【文档说明】2023年中考数学考前强化复习《二次函数与相似三角形综合题》精选练习(含答案) .doc，共(24)页，509.463 KB，由MTyang资料小铺上传

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2023年中考数学考前强化复习《二次函数与相似三角形综合题》精选练习1.抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(﹣1，0)，B(32，0)，且与y轴相交于点C.(1)求这条抛物线的表达式；(2)求∠A

CB的度数；(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标.2.抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(0，1)，与它的对称轴直线x＝1交于点B.(1)直

接写出抛物线L的解析式；(2)如图1，过定点的直线y＝kx﹣k＋4(k＜0)与抛物线L交于点M、N.若△BMN的面积等于1，求k的值；(3)如图2，将抛物线L向上平移m(m＞0)个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过

点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D.F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点.若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标.3.如图1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交

于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣2)，顶点为D，对称轴交x轴于点E.(1)求该二次函数的解析式；(2)设M为该抛物线对称轴左侧上的一点，过点M作直线MN∥x轴，交该抛物线于另一点N.是否存在点M，使四边形DMEN是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不

存在，请说明理由；(3)连接CE(如图2)，设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q.连接PE，请求出当△PQE与△COE相似时点P的坐标.4.如图：已知二次函数y＝x2＋(1﹣m)x﹣

m(其中0＜m＜1)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线L设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA＝PC.(1)∠ABC的度数为°；(2)求点P坐标(用含m的代数式表示)；(3)在x轴上是否存在点Q(与

原点O不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小，如果存在，求满足条件的Q的坐标及对应的二次函数解析式，并求出PQ的最小值；如果不存在，请说明理由.5.如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此

三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与

△COD相似时点P的坐标.6.如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)设点M是线段AC(不包括A、C两点)上一点，过点M作MP∥y轴，交

抛物线于点P，求线段PM的长的最大值，并写出此时点M的坐标；(3)过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，设点Q是CE上方的抛物线上一点，连接CQ，过点Q作QF∥y轴，交CG于点F，若以Q、C、F为顶点的三角形和△BOC相似，求点Q的坐标．7

.抛物线y=ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y=35x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直

线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若

不存在，说明理由．8.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3).(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形

ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．(3)直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在

，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．9.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，tan∠ACB=2，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点

F，抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F．(1)求抛物线所对应函数的表达式；(2)在边DE上是否存在一点M，使得以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，若存在，求出经过M点的反比例函数y=kx的表达式，若不存在，请说明理由；(3)在x轴的上方是否存在点P，Q，使以O，F，P，

Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不能存在，请说明理由；(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得HA﹣HC的值最大，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴

、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=13，A(3，0)，D(-1，0)，E(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以

D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式

，并指出t的取值范围.参考答案1.解：(1)当x＝0，y＝3，∴C(0，3).设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x﹣32).将C(0，3)代入得：﹣32a＝3，解得：a＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋x＋3.(2)过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥O

A，垂足为N.∵OC＝3，AO＝1，∴tan∠CAO＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.∵AC⊥BM，∴BM的一次项系数为﹣13.设BM的解析式为y＝﹣13x＋b，将点B的坐标代入得：﹣13×32＋b＝0，解得b＝12.∴BM的解析式为y＝﹣13x

＋12.将y＝3x＋3与y＝﹣13x＋12联立解得：x＝﹣34，y＝34.∴MC＝BM＝3410.∴△MCB为等腰直角三角形.∴∠ACB＝45°.(3)如图2所示：延长CD，交x轴与点F.∵∠ACB＝45°，点D是第一象限抛物线上一点，∴∠ECD＞45°.又∵

△DCE与△AOC相似，∠AOC＝∠DEC＝90°，∴∠CAO＝∠ECD.∴CF＝AF.设点F的坐标为(a，0)，则(a＋1)2＝32＋a2，解得a＝4.∴F(4，0).设CF的解析式为y＝kx＋3，将F(4，0)代入得：4k＋3＝0

，解得：k＝﹣34.∴CF的解析式为y＝﹣34x＋3.将y＝﹣34x＋3与y＝﹣2x2＋x＋3联立：解得：x＝0(舍去)或x＝78.将x＝78代入y＝﹣34x＋3得：y＝.∴D(，).2.解：(1)由题意知，解得：b＝2、c＝1，∴抛

