【文档说明】河北省五个一名校联盟2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题及答案.pdf，共(15)页，386.215 KB，由小喜鸽上传

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高三年级五校联考数学试卷第1页（共4页）河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级联考（2022.12）数学试卷（满分：150分，测试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

.1.已知集合122,xAxxR，集合21log2,BxxxR，则集合AB（）A.01xxB.1xxC.112xxD.4xx2.已知(3)4izi，其中i为虚数单位，则z的虚部是（）A.1310B.110C.131

0iD.110i3.已知:3px或7y，:21qxy，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，左、右焦点分别为12FF、，

O为坐标原点，P为右支上一点,且OP=22ab,O到直线2PF的距离为b，则双曲线C的离心率为（）A.2B.5C.6D.225.已知0,0xy，且1xy，则33241xyxy的最小值为（）A.222B.4C.42

D.4226.设异面直线,ab所成的角为50，经过空间一定点O有且只有四条直线与直线,ab所成的角均为，则可以是下列选项中的（）A.6B.3C.512D.27.设1213a，7ln4b，4sin3c

，那么以下正确的是（）A.abcB.cabC.acbD.cba高三年级五校联考数学试卷第2页（共4页）8.已知点列nP在△ABC内部，△nABP的面积与△nACP的面积比为13，在数列na中，11a，若存在数列n使得对*nN，13(4

3)nnnnnnAPaABaAC都成立，那么4a（）A.15B.31C.63D.127二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.甲乙丙丁四个人排队，事件A：甲不在排头，事件B：乙不在排尾，那么7()9PBA；B.若随机变量服从二项分布(100,0.6)

B，则(0)P1000.6；C.若随机变量服从正态分布(100,64)N，则100,8ED；D.(41)4()1EXEX，(41)16()1DXDX.10.已知函数()2sin(2)1(0)fxx

，其一个对称中心为点(,1)6，那么以下正确的是（）A.函数()fx的图像向右平移12个单位后，关于y轴对称；B.函数()fx的最小正周期为2；C.不等式()0fx的解集是7,412xkxkkZ

；D.当,012x时，36()0fxx恒成立.11.已知,,xyz均为正数，22axxyy，22byyzz，22cxxzz，则三元数组(,,)abc可以是以下（）A.(1,2,3)

B.(3,4,9)C.(5,6,10)D.(7,8,13)12.已知等腰三角形ABC，3ACBC，33AB，D为边AB上一点，且3AD，沿CD把△ADC向上折起，A到达点P位置，使得二面角PCDB的大小为23

，在几何体PBCD中，若其外接球半径为R，其外接球表面积为S，那么以下正确的是（）》高三年级五校联考数学试卷第3页（共4页）A.3CDB.3102PBC.3RD.39S三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3

分，共20分.13.在921()xx的展开式中，常数项是第项.14.已知函数2()lg(65)fxaxx的值域为R，那么a的取值范围是.15.已知椭圆221105xy上有不同的三点,,ABC，那么△ABC面积最大值是.16.对(0,)x，都有32()(2)(ln1

)0xfxxemxxeex恒成立，那么m的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na，其前n项和2

61nSnn，（1）求数列na的通项公式；（2）若2nnb，求数列nnab的前n项和nT.18.已知在如图所示的三棱锥ABCD中，4,23,22BDBABC，2BADBCD，面BAD面BCD

，（1）求棱AC的长度；（2）求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.19.在三角形ABC中，若222sinsinsin23sinsinsinABCABC，（1）求角A的大小；（2）如图所示，若2DB，4DC，

求DA长度的最大值.高三年级五校联考数学试卷第4页（共4页）20.甲、乙两人进行一次乒乓球比赛，约定先胜4局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局比赛中，甲、乙获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立，已知前两局比赛均为甲获胜，（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）

