【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案10．5《几何概型》(含详解).doc，共(10)页，327.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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110．5几何概型1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel，Scilab等都可以产生随机数．2．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(_________

___或____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________．3．概率计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝___________________

_____________．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量，然后代入公式即可求解．自查自纠：1．均等的2．长度面积体积几何概率模型几何概型3．构成事件A的区域的长度（面积或体积）试验的全部结果构

成的区域长度（面积或体积）(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A．710B．58C．38D．310解：因为红灯持续时间为40秒，所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的

概率为40－1540＝58．故选B．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色

部分的概率是()A．14B．π8C．12D．π4解：不妨设正方形边长为2，则所求为π×12×122×2＝π8．故选B．(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三

角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3解：设AB＝c，

AC＝b，BC＝a，则a2＝b2＋c2，SⅠ＝12bc，SⅢ＝a22·π·12－SⅠ，SⅡ＝c22·π2＋b22·π2－SⅢ＝SⅠ，由几何概型概率公式知A正确．故选A．(2017·江苏)记函数f(x)＝6＋x－x2的定

义域为D．在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．解：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59．故填59．(2016·全国卷Ⅱ改编)从区间[0，1]随机抽2取2n个数x

1，x2，„，xn，y1，y2，„，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为____________．(用m，n表示)解：由题意可知(xi，yi)(i＝1，2，„，n)在如图所示的正方形中

，两数平方和小于1的点在如图所示的阴影中．由几何概型概率计算公式知π41＝mn，所以π＝4mn．故填4mn．类型一以长度为度量的几何概型(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车

，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A．13B．12C．23D．34解：由题意可知满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30，共20分钟，由几何概型知所求概率为2040＝12．故选B．点拨：以线段

长度为度量的几何概型概率计算公式：P(A)＝事件A对应的线段长试验的全部结果对应的线段长．(2016·山东)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．解：由已知

得，圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于半径，所以|5k|k2＋1<3，解得－34<k<34，由几何概型得P＝34－－341－（－1）＝34．故填34．类型二以面积为度量的几何概型(1)(2018·莆田质检)从区间(0，1)中任取

两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长度不大于1的概率是()A．π8B．π4C．12D．34解：任取的两个数记为x，y，则0＜x＜1，0＜y＜1，如图所示，它们构成的有序实数对(x，

y)对应的点所在区域是正方形OABC内部，而符合题意的x，y满足x2＋y2≤1，所对应的点(x，y)位于阴影区域内(不包括x，y轴)．故所求概率P＝14π×121×1＝π4．故选B．点拨：①以面积为度量的几何概型概率计算公式：P＝事件A构成区域的面积整个试验的全部结果构成

区域的面积．②解此类问题的主要步骤为：列出条件组，画出图形，计算面积，再求概率．③多注意数形结合．(2)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率为____________．解：以x轴和y轴分别

表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是||x－y≤15．在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式

得：3P(A)＝S阴影S＝602－452602＝105×153600＝716．所以，两人能会面的概率是716．故填716．点拨：①平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间

，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x，y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间．而能会面的时间由||x－y≤15所对应的图中阴影部分表示．②本题的难点在于把实际问题转化为几何模型．(1)(2018·石家庄调研

)在满足不等式组x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，y≥0的区域内随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y0＜2x0”，那么事件A发生的概率是()A．14B．34C．13D．23解：如图，作出不等式组x－y＋1≥0，x＋y－3≤0，y

≥0表示的平面区域(即△ABC)，其面积为4．事件A＝“y0＜2x0”表示的区域为△AOC，其面积为3．所以事件A发生的概率是34．故选B．(2)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1

h，乙船停泊时间为2h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为____________．解：设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x、y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不

需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2h以上，即y－x≥1或x－y≥2．故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0，24]，y∈[0，24]}．A为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是2

4的正方形及其内部．故所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积＝（24－1）2×12＋（24－2）2×12242＝506．5576＝10131152．故填10131152．类型三以体积为度量的几何概型已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP­A