物线L的解析式为y＝﹣x2＋2x＋1；(2)如图，∵y＝kx﹣k＋4＝k(x﹣1)＋4，∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点G坐标为(1，4)，∵y＝﹣x2＋2x＋1＝﹣(x﹣1)2＋2，∴点B(1，2)，则BG＝2，∵S△BMN＝1，即S△BNG﹣S△BMG＝12BG•xN﹣1

2BG•xM＝1，∴xN﹣xM＝1，由得x2＋(k﹣2)x﹣k＋3＝0，解得：x＝＝，则xN＝、xM＝，由xN﹣xM＝1得＝1，∴k＝±3，∵k＜0，∴k＝﹣3；(3)如图2，设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2

＋2x＋1＋m，∴C(0，1＋m)、D(2，1＋m)、F(1，0)，设P(0，t)，①当△PCD∽△FOP时，＝，∴＝，∴t2﹣(1＋m)t＋2＝0；②当△PCD∽△POF时，＝，∴＝，∴t＝13(m＋1)；(Ⅰ)当方程①有两个相等实数根时，△＝(1＋m)2﹣8＝0，解得：m＝22

﹣1(负值舍去)，此时方程①有两个相等实数根t1＝t2＝2，方程②有一个实数根t＝223，∴m＝22﹣1，此时点P的坐标为(0，2)和(0，223)；(Ⅱ)当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：19(m＋1)

2﹣13(m＋1)2＋2＝0，解得：m＝2(负值舍去)，此时，方程①有两个不相等的实数根t1＝1、t2＝2，方程②有一个实数根t＝1，∴m＝2，此时点P的坐标为(0，1)和(0，2)；综上，当m＝22﹣1时，点P的坐标为(0，2)和(0，223

)；当m＝2时，点P的坐标为(0，1)和(0，2).3.解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x﹣3)，将点C(0，﹣2)代入，得：﹣3a＝﹣2，解得a＝23，则抛物线解析式为y＝23(x＋1)(x﹣3)＝23x2﹣43x﹣2；(2)∵y＝23x2﹣43x﹣2＝23(x﹣

1)2﹣83，∴顶点D(1，﹣83)，即DE＝83，∵四边形DMEN是菱形，∴点M的纵坐标为﹣43，则23x2﹣43x﹣2＝﹣43，得x＝1±3，∵M为该抛物线对称轴左侧上的一点，∴x＜1，则x＝1﹣3，∴点M坐标为(1

﹣3，﹣43)；(3)∵C(0，﹣2)，E(1，0)，∴OC＝2，OE＝1，如图，设P(m，23m2﹣43m﹣2)(m＞1)，则PQ＝|23m2﹣43m﹣2|，EQ＝m﹣1，①若△COE∽△PQE，，解得m＝0(舍)或m＝5或m＝2或m＝﹣3(舍)，此时

点P坐标为(5，8)或(2，﹣2)；②若△COE∽△EQP，4.解：(1)令x＝0，则y＝﹣m，C点坐标为：(0，﹣m)，令y＝0，则x2＋(1﹣m)x﹣m＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝m，∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为：(m，0

)，∴OB＝OC＝m，∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°；故答案为：45°；(2)如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，由题意得，抛物线的对称轴为：x＝，设点P坐标为：(，n)，∵PA

＝PC，∴PA2＝PC2，即AE2＋PE2＝CD2＋PD2，∴(＋1)2＋n2＝(n＋m)2＋()2，解得：n＝，∴P点的坐标为：(，)；(3)存在点Q满足题意，∵P点的坐标为：(，)，∴PA2＋PC2＝AE2＋PE2

＋CD2＋PD2，＝(＋1)2＋()2＋(＋m)2＋()2＝1＋m2，∵AC2＝1＋m2，∴PA2＋PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴△PAC是等腰直角三角形，∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形，∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：(﹣m，

0)若PQ与x轴垂直，则＝﹣m，解得：m＝13，PQ＝13，若PQ与x轴不垂直，则PQ2＝PE2＋EQ2＝()2＋(＋m)2＝52m2﹣2m＋12＝52(m﹣25)2＋110，∵0＜m＜1，∴当m＝25时，PQ2取

