【文档说明】《1.1 锐角三角函数》教学设计1-九年级下册数学浙教版.doc，共(9)页，245.000 KB，由小喜鸽上传

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第1页共9页锐角三角函数（第一课时）一．学情分析：学生已有的知识水平：直角三角形三边、三内角关系，函数相关知识，相似三角形的相关知识，在直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，等腰直角三角形三边关系，含60°角直角三角形三边关系学生已

有的能力水平：初三学生已经在前面的学习中具备了一定程度的探究、合作的能力学生已有的情感水平：在之前有关直角三角形以及函数知识、相似三角形的研究过程中，学生已经具备了对数学源于生活、高于生活的一定程度的认识二．教材分析：地位与作用：本节课是浙教版九下第一章的第一节第一课时，尽管是

一个开篇，但是事实上却是九上最后一章《相似三角形》的一个延续性学习；同时，本章研究的是《解直角三角形》，而锐角三角函数内容又恰好是搭起边、角桥梁关系的最重要的环节，因此本节课在整个知识体系中起着承上启下的作用。此外，本节课的课题名字不是《正弦、余弦和正切》，而是《锐角三角

函数》，说明在课本中，本节课的目的旨在建立函数关系，而不仅仅是简单的概念的理解和相关的计算，同时也能够在具体问题中初步建立直角三角形边角关系。教学重点：锐角的正弦、余弦、正切和锐角三角函数的概念教学难点：锐角三角函数的概念区别于以往的函数定义三．教学目标：知识目标：1.经历锐角的正弦、

余弦和正切的探索过程，形成正弦、余弦、正切、三角函数的定义2.经历探索直角三角形的边角关系的过程，建立直角三角形的边角关系3.经历运用正弦、余弦、正切以及直角三角形的边角关系的过程，初步学会求某一锐角的三角函数值能力目标：1.经历三个知识目标的探索过程，发展学生的

形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。情感目标：1.使学生体验数学活动中充满着探索与创造，并使之能积极参与数学学习活动四．教学策略：本节课采取从生活到数学（提出问题）——从实际到抽象（动手实践）—

—从旧识到新知（明确定义）——从定义到实践（例题展示）——从模仿到归纳（练习拓展）——从课堂到经验（课后反思）这样的流程展开研究型学习；在整个课堂中倡导以学生实践为主，以提升学生已有知识体系为根本的课堂氛围。重在学生的知识建构、过程探索，让学生明白为什么要活动，

充分体会活动的必要性。让学生在与原有函数概念的类比中体会函数是用来解决边角关系的，以及帮助学生理解什么是边角关系、为什么要建立边角关系。五．教学过程：一．提出问题，明确目标同学们有没有坐在汽车里上过盘山公路？在坐车往上走的时候你有没有思考过：我沿着盘山公路走了

多远？我到底升高了多少？今天这节课，就让我们走进盘山公路，体会数学的魅力吧！让我们一起来分析一下刚才的问题，我们想要了解的是在盘山公路上自己升高了的高度，但是在实际生活中这个高度可以测量吗？既然这个问题无法直接得到结果，我们只好寻求其它的

办法了。由于盘山公路路面比较复杂，不利于我们的基础研究，因此，我们从简单一点的坡面入手。这是贯穿杭州南北城的中河高架桥的一段引桥，第2页共9页分析：1.为了描述问题方便，我们把这个实际问题具体刻画成这样的一个数学模型，在这里你找到了什么图形呢？【直角

三角形】2.在我们现在的知识体系中，直角三角形三边有等量关系吗？三内角呢？【勾股定理、锐角互余】3.那么边和角之间有没有关系呢？这就是我们今天这节课的主要目的建立直角三角形内的边角关系。能为后面的课提供一个工具，用以解决和直角三角形有关的实际问题。4.首先明确，在现实中一个坡面

的坡角是可以用特定工具测量的5.为了便于我们的进一步研究，将图片简化成一个如图1（1）的锐角，当汽车行驶到B点时，它升高的高度就是图上的BC（如图1（2））图1（1）图1（2）2(2)『设计意图：从实际生活中的现象引入，从实际问题考虑当直角三角形有两边不可测而角度