BC<12VS­ABC的概率是()A．78B．34C．12D．14解：当点P到底面ABC的距离小于32时，VP­ABC<12VS­ABC．由几何概型知，所求概率为P＝1－123＝78．故选A．点拨：①以体积为度量的几何概型概率计算公式

：P＝构成事件A的区域的体积试验的全部结果构成的区域的体积；②对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心

，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()4A．π12B．1－π12C．π6D．1－π6解：正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr3＝12×

43π×13＝23π，则点P到点O的距离大于1的概率为1－23π8＝1－π12．故选B．类型四几何概型与定积分(2017·湖南郴州一质)如图，△ABC中的阴影部分是由曲线y＝x2与直线x－y＋2＝0所围成，向△

ABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为()A．732B．932C．716D．916解：令x2＝x＋2⇒x＝－1或2，则所求概率P＝－12（x＋2－x2）dx12×4×4＝928＝916，故选D．点拨：以面积为测度的几何概型问题是几何概型的主要问题，而定积分的重要作用正是

计算曲边梯形的面积，这类问题巧妙且自然地将新课标新增内容——几何概型与定积分结合在一起，是近几年各地高考及模拟中的热点题型．(2016·银川一模)如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sinx及直线x＝a(a∈(0，π])与x

轴围成，向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为12，则a＝____________．解：根据题意，阴影部分的面积为0asinxdx＝－cosx|a0＝1－cosa，又矩形的面积为a·4a＝4，则由几何

概型的概率公式可得1－cosa4＝12，即cosa＝－1，又a∈(0，π]，所以a＝π．故填π．类型五几何概型与平面区域的综合性问题(2017·宁夏银川一中二模)已知实数a，b满足0<a<1，－1<b<1，则函数y＝13ax3＋ax2＋b有三个零点的概率为

_________________．解：对y＝13ax3＋ax2＋b求导数，可得y′＝ax2＋2ax，令ax2＋2ax＝0，可得x＝0或x＝－2．因为0<a<1，所以x＝－2是极大值点，x＝0是极小值点．由函数y＝f(x)＝13ax

3＋ax2＋b有三个零点，可得f（－2）＞0，f（0）＜0，即4a＋3b＞0，b＜0．画出可行域如图中阴影部分所示，实数a，b满足0<a<1，－1<b<1，为长方形区域，且长方形的面积为2，阴影部分的面积为12×(1

＋14)×1＝58，所以所求概率为P＝582＝516．故填516．5点拨：解决此类问题的核心能力是转化与构造，就本例而言，即是将概率转化为N型曲线零点问题，从而由零点个数及极值情况构造不等式组，即随机试验对应几何图形．换句话说，解题的关键是找“两域”：基本事件对应的总体区域D和随

机事件对应的子区域d．在区间[0，1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为()A．14B．12C．23D．34解：要使该函数无零点，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－

2b)<0．因为a，b∈[0，1]，a＋2b>0，所以a－2b<0．作出0≤a≤1，0≤b≤1，a－2b＜0的可行域如图阴影部分所示，易得该函数无零点的概率P＝1－12×1×121×1＝34．故

选D．类型六随机模拟试写出一个随机模拟的方法，用来近似计算由y＝x2＋1与y＝8所围区域的面积．解：在平面直角坐标系内画出正方形，如图所示，用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．设事件A表示“

随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．S1用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少个点(x，y)满足y＞x2＋1(即点落在阴影部分)．首先置n＝0，m＝0．S2用变换rand()*8－4产生－4～4之间的均匀随机数

x，表示所投的点的横坐标；用变换rand()*8产生0～8之间的均匀随机数y，表示所投的点的纵坐标．S3判断点(x，y)是否落在阴影部分，即是否满足y＞x2＋1．如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1；如果不是，m的值保持不变．S4表示随机试验次数