设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望.21.已知函数()exfx，2()gxx.（1）若()1fxax恒成立，求a.（2）若直线l与函数()fx的图像切于11(,)Axy，与函数()gx的图像切于22(,)Bxy，求

证：1214xx.22.已知椭圆)0(1:2222babyaxC，左、右焦点分别为1(1,0)F、2(1,0)F，左、右顶点分别为BA、，若T为椭圆上一点，12FTF的最大值为3，点P在直线4x上，直线PA与椭圆C的另一

个交点为M，直线PB与椭圆C的另一个交点为N，其中NM、不与左右顶点重合.（1）求椭圆C的标准方程；（2）从点A向直线MN做垂线，垂足为Q，证明：存在点D，使得DQ为定值.高三年级五校联考数学试卷第1页（共11页）河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级联考（2022.12）

数学试卷命题单位：石家庄市第一中学（满分：150分，测试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合122

,xAxxR，集合21log2,BxxxR，则集合AB（）A.01xxB.1xxC.112xxD.4xx答案：C.2.已知(3)4izi，其中i为虚数单位，则z的虚部是（

）A.1310B.110C.1310iD.110i答案：B.3.已知:3px或7y，:21qxy，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B.4.已知双曲

线2222:1(0,0)xyCabab，左、右焦点分别为12FF、，O为坐标原点，P为右支上一点,且OP=22ab,O到直线2PF的距离为b，则双曲线C的离心率为（）A.2B.5C.6D.22答案：B.高三年级五校联

考数学试卷第2页（共11页）5.已知0,0xy，且1xy，则33241xyxy的最小值为（）A.222B.4C.42D.422答案：D.6.设异面直线,ab所成的角为50，经过空间一定点O有且只有四条直线与直线,ab所成的角均为，则可以是下列选项中的（）A.6B.3

C.512D.2答案：C.7.设1213a，7ln4b，4sin3c，那么以下正确的是（）A.abcB.cabC.acbD.cba答案：B.8.已知点列nP在△ABC内部，△nABP的面积与△nACP的

面积比为13，在数列na中，11a，若存在数列n使得对*nN，13(43)nnnnnnAPaABaAC都成立，那么4a（）A.15B.31C.63D.127答案：D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.甲乙丙丁四个人排队，事件A：甲不在排头，事件B：乙不在排尾，那么7()9PBA；B.若随机变量服从二项

分布(100,0.6)B，则(0)P1000.6；C.若随机变量服从正态分布(100,64)N，则100,8ED；D.(41)4()1EXEX，(41)16()1DXDX.答案：BCD高三年级五校联考数学试卷第3页（共11页）10.已知函数()2sin(2)1(0)f

xx，其一个对称中心为点(,1)6，那么以下正确的是（）A.函数()fx的图像向右平移12个单位后，关于y轴对称；B.函数()fx的最小正周期为2；C.不等式()0fx的解集是7,412xkxkkZ；D.当,012x

时，36()0fxx恒成立.答案：ACD.11.已知,,xyz均为正数，22axxyy，22byyzz，22cxxzz，则三元数组(,,)abc可以是以下（）A.(1,2,3)B.(3,4,9)C.(5,6,10)D.

(7,8,13)答案：CD.12.已知等腰三角形ABC，3ACBC，33AB，D为边AB上一点，且3AD，沿CD把△ADC向上折起，A到达点P位置，使得二面角PCDB的大小为23，在几何体PBCD中，若其外接球半径为R，其

外接球表面积为S，那么以下正确的是（）A.3CDB.3102PBC.3RD.39S答案：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分.13.在921()xx的展开式中，常数项是第项.高三年级五校联考数学试卷第4

页（共11页）答案：4.14.已知函数2()lg(65)fxaxx的值域为R，那么a的取值范围是.答案：90,515.已知椭圆221105xy上有不同的三点,,ABC，那么△ABC面积最大值是.答案：1564.16.对(0,)x，都有32()(2)(ln1)0xfxx

emxxeex恒成立，那么m的取值范围是.答案：(,1]2e四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列

na，其前n项和261nSnn，（1）求数列na的通项公式；（2）若2nnb，求数列nnab的前n项和nT.解析：（1）由题意可知，261nSnn，21(1)6(1)1(2)nSnnn...........