得最小值110，PQ取得最小值1010，∵1010<13，∴当m＝25，即Q点的坐标为：(﹣25，0)时，PQ的长度最小.5.解：(1)在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO＝3，∴OB＝3OA＝3

∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1.∴A，B，C的坐标分别为(1，0)，(0，3)，(﹣3，0)，代入解析式为，解得a＝-1,b＝-2,c＝3

.抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3，∴对称轴为l＝﹣1，∴E点坐标为(﹣1，0)，如图，①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，

P(﹣1，4)；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，△EFC∽△EMP，∴MP＝3ME，∵点P的横坐标为t，∴P(t，﹣t2﹣2t＋3)，∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t＋3，ME＝﹣1﹣t，∴﹣t2﹣

2t＋3＝3(﹣1﹣t)，解得t1＝﹣2，t2＝3，(与P在二象限，横坐标小于0矛盾，舍去)，当t＝﹣2时，y＝﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)＋3＝3∴P(﹣2，3)，∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为(﹣1，4)或(﹣2，3).6.解：(1)将A、C点坐标代入函数解析式

，得，解得，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；(2)直线AC：y=﹣x+3，设P(m，﹣m2+2m+3)，M(m，﹣m+3)，其中0＜m＜3，PM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣(m﹣32)2+94，当m=32时，PM有最大

值94，此时M(32，32)；(3)设Q(t，﹣t2+2t+3)，则F(t，3)，其中0＜t＜2，∴QT=﹣t2+2t，CF=t，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1，x=3，B(﹣1，0)，当x=0时，y=3，即C(0，3)，∴OB=1，OC=3，∵∠BOC=∠QFC=

90°，当△CFQ∽△BOC时，=，∴=13，∴t=﹣1(舍去)．当△QFC∽△BOC时，=，∴=13，∴t=53，由此可知，当以Q、C、F为顶点的三角形和△BOC相似，点Q的坐标为(53，359)．7.解：(1)∵抛

物线y=ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．∴a＋b＋3＝025a＋5b＋3＝0，解得a＝35b＝－185，∴该抛物线对应的函数解析式为y=35x2－185x＋3；(2)∵点P是抛物线上的动点，且位于x轴下方，∴可设点P(t，35t2－185t

＋3)(1＜t＜5)，∵PM∥y轴，分别与x轴和直线CD相交于点M、N，∴M(t，0)，N(t，35t＋3)．①∵点C，D是直线与抛物线的交点，∴令35x2－185x＋3=35x＋3，解得x1=0，x2=7.当x=0时，y=35x＋3=3，当x=7时，y=35x＋

3=365.∴点C(0，3)，D(7，365)．如图，分别过点C和点D作直线PN的垂线，垂足分别为E，F，则CE=t，DF=7－t，SΔPCD=SΔPCN＋SΔPDN=12PN·CE＋12PN·DF=12PN(CE＋DF)=72PN，

当PN最大时，△PCD的面积最大．∵PN=35t＋3－(35t2－185t＋3)=－35(t－72)2＋14720，∴当t=72时，PN取最大值为14720，此时△PCD的面积最大，最大值为12×7×14720=102940；②存在.∵∠CQN=∠PMB=9

0°，∴当NQCQ=PMBM或NQCQ=BMPM时，△CNQ与△PBM相似．∵CQ⊥PM，垂足为点Q，∴Q(t，3)．且C(0，3)，N(t，35t＋3)，∴CQ=t，NQ=(35t＋3)－3=35t.∴NQCQ=35.∵P(t，35t2－185t

＋3)，M(t，0)，B(5，0)．∴BM=5－t，PM=－35t2＋185t－3.情况1：当NQCQ=PMBM时，PM=35BM，即－35t2＋185t－3=35(5－t)，解得t1=2，t2=5(舍去)，此时，P(2，－95)；情况2：当NQCQ=BMPM时

，BM=35PM，即5－t=35(－35t2＋185t－3)，解得t1=349，t2=5(舍去)．此时，P(349，－5527)．综上所述，存在点P(2，－95)或者P(349，－5527)，使得△CNQ与△PBM相似．8.解：(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物

线解析式为y=x2﹣2x﹣3；(2)如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为(﹣1，0)，∴AB=3﹣(﹣1)=4，且OC=3，∴S△ABC=12AB×OC=12×4×