的计数器n的值加1，即n＝n＋1．如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行；否则，程序结束．程序结束后，用事件A发生的频率mn作为事件A的概率的近似值．设阴影部分的面积为S，正方形的面积为64．由几何概型的概率公式得P(A)＝S

64．所以阴影部分面积的近似值为64mn．点拨：利用随机模拟的方法计算不规则图形的面积的一个常用思路是：在不规则图形外加一个规则图形，利用几何概型的概率公式求出落在所求面积的图形内任意一点的事件发生的概率；再利用随机模拟的方

法产生随机数，计算相关频率．当试验次数增加到一定程度，所得的频率就可以看成用几何概型的概率公式求出的概率，进而可求出所求的面积．用类似方法也可求出不规则几何体的体积．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我

们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x，y)；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；最后再根据统计数m估计π的值，假如统计结果是m＝34，那么可以估计π的值约为()A．22

7B．4715C．5116D．5317解：由题意得，0<x<1，0<y<1，则(x，y)所在区域面积为1．6又x，y，1能构成钝角三角形，则有x2＋y2<1且x＋y>1，满足条件的(x，y)所在区域面积为π4－12，则34120＝π4－121得π

＝4715．故选B．1．几何概型与古典概型的关系几何概型与古典概型都是等可能概型，区别在于前者的实验结果不是有限个．2．解决几何概型问题需注意的几点(1)能正确区分古典概型与几何概型例1：在区间[0，10]上任意取一个整数x，求x不大于3的概率．例2：在区间[0，10]上任意

取一个实数x，求x不大于3的概率．例1的基本事件总数为有限个11，不大于3的基本事件有4个，此为古典概型，故所求概率为411．例2的基本事件总数为无限个，属于几何概型，所求概率为310．(2)准确分清几何概

型中的测度定性例3：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM＜30°的概率．例4：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内过点A作射线交线段BC于点M，求∠CAM＜30°的概率．例3中的测度定性为线段长度

，当∠CAM0＝30°，CM0＝33AC＝33CB．满足条件的点M等可能的分布在线段CM0上，故所求概率等于CM0CB＝33．例4中的测度定性为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在

∠CAB内，∠CAB＝45°．所以所求概率等于∠CAM0∠CAB＝30°45°＝23．(3)科学设计变量，数形结合解决问题例5：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待时间不多于10分钟

的概率．例6：某人午觉醒来，发现表停了，求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率．例5是《必修3》P136的例题，此题中的变量(单变量)可看作是时间的长度，故所求概率为1060＝16．例6容易犯解例5形成的定势思维的错误，得到错

误答案560＝112．原因在于没有认清题中的变量，本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数，都可取[0，60]内的任意时刻，故所求概率需用到面积型几何概型，由|x－y|≤5结合线性规划知识可解，所求概率为602－552602＝23144．通过这两道例题我们也可以看出，单变量多用线型测度，多变量

需用面积(或体积)型测度．在画好几何图形后，利用数形结合思想解题．3．几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的

问题可考虑利用几何概型解决．1．(2017·福建龙岩一模)在区间[0，π]上随机取一个数x，则y＝sinx的值在0到12之间的概率为()A．16B．13C．12D．2π解：在区间[0，π]上，y＝sinx的值在0到12之间，则x∈0，π6∪5π6，π，区间长度为π3，所求概率为7

π3π－0＝13．故选B．2．如图，两个同心圆(O为圆心)，小圆的半径为2km，大圆的半径为4km，点P在圆环内无规则地自由运动，点P与点O的距离小于3km的概率为()A．112B．512C．13D．15解：小于3km的圆环面积为π(32－22)＝5π；

圆环总面积为π(42－22)＝12π，根据几何概型公式，所以点P与点O的距离小于3km的概率为P＝5π12π＝512．故选B．3．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A．13B．23C．14

D．34解：设点P到点O的距离不大于1的概率为P1，由几何概型，则P1＝V半球V圆柱＝2π3×13π×12×2＝13．故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－13＝23．故选B．4．(2017·湖南永州一模)如图所示的阴影部

