【文档说明】《12.12 勾股定理的逆定理》教学设计1-八年级上册数学北京版.doc，共(13)页，264.000 KB，由小喜鸽上传

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1教学基本信息课题勾股定理的逆定理是否属于地方课程或校本课程否学科数学学段：第三学段（7——9年级）年级八年级相关领域图形与几何教材书名：《义务教育教科书.数学》出版社：北京出版社出版日期：2014年7月指导思想与理论依据本节课在设计时依据《数学新课程标准》中提出的“数学教学要注重启发，引导学

生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握数学知识与技能，体会数学思想与方法，获得数学活动的经验.”所以本节课我采用体验探究的教学方式.建构主义学习理论指出“在数学教学中教师要引导学生主动去发现探

索和建构知识，要突出学习者的主体作用，使学生主动参与到学习活动中来.”本节课设计时以学生为中心，强调学生对“勾股定理的逆定理”的主动探索，通过动手操作、观察分析、合作交流、发现猜想，再通过画板演示，验证猜想，最后通过理论证明、归纳定理.在定理的形成过程中，体验数学思想方法.教学背景分析教学

内容：《勾股定理的逆定理》选自京教版《义务教育教科书.数学.八年级.上册》第12章第五部分《勾股定理》第2节的内容.《勾股定理的逆定理》是在前面学习了《全等三角形》、《直角三角形》、《勾股定理》之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，

是我们前面研究的继续和深化，侧重于从边的角度判定一个三角形为直角三角形.它是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔.

学生情况：初二学生的思维正从经验型向理论型发展，观察、记忆、理解、想象能力也随之发展.他们好动、表现欲强、追求独立与自主的意识急剧增强，愿意主动尝试，可塑性较大.在教学中，应该抓住学生的这些特点，采用体验探究的教学方式和小组合作的学习方式，创造条件让学生发表

见解，发挥学生学习的主动性.在知识方面，学生已经知道了直角三角形的定义、边的性质（勾股定理）、角的性质（互余），也会用定义判定一个三角形为直角三角形，比较熟练的掌握了全等三角形判定方法.通过前期的课堂表现、作业、测验

、谈话等方式，统计发现：2在《直角三角形知识梳理》中，班级32名学生中有27人能够说出直角三角形的判定方法，并且能用全等三角形的知识解决简单的证明边或角相等的问题；在《勾股定理的检测》中发现，有26名

的学生可以应用勾股定理的知识解决简单的求边长的问题，熟悉3、4、5，5、12、13，8、15、17等数字的规律，在思考题中，多数人采取分别做出三边的方法做出三角形，有5名学生采取先做直角，再截取边长分别为3、4的线段的方

法，构造直角三角形，利用勾股定理计算第三边为5，这说明学生可以做出本节课要摆的三角形，教学时要发挥这5名学生的优势，利用小组活动让更多的学生掌握不同的做法，为观察发现问题做准备.教学方式：体验探究式.《数学课程标准》指出“学生的数学学习应当是一个生动、活泼、主动、富有个性的过程，

认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流是学习数学的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证的过程.”为此我在教学采用体验探究的教学方式.在教师的引导下，让学生经过动

手、动脑、操作、观察、分析、合作、交流、猜想.然后，再让学生从实践和理论两个方面验证、证明定理.最后让学生归纳定理，使每个学生经历数学知识的形成过程，增进对数学定理的理解和学好数学的信心.在教学时，我力求做到“三让”即能让学生

想的尽量让学生想，能让学生说的尽量让学生说，能让学生做的尽量让学生做，使教师成为主导，学生成为主体.通过实验、观察、思考、分析、展示、交流、表达等活动，在掌握知识的同时，渗透数学思想.教学手段：为提高课堂教学的效率和质量，使学生更好地理解知识，在教学中，运用多媒体课件（几何画板）进行直观的

演示，符合数学论中的直观性和可接受性.技术准备：多媒体课件（几何画板课件），12根牙签，直角三角板，量角器.教学目标(内容框架)1.经历实验、观察、猜想、验证、证明、探索勾股定理的逆定理的过程，体验数形结合、从特殊到一般的数学思想.2.掌握勾股定理的

