－AE－P的余弦值为33.(3)直线AG在平面AEF内，理由如下：∵点G在PB上且PGPB＝23，B(2，－1,0)，P(0,0,2)，∴G43，－23，23.∴AG→＝43，－23，23.∵平面A

EF的一个法向量为m＝(1,1，－1)，m·AG→＝0，即m⊥AG→.又A在平面AEF内，∴直线AG在平面AEF内．