可测时，要求第三边长度，当条件紧缺的时候，我们只能去探究角与边之间的关系，让学生体会到原有知识已经不足以解决新问题，必须想办法找到新的途径来研究。本引入的目的旨在让学生深刻体会到边角关系建立的必须，从而激发学生探

究边角关系的真正热情。并在最后点明本节课要研究的内容以及本节课与后面课程的关联——提供计算工具』二．动手实践，寻找规律1.由经验得到：（1）先从特殊值入手。当这个角度为30°时，BC和AB之间有怎样的关系？【

30°角所对的直角边是斜边的一半，得到ABBC21】如果将它写成比例的形式，则有21ABBC。当汽车再往前行驶到点B’的时候，这个比值还成立吗？【依然成立：21'''ABCB】再往上行驶呢？【比值依然不变

】也就是说当角度保持30°时，经验告诉我们21ABBC一直成立。当∠A=30°时，21ABBC（2）当角度改变成45°时，根据你的经验比值ABBC还是21吗？这时比值变为多少？【22ABBC】第3页

共9页'''ABCB呢？【22】ABBC与'''ABCB相等吗？【相等】当∠A=45°时，22ABBC（3）当角度改变成60°时呢？这时比值ABBC是多少？【23ABBC】'''ABCB呢？【23】ABBC与'''ABCB相等吗

？【相等】当∠A=60°时，23ABBC由以上结果我们可以得到，当角度不变时，比值不变；当角度改变时，比值也在改变。这三个角度都是我们非常熟悉的角度，我们都能凭经验得到，但如果我把角度再进一步改变成15°或者50°呢？这时你还能凭经验得到比值结果吗？这时

我们需要借助数学实验。2(4)2.由实验得到：明确任务：利用实验的方法找到15°和50°时ABBC的比值，需要在角的一边上取一点B，过点B作BC⊥AC，测量出BC和AB的长度，求出它们的比值。请你在2分钟限时里在工作单上完成实验（

15°、50°角的比值探究、结合前三个角度寻找变化的规律），在这段时间里，你可以与你周围的同学进行自由讨论，2分钟后请你来谈一谈你的收获。【音乐声响起开始，音乐声结束停止】【当山坡与水平面的夹角为45°，2221ABBC；当山坡与水平面

的夹角为60°，23ABBC；当山坡与水平面的夹角为75°时，必须经过测量，估计得到比值约为0.97，15°时约为0.26；当角度不变时比值不变；当角度改变时比值改变——角度不变比值不变，角度改变比值改变】4(8)3.刚才的结论只

是我们的猜想，接下来让我们试着来验证一下4.由推理得到：当角度变为α时，边是无法测量的，我们可以用什么知识来验证比值ABBC与'''ABCB相等？【相似三角形对应边成比例】经过推理，我们可以肯定的说：当角度不变时，

比值不变；第4页共9页5.由动态图形得到：当我们把AB边长固定时，（几何画板演示）随着角度的增大，此时我们能够更清晰的看到比值也在改变，于是我们验证了当角度改变时比值也随之改变。2(10)『设计意图：合作学习分四个层次进行，第一个层次是停留在原有知识体

系中即“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”以及含45°、60°角的直角三角形边长关系；当角度变成15°、50°时，让学生再一次体会到自己原有知识的匮乏，只能经过测量来发现问题；当角度再一

次改变时，直接的边角关系已更不明显了，此时，学生就不得不思考是否该换思路——改成使用相似的知识解决问题；第四个层次是为高中的单位圆中的研究打下伏笔，从具体的比值变化中，让学生体会比值随着角度的改变而改变』三．新知探究，明确定义★由前面

的两方面的研究，我们知道了比值ABBC随着α的改变而改变，这一说法我们在学习哪个知识点的时候接触过？【函数】因此，我们称比值ABBC是锐角α的函数。☆和以往的函数一样，我们给它起一个名字：比值ABBC叫做∠α的正弦，记做sinα，即ABBC

sin，注意：在这里sin是一个符号，在sin和α中间没有任何符号连接，不能写成sin·α的形式，并且此处∠α的“∠”一般省略不写。☆刚才的研究中，同学们已经找到了许多的比值，我们回过头去看看，其实就是在找什么值呢？【30°的正弦、45°