逆定理，对比发现该定理与勾股定理之间的互逆关系，理解三角形三边的等量关系与三角形形状（直角三角形）之间相互影响.3.在探索勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探索性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探索精神.问题框架(可选项)3教学流程示意环节二：创设情境环节三：新知探索环节

四：新知应用环节五：归纳总结环节六：分层作业环节一：复习引入复习引入如何判定一个三角形为直角三角形，你有什么方法？能否从三角形三边之间的等量关系判定一个三角形为直角三角形？你知道古埃及人究竟是怎么确定直角的吗？一个三角形的三边满足怎样的等量关

系时，这个三角形是直角三角形？判定一个三角形为直角三角形都有哪些方法？回顾“勾股定理的逆定理”的探索过程用到什么数学思想？你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由？如何证明？已知、求证、图形分别是什么？我们刚才证明的定理与勾股

定理有什么区别与联系，给这个定理命名？这两个定理的作用分别是什么？你能用牙签摆一个边长为3、4、5的三角形吗？观察不同方法得到的这两个三角形，你有什么发现？一个三角形的三边满足怎样的等量关系时，这个三角形才可能是直角三角形？当边长变为任意正数，且满足较短边的

平方和等于较长边的平方，三角形形状是否发生变化?如何证明你的猜想？已知、求证、图形分别是什么？4教学过程(文字描述)《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。”为能更多地向学生提供从事数学活动的机会，我将本节课的

教学过程设为以下六个环节：1.复习引入：通过回忆判断一个三角形为直角三角形的方法，引出课题.2.创设情境：教师由埃及金字塔塔基的问题引出古埃及人是如何确定直角的，激起学生已有知识与待研究知识的认识冲突，引起了学生的重视，从而激发学生探究的兴趣，提出问

题；3.新知探索：让学生通过动手操作（摆三角形）、观察、发现、证明边长为3、4、5的三角形的形状；再通过几何画板验证，当边长发生变化，但是三边之间的等量关系不变，三角形的形状就不变，猜想出一般性结论；最后通过理论证明归纳定理；通过与勾股定

理的对比、分析，加深对逆定理的理解.在这个过程中，“勾股定理的逆定理”的证明方法要求按照已知条件作一个直角三角形，学生是不容易想到，为了突破这个难点，我在上一环节安排学生按要求摆三角形，通过学生不同的摆法，发现三角形的全等关系，先证明特殊情

况，同时渗透一般情况下添加辅助线的方法；在证明一般情况时，学生自然地联想到了上面的方法，顺利做出辅助直角三角形，实现了从生动直观向抽象思维的转化，同时学生亲身体会了动手操作——观察——猜想——探索——证明的过程.学生自始至终感悟、体验、尝试知识的形成过程，体会探索的乐趣.这不仅使学生学到获取知

识的思想和方法，同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性，而且为学生今后学习其他几何定理奠定了基础.4.新知应用：通过古埃及人的结绳法解释金字塔之谜的问题，体会数学与实际密切联系，照应创设情境新知

探索新知应用归纳总结分层作业5开头金字塔之谜.5.归纳总结：学生回顾“勾股定理的逆定理”的形成过程，教师作必要的补充，尤其是注意总结思想方法，比如数形结合思想，从特殊到一般的思想.6.分层作业：通过分层作业检查学生的

掌握情况，学生依据课堂学习情况自主选择，让不同的学生都有收获.教学过程教学阶段教师活动学生活动设置意图技术应用时间安排复习引入【回忆】如何判定一个三角形为直角三角形，你有什么方法？预案：1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.判

定方法：有两个锐角互余的三角形是直角三角形.【总结】这两种方法都是从角的角度判定一个三角形为直角三角形的.【思考】能否从三角形三边之间的等量关系判定一个三角形为直角三角形？本节课我们继续学习“直角三角形的判定”.（板书课题）学生说一说

通过回忆判定三角形为直角三角形的方法引出课题.课件2′创设情【问题】大约在公元前2700年，当时的生产工具很落后，测量技术也不是很高明.可是，古埃及人却建成了世界文明的大大小小七十多座金字塔.这些金字塔的塔基都是

正方形，其中最大的一座塔基是边长为2300多米的正方形，然而，那时并没有直角三角板，更没有任何先进的测量仪器.这的确是个谜！你能猜出金字塔塔基的正方形的每个直角，古埃及人究竟是怎么确定的吗？要解开这个谜，还是让我