分是由x轴，直线x＝1及曲线y＝ex－1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是()A．1eB．1e－1C．1－1eD．e－2e－1解：由几何概型可知，所求概率为01（ex－1）dx1×（e－1）＝e－2e－1．故

选D．5．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为()A．14B．12C．34D．78解：设任取两点所表示的数分别为x，y，则0≤x≤1，且0≤y≤1．由题意知|x－y|<12，所以所求

概率为P＝1－2×12×12×121＝34．故选C．6．(2017·河南郑州、平顶山、濮阳二模)在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f(x)＝ax2＋x＋14b有两个相异零点的概率是()A．12（e－1）B．14（e－1）C．18（e－1）D．116（e－1）解：

设事件A＝“使函数f(x)＝ax2＋x＋14b有两个相异零点”，方程ax2＋x＋14b＝0有两个相异实根，即Δ＝1－ab>0，即ab<1．所有的试验结果Ω＝{(a，b)|1≤a≤e，且0≤b≤2}，对应区域面积为2(e－1)；事件A＝{(a，

b)|ab<1，1≤a≤e，且0≤b≤2}，对应区域面积S＝1e1ada＝1，则事件A的概率P(A)＝12（e－1）．故选A．7．(2018·河南六市联考)在平面区域{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤4}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤x2的概率为__________

__．解：不等式组0≤x≤2，0≤y≤4表示的平面区域的面积为2×4＝8，设不等式组0≤x≤2，0≤y≤4，y≤x2表示的平面区域的面积8为S，则S＝02x2dx＝13x3|20＝83，因此所求的概率为838＝13．故填13．8．(

2017·湖北七校联考)有一长、宽分别为50m、30m的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出152m，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是____________．解：所

求概率为几何概型，测度为长度，如图AB＝CD＝50，BC＝DA＝30，设DC中点为S，OE＝152，OS＝15⇒ES＝OE2－OS2＝15⇒EF＝MN＝30，因此概率为EF＋MNAB＋BC＋CD＋DA＝30×2()50＋30

×2＝38，故填38．9．(2016·北京西城模拟改编)已知函数f(x)＝lnxx，导函数为f′(x)，在区间[2，3]上任取一点x0，求使得f′(x0)>0的概率．解：由已知得f′(x)＝1－lnxx2，x∈[2，3]，故f′(x)>0⇔1－lnx

x2>0，解得2≤x<e，故由几何概型可得所求事件的概率为e－23－2＝e－2．10．如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)．求以x，y，1为边长能构成锐角三角形的概率．解：首先由x＋y>1得

构成三角形的点P在△ABC内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cosα＝x2＋y2－122xy＞0，x2＋y2＞1，即点P在以原点为圆心，1为半径的圆外．所以点P在边AB，BC及圆弧AC围成的区域内．所以其概率为：12－π

4×1212＝1－π4．11．已知袋子中放有除标号外完全相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12．(1)求n的值；(2)

从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)依题意共有小球n＋

2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为nn＋2＝12，得n＝2．(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝812＝23．②易知(a－b)2≤4，故x2＋y2>4，(x

，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，由几何概型得所求概率为P＝4－14π·224＝1－π4．已知Ω＝（x，y）|y≥0，y≤4－x2，直线y＝mx＋2m和曲线y＝4－x2

有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若P(M)∈π－22π，1，则实数m的取值范围为()A．12，1B．0，33C

．33，1D．[0，1]9解：如图，由题意得m≥0，根据几何概型的意义，知P(M)＝S弓形S半圆＝S弓形2π，又P(M)∈π－22π，1，所以S弓形∈[π－2，2π]，直线y＝mx＋2m恒过点(－2，0)，当m＝0时，

S弓形＝2π，当m＝1时，S弓形＝14×π×22－12×2×2＝π－2，结合图象可知0≤m≤1．故选D．10