的正弦、60°的正弦、15°的正弦、50°的正弦】那么我们就把30°的正弦记做sin30°，请你在工作单中具体写出这些值，（精确到0.01），并从中找到规律【26.015sin，5.02130si

n，71.02245sin，87.02360sin，97.075sin，当角度增大时正弦也在增大，但是不会超过1】2(12)刚才我们发现了比值ABBC是锐角α的函数，而在直角三角形中，线段两两组合能够找到3种组合、6种不同的比值，它

们也是随着锐角α的改变而改变（几何画板演示）☆比值ABAC叫做∠α的余弦，记做cosα，即ABACcos☆比值ACBC叫做∠α的正切，记做tanα，即ACBCtan由于另外的三种比值只是这三个比

值的倒数，它们将在以后的学习中陆续接触到，在初中阶段我们只研究这三个比值。锐角α的正弦、余弦、正切统称为∠α的三角函数——这是一类新的函数，我们前面已经研究过两大类函数，一次函数、二次函数它们都有解析式，今天我们研究的三角函数与它们不同，它刻画的是角度．．第5页共9

页与比值之间的关系．．．．．．．．，这种对应关系无法用解析式来表示，因此我们用sin、cos、tan这些符号来表示。如果要找到纯粹的函数关系式，其实可以将它写成Aysin的形式，只是这当中的函数值的计算方法需要借助一对比值

即ABBC，我们将在高中阶段进一步研究这种形式的三角函数。3(15)『设计意图：课本中是直接给出三种比值的函数名称，但是在实际问题中，三者的地位并不是一致的，更多时候是根据实际问题的不同，选择的切入点不同，如果是将三个函数一同引入，则

会让学生有一种知识容量过大的感觉。因此在这个新知得到的过程中，设计时是将问题先集中在其中一个三角函数中，从引例中一气呵成，自然得到了正弦的定义。在解释“比值ABBC是锐角α的函数”这句话时，第一次回顾了原有的函数知识，旨在让学生明确三角函数也是一种函数，它的定义与函数定义不相违背』在刚才的

研究中，一直都只是围绕着一个直角三角形ABC在做文章，也就是说在这个图形中，边上的两条射线是多余的，那么我们就把这多余部分擦去，重点将目光锁定在这个直角三角形中。△前面我们得到了三个三角函数：ABBCsin，ABACcos，AC

BCtan，但是当我们把字母改变以后，比例式就会跟着改变了，你能不能用更一般的方法来表示呢？（提示：找一找BC与∠A的关系，AB是什么边？）于是我们将三边重新命名：BC叫做∠A的对边，AC叫做∠A的邻边，AB仍然是斜边，那么sinA可以表示为：【斜边的

对边AAsin】；△∠A的其它三角函数呢？【斜边的邻边AAcos，的邻边的对边AAAtan】在这三个公式中，我们把直角三角形的三条边和一个内角联系在了一起，于是前面我们想要得到的目标——在直角三角形中建立边角关系，就已经建立起来了。当然了，我们建立的这层关系并不只是一种简

单的等量关系，事实上是建立了∠A的函数和边之间的关系。如果我们想要建立的是∠B与边之间的关系，可以吗？在前面的关系中，BC是∠A的对边，那它现在是不是∠B的对边呢？如果不是，∠B的对边又是谁呢？∠B的邻边呢？请你利用1分钟时间，熟悉一下这三个三角函数在直角三角形中的

表示方法，不看黑板在自己工作单中写出∠B的三角函数表达式【斜边的对边BBsin，斜边的邻边BBcos，的邻边的对边BBBtan】我们已经有了很多的知识装备了，接下来就让我们一起用它们来解决问题吧！3(18)『设计意图：前面的三角函数的定义是落实在函数层面，但是在我们的计

算、应用过程中更多的是将三角函数落实在直角三角形中，因此，将锐角放回到直角三角形内部有助于学生今后在计算三角函数中的图形建模』四．练习拓展，层层递进▲例1.在Rt⊿ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3，求锐角∠A的各三角函数值（先板书、再列表——口算