们先从一个小实验开始吧.学生思考.创设情境，使学生产生求知欲，激发学生的兴趣.课件6境PPT演示：古埃及金字塔，让学生猜测它的塔基可能的形状，教师演示剖开塔基的截面，显示它的形状，正方形的形状得到认同，从而引出本节

课探索问题：公元前2700年，古埃及人就已经知道在建筑中应用直角的知识，那么你知道古埃及人究竟是怎么确定直角的吗？3′新知探索（一）动手实验，发现猜想【工具】12根牙签（每根牙签的长为1）、直角三角板、量角器.【任务】用牙签摆一个边长为3、4、5的三角形.【步骤】说一说实验步骤预案一

：（1）先摆3根牙签（BC长为3）；（2）再顺次摆4根牙签（AC长为4）；（3）最后调整位置，摆5根牙签（AB长为5），使得可以组成三角形.预案二：（1）利用直角三角形的两条直角边，沿着水平与竖直方向，先摆两

根牙签；（2）贴着这两条直角边，分别摆3根牙签（B’C’长为3），摆4根牙签（B’C’长为4）;（3）最后联结端点B’与A’，则A’B’长为5.学生先独立思考尝试，再组内交流，组间派代表展示.通过学生动手操作，观察、分析、猜想，合作交流，人人参与活动，体验并感悟“图形”和“

数量”之间的相互联系.学案5′43354CAA'C'BB'43354CAA'C'BB'7追问：为什么第三条边长为5，如何得到的？预案：借助了直角三角板的直角，所以我们做的三角形为直角三角形，由勾股定理计算得第三条边长为5.【观察、思考】观察不同方法得到的这两个三角形，你有什么发现？启

发：（1）认识预案一中的三角形.这个三角形是什么形状？你是如何知道的？（观察、度量角度）你能否证明？（2）认识这两个三角形的关系.(全等)追问:如何证明？已知、求证、图形分别是什么？已知：在△ABC中，3BC，4AC，5AB，在Rt△ABC中，'90C，''3BC，'

'4AC.求证：△ABC≌△'''ABC.证明：在Rt△ABC中，'90C，∴222''''''BCACAB.∵''3BC，''4AC，∴''5AB（勾股定理）.在△ABC和△'''ABC中，∵''3''4''5BCBCACACABAB

，，，∴△ABC≌△'''ABC（SSS）.学生观察、思考、发现两个三角形的关系，师生一起写出已知、求证，画出图形，一生讲解证明.通过观察不同方法认识图形，发现图形之间的联系，从而证明特殊情况.7′43354CAA'C'BB'8【思考】既然我们已经

能够证明这两个三角形全等，那么你能证明△ABC为直角三角形吗？预案：学生利用全等三角形性质证明.教师继续板书.∴'90CC.【结论】边长为3、4、5的三角形为直角三角形.【猜想】当一个三角形的三条边满足怎样的等量关系，这

个三角形才可能是直角三角形.☆我的猜想：预案：在一个三角形中，如果两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形为直角三角形.（二）画板演示、验证猜想【几何画板演示】当边长变为任意正数，且满足较短边的平方和等于较长边的平方，学生观察三角形形状是否发生变化.（三）说理论证、证明猜想【思考

】已知：在△ABC中，BCa，ACb，ABc，且222abc.求证：90C.证明：作△'''ABC，使'90C，''BCBCa，''ACACb.∴222''abAB.∵222abc，∴222

''cABAB.学生思考、发现猜想.教师画板演示，学生观察.一生叙述已知、求证.教师启发学生分析辅助线作法，共同由实验的结论学生发现猜想，同时质疑边长改变但是关系不变，三角形的形状是否发生改变.几何画

板演示验证猜想，进一步加深学生的感性认识.培养学生学数学的严谨性和科学性，提高他们的逻辑推理能力，使学生活动的2′2′6′acbCAA'C'BB'9∴''ABAB.在△ABC和△'''ABC中，∵'''''

'BCBCACACABAB，，，∴△ABC≌△'''ABC（SSS）.∴'90CC.【思考】除了上述构造直角三角形的方法，还可以怎么构造？预案(一)：作△'''ABC，使'90C，''BCBC

a，''ABABc.用勾股定理证明''ACACb，再证明全等解决问题.预案(二)：作△'''ABC，使'90C，''ACACb，''ABABc.用勾股定理证明''BCBCa，再证明全等解决问题.【总