3=6，∵B(3，0)，C(0，﹣3)，∴直线BC解析式为y=x﹣3，设P点坐标为(x，x2﹣2x﹣3)，则M点坐标为(x，x﹣3)，∵P点在第四限，∴PM=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x，∴S△PBC=12

PM×OH+12PM×HB=12PM×(OH+HB)=12PM×OB=32PM，∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，∵PM=﹣x2+3x=﹣(x﹣32)2+94，∴当x=32时，PMmax=94，则S△PBC=32×94=，此时P点坐标

为(32，﹣154)，S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+338=938，即当P点坐标为(32，﹣154)时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为938；(3)如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP=∠GNC+∠GC

N，当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中∴Rt△AON≌Rt△NOB(ASA)，∴ON=OA=1，∴N点坐标为(0，﹣1)，设直线m解析式为y=kx+d，把B、

N两点坐标代入可得，解得，∴直线m解析式为y=13x﹣1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=13x﹣1．9.解：(1)∵矩形OABC，∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°，∵tan∠ACB=2，∴AB：BC=2∴OC：OA=2，则OC=2，∵将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋

转90°后得到矩形ODEF，∴OF=2，则有A(﹣1，0)C(0，2)F(2，0)∵抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F，把点A、C、F坐标代入得a-b+c=0,4a+2b+c=0,c=2∴解得a=-1,b=1,c=2∴函数表达式为y=﹣x2+x

+2，(2)存在，当∠DOM=∠DEO时，△DOM∽△DEO∴此时有DM：DO=DO：DE.∴DM2=0.5,∴点M坐标为(0.5，1)，设经过点M的反比例函数表达式为y=kx，把点M代入解得k=0.5∴经过M点的反比例函数的表达式为y=0.5x-1，

(3)存在符合条件的点P，Q．∵S矩形ABCD=2×1=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的面积为4，∵OF=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的高为2，∵点P在抛物线上，设点P坐标为(m，2)，∴﹣m2+m+2=2，解得m1=0，m

2=1，∴点P坐标为P1(0，2)，P2(1，2)∵以O，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴PQ∥OF，PQ=OF=2．∴当点P坐标为P1(0，1)时，点Q的坐标分别为Q1(2，2)，Q2(﹣2，2

)；当点P坐标为P2(1，2)时，点Q的坐标分别为Q3(3，2)，Q4(﹣1，2)；(4)若使得HA﹣HC的值最大，则此时点A、C、H应在同一直线上，设直线AC的函数解析式为y=kx+b，把点A(﹣1，0)，点C(0，2)代入得-k+b=0,b=2解得k=2,b=2∴直线AC的函数解析式为y=2x

+2，∵抛物线函数表达式为y=﹣x2+x+2，∴对称轴为x=0.5∴把x=0.5代入y=2x+2解得y=3∴点H的坐标为(0.5，3)10.(1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x－3)(x＋1)．将E(0，3)代入上式，解得：a=－1．∴y=－x2＋2x＋3．则点B(1，

4)．(2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M(0，4)．在Rt△AOE中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°，AE=32．在Rt△EMB中，EM=OM－OE=1=BM，∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=2．∴∠BEA=180°-∠1-∠MEB=90°．∴AB是△AB

E外接圆的直径．在Rt△ABE中，tan∠BAE=13=tan∠CBE，∴∠BAE=∠CBE．在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3=90°，∴∠CBE＋∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．∴CB是△ABE外接圆的切线

(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－13)．(4)解：设直线AB的解析式为y=kx＋b．将A(3，0)，B(1，4)代入，得解得∴y=－2x＋6．过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=1.5，

∴F(1.5，3)．情况一：如图7，当0＜t≤1.5时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．由△AHD∽△FHM，得AD:FM=HK:HL．即．解得HK=2t．∴S阴=S△MND－S△GNA－S△HAD=1

2×3×3－12(3－t)2－12t·2t=－32t2＋3t．情况二：如图，当1.5＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得AQ:FP=IQ:IP．即．解得IQ=2(3－t)．∴S阴=S△IQA－S△VQA=12×(3－t)×2(3

－t)－12(3－t)2=12(3－t)2=12t2－3t＋4.5．综上所述：s=