训练）（课本P·5·例1.）第6页共9页分析：这是课本上的一个例题，课本中是给出图形的，现在考考聪明的同学们不看书，你知道课本上给的是什么图吗？【自己构图】要求三角函数值在公式中涉及到三条边，现在只有两条边，怎么办？【勾股定理】（构图）解：∵∠C=Rt∠，AB=5，BC=3∴43

52222BCABAC∴53sinABBCA，54cosABACA，43tanACBCA△接着请同学帮老师一个忙，请你填完这张表格，求出锐角∠B的各三角函数值（口答填表）正弦余弦正切∠A53si

nA54cosA43tanA∠B54sinB53cosB34tanB△观察上表，你能得到什么实用的结论吗？【当∠A＋∠B＝90°时，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA×tanB＝1】2(20)▲变

：在Rt⊿ABC中，∠C=Rt∠，AC=8，BC=6，求锐角∠A的各三角函数值（工作单上独立完成，学生作品展示）（书P6作业题2）★归纳求三角函数值的一般步骤：1.构图2.找到对、邻、斜（隐含勾股定理）3.利用边角关系求值4(24)△由以上变式，你得到了什么结

论？【边长3，4，56，8，10；尽管边在改变但是三角函数值不改变】△函数值不改变的根本原因是这三个三角形是什么关系？【相似】也就是说，只要直角三角形的形状确定，那么三角函数值就能确定了。△如果我们还想把刚才的问题顺着现有

思路继续变下去，你能找到一般变式吗？【K倍】▲变变：在Rt⊿ABC中，∠C=Rt∠，53sinA，求锐角∠A的余弦（工作单上独立完成，学生作品展示）分析：没有图形，第一步先构图，但是在构图的过程中发现边不确定，无法画出确定的三角形，怎

么办？【设x】4(28)▲变变变：在Rt⊿ABC中，∠C=Rt∠，53sinA，CD⊥AB，求∠DCB的余弦（工作单上独立完成，学生上台讲解）4(32)五．回归情景，解决问题前面我们做了一系列的研究和分析，得到了一种新函数，现在让我们一起回到前面的问题，从比较第7页共9页简

单的高架桥引桥问题开始：已知一辆汽车从高架桥引桥的入口到高架桥路面总共行驶了大约30m的距离，若已知该段引桥的坡角约为15°，请问高架桥的路面离地大约多少米？（1）分析，已知斜边是30m，要想求15°的对边，这与哪个三角函数挂钩？【s

in15°】（2）按照我们测量的结果，我们知道sin15°大约是0.26，请问高架桥的路面离地大约多少米？【7.8m】（3）当然了，在实际问题中这个估计值可不是开玩笑随便估计的，差之毫厘失之千里，要想得到相对更精确一点的结果，我们必须寻求更加强有力的数学工具，这就是我们在后面的课中需要来研究的内容

。解决了高架桥上的高度问题，我们的大难题终于来了，盘山公路怎么解决呢？（拿出模型），这时的路面是紧贴在山边的，比起笔直的高架桥看上去要更复杂了。（不小心弄坏了模型）。发现了什么图形？【直角三角形】原来盘山公路可以这样来看，就好比是一个厚厚的

直角三角形缠绕在山边上，那么这时哪条边可以得到？【斜边】这个坡角是可测的。3(35)六．归纳小结，反思提高今天这节课我们研究了锐角三角函数，也认识了三位新朋友，从一些具体的例子中知道了他们的一些计算方法，在今后的学习中，我们

还将见识他们更多的能力呢！不过在研究更复杂的内容之前，我们必须非常熟练的掌握和他们有关的基础概念和计算。接下来就让我们一起来回顾反思一下▲先从课题说起：1.在这些词语中，“函数”是所有修饰的核心（1）在这个标题中，锐角两个字揭示了自变量的取值范围【0<α<90°】（2）结合图形以及公式，看看

函数值的取值范围是怎样的？【锐角的三角函数值都是正实数，因为直角三角形的三边长都是正数，因此sinA>0，cosA>0，tanA>0；又因为直角三角形的直角边长小于斜边长，因此sinA<1，cosA<1】2.剩下的“三角”一词告诉我们锐角三角