结】对比这三种证法都需要构造直角三角形，然后利用全等证明猜想.★（四）语言表述，归纳定理文字语言:在三角形中，如果两条较短边的平方和等于较短边的平方，那么这个三角形为直角三角形.符号语言：在△ABC中

,三边为a、b、c.∵222abc，∴90C.（△ABC为直角三角形）（五）对比发现，理解定理【对比】我们刚才证明的定理与勾股定理有什么区别与联系，给这个定理命名.作图、讨论、证明.学生代表展示.师生共同归纳定理.兴奋点有动手操作向理

性说理转变.通过不同做法的交流，训练学生解题的灵活性，培养学生发散思维.培养学生对于几何定理三种语言的表述能力.5′3′acbCAB10定理文字语言图形语言符号语言联系勾股定理定理【思考】这两个定理的作用分别是什么？勾股定理：已知直角三角形两条边的长度计算

第三边的长.勾股定理的逆定理：从三边的数量关系判断一个三角形为直角三角形.【总结】无论哪一个定理都说明三角形的形状与三边的等量关系相互影响，与边的长短无关.学生填表，交流，给定理命名.通过对比加深对于定理的

理解，防止混淆.5′新知应用答疑解惑：同学们经过前面的学习，你知道古埃及认识如何确定直角的吗？古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，用这种方法确定直角，你知道这是为什么吗？独立思考、一生解答.照应开

头解开金字塔塔基之谜，巩固定理.学案2′归纳总结1.通过本节课的学习，一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形是直角三角形？2.判定一个三角形为直角三角形都有哪些方法？3.回顾“勾股定理的逆定理”的探索过程用到什么数学思想？学生代

表总结培养学生归纳总结能力及解题后的反思能力.课件2′11分层作业基础题：书上第119页习题12-5基础第3题.综合题：已知：在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别为2、2、23、2，且AB⊥BC，求∠BAD的度数．提高题：已知：a＝m2－n2，b＝2mn

，c＝m2＋n2，(m、n为正整数，m＞n).试判定由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，为什么？1.2题必做，3题选作.通过分层作业，是不同的学生在数学学习上有不同的收获.学案1′ABCD12学习效果评价设计评价方式一、课堂评

价1.关注学生对“勾股定理的逆定理”的理解，能否画图、猜想、证明、探索、归纳结论，能否运用知识解决比较简单的问题.2.关注部分优秀生能否用多种作辅助线的方法证明定理.3.在探索知识的过程中关注学生在课堂上的表现，如能否在活动中积极

思考，是否愿意展示交流自己的想法，与人合作的意识与能力等.4.对学生的表现及时进行鼓励.二、课后评价1.以作业的形式反馈学生对于知识的掌握情况.2.以谈话的方法调查学生对本节内容的学习情况，改进教师的教学.评价量规课堂表现评价表

初二（4）班学生数学课堂表现评价表时间：项目发言独立解决同伴帮助展示交流小组疑问整体评价组长组员以组为单位评价小组整体或是每个成员的表现，记分评比.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)《新课程标准》要求课堂教学要充分体现学生的主体作用，因此，在本节课的教学设计中，让

学生经历“勾股定理的逆定理”的形成过程，通过创设金字塔的情境，引发学生思考，带着疑问开始探索；随后通过实验、观察、发现、证明猜想，在此环节渗透三角形的多种产生方法，为后续添加辅助线证明定理做准备；再通过几何画

板演示观察、发现三角形形状的不变性，再次验证猜想的合理性；最后通过理论证明，归纳、总结定理，用三种语言表述定理，通过对比加深理解.在这个过程中，学生活动充分，较好的体会到定理的探索过程，培养学生的探索精神.本节课在教学方法的设计上，把重点放在了逐步展示知识形成过程上，突出了四个注重：131.注

重学生活动的设计，关注动手操作，形成初步的感性认识；2.注重定理的理论证明，培养学生严谨、科学的态度，形成理性认识；3.注重解题过程的多样性，发展学生发散思维，提高解题的灵活性.4.注重在知识形成的过程中渗透数学思想方法.