函数是一个借助直角三角形建立起来的不要小看我们数学课本上的标题，这里面的学问可大着呢！看完了标题，让我们一起来整理一下今天的知识点：『设计意图：本环节旨在从课题揭示本节课的核心，让学生进一步体会数学课本节标题的魅力。在以往的

课堂处理中，往往会淡化“函数”这一概念，因为相对于边角数量关系，“函数”这种说法对学生而言更难理解、更抽象。但是本节课的节标题不是《正弦、余弦和正切》而是《锐角三角函数》而且课本中首先最明确提出的定义就是“比值ABBC是锐角α的函数”

，因此三角函数的函数特性是本节课的难点，因此尽管学生理解起来有点困难，但是三角函数的“函数”意义不能淡化。在本节课小结的设计中，结合学生原有的函数知识背景，将新旧函数进行对比，从各方面帮助学生理解三角函数是一种非常特殊的函数』▲

表格总结：英文名字中文名字在图中对应的比例关系函数的取值范围sinA∠A的正弦ca0<sinA<1cosA∠A的余弦cb0<cosA<1tanA∠A的正切batanA>0第8页共9页▲我有话说：请你围绕今天所学的知识，谈谈你的收获。数学源自生活，生活中处处有数学，只要你张开你的慧眼，多观

察、多思考，你一定会爱上生活、爱上数学！5(40)七．合作探究，共同进步『设计意图：课题作业是我校数学组长达5年之久的一项核心课题研究，旨在建立第二课堂，让学生在课堂之外自主接触一些课外知识，利用各种资源途径，查阅各种资料，深入研究某一课题，围绕课堂所学知识，选择

自己感兴趣的研究方向，进行深入挖掘，一方面可以及时补充知识，另一方面也是培养学生自主探究、合作探索的一个最短途径。在本节课中，学生第一次接触到了互余两角的三角函数转换，对于一些学有余力的同学而言，是否还存在其它的没有研究到的转换情况，是他们感

兴趣的方向；在本节课中，学生第一次接触三角函数，那么三角函数到底是从哪里来的，它有什么实际意义，在数学史上它又是如何发展的，这个是许多爱好数学的学生最感兴趣的话题；此外，学了一种新的函数之后，学生比较感兴趣的还在于在日常生活中的应用。

因此在本节课后设置这个课题作业，让学生在三个研究方向中寻找自己感兴趣的话题进行研究，旨在激发学生的探究精神和学习数学的兴趣、积极性』第9页共9页附1.杭十五中初三数学系列课题作业之一锐角三角函数研究背景：

三角学的历史由古希腊天文学家研创，动力来自测量和推算天体的位置与运行轨道，藉以帮助报时、计算日历、发展航海、研究地理等。因此，在相当长的一个时期里，三角学隶属于天文学。到目前为止，我们研究了三种锐角三角函数的定义和一些简单的计算、应用，你知道吗，在漫

长的数学历史中曾经出现过十多种三角函数呢，只是在后来的实际应用中，有一些慢慢被淘汰了，在初中阶段我们只研究正弦、余弦、正切这三种锐角三角函数，但事实上，这三种锐角三角函数之间是有数量关联的。课题要求：（一）锐角三角函数间的转换研究1.如图，在Rt⊿ABC中RtC，AB=5

，BC=3，求∠A，∠B的所有锐角三角函数值2.在上题中，若设AB=c，BC=a，AC=b，写出所有的锐角三角函数值，并比较它们之间的大小关系，找到这三种锐角三角函数之间的转换关系3.模仿前面的例题设置，另外再出几道练习题，要求能从

中找到其他更多的关于这三种锐角三角函数之间的转换关系（二）谈古论今，追根朔源——锐角三角函数的历史研究（三）请你张开你的慧眼，找找在生活中除了课堂中所举的例子，还有哪些锐角三角函数大展拳脚的地方。说明：1.以上三个研究方向任选其一2.可以运用现代信息

手段，丰富你的小论文；3.如果采用电脑为辅助手段来丰富你的小论文内容，要求交打印稿；4.可以查阅课外资料，但必须独立完成；5.纸张要求：A4纸，图案要求美观大方，解释过程要求详细、清楚评价方式：全年级评比，评出优秀小论文张贴，并张榜公布获奖名单。上交时间：本周五