.....................................................................2分两式作差，可得27(2)nann，当1n时，114aS，所以27(2)4(1)nnnan.....

.........................................................................................4分（2）由题意可知，(2

7)2(2)nnnabnn，118(1)abn高三年级五校联考数学试卷第5页（共11页）那么22338......nnnTababab，.....................................

.................................6分可知：232(5)2(3)2(1)2......(27)2nnTn，两边乘以2，可得：23412(2)(5)2(3)2(1)2..

....(27)2nnTn，......................8分两式作差可得：所以21(2)1028(27)2nnnTn，即：1(29)220nnTn....................

................................................................10分18.已知在如图所示的三棱锥ABCD中，4,23,22BDBABC，2BADBCD，面BAD面BCD，（1）求棱AC的长

度；（2）求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.解析：由题意，取BD中点设为O，在面BAD内做OzBD，以O为坐标原点，,,OCODOz分别为,,xyz轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系，.........................................

..1分（1）在直角三角形ABD内，过A做AEBD于E，可求2AD，那么3ABADAEBD，21ADDEBD，...................2分所以1OE，那么(0,1,3)A，(2,0,0)C，所以22AC....

.................................................................4分高三年级五校联考数学试卷第6页（共11页）（2）由题意，(0,2,0)B，(0,2,0)D，那么(0,3,

3)BA，(2,2,0)BC，...........................................................................6分设

平面ABC的法向量为(,,)mxyz，那么：00BAmBCm，整理可得330220yzxy，令y=1，那么(1,1,3)m，.........................................

.............................................8分而(2,2,0)CD，.......................................

....................................................................9分直线CD与平面ABC所成角的正弦即为CD与m所成角的余弦，所以(2,2,0)(1,1,3)10cos,5225C

DmCDmCDm所以直线CD与平面ABC所成角的正弦为105............................................

.............12分19.在三角形ABC中，若222sinsinsin23sinsinsinABCABC，（1）求角A的大小；（2）如图所示，若2DB，4DC，求DA长度的最大值.解析：由题意可知，由正弦定理可得：22223sinabcbcA，再由余

弦定理可得：22222cos23sinbcbcAbcbcA，.......................................................................................................

2分即：223sincosbcbcAbcA，整理可得：3sincos2sin()6bcAAAcb，...........................................3分高三年级五校联考数学试卷第7页（共11页）可知左边2

bccb，当且仅当bc时，右边3sincos2sin()26AAA，当且仅当3A，左右相等只有两边都等于2时，即同时取得等号，所以，3A.............................

................................................................................5分（2）由（1）可知：bc,所以三角形ABC是正三

角形.设BDC，BCD，那么由余弦定理可得：2416224cos2016cosBC，即：2016cosBC，同样2016cosCA，...............................

............7分在三角形BDC中，由正弦定理可得：2016cos2sinsin，整理得：sinsin54cos，...............................................

..............................................9分因为BDCD，所以为锐角，那么2coscos54cos，........................10分那么132cos3sincos()cossin322254

cos，所以2162016cos8(2cos3sin)2016sin()366DA，当且仅当23时取得等号，所以DA最大值为6............................................

12分20.甲、乙两人进行一次乒乓球比赛，约定先胜4局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局比赛中，甲、乙获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立，已知前两局比赛均为甲获胜，（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列

及数学期望.解析：用iA表示事件：第i局甲获胜（3,4,5,6,7i），用iB表示事件：第i局乙获胜高三年级五校联考数学试卷第8页（共11页）（3,4,5,6,7i），...............................

..............................1分（1）记A表示事件：甲获得这次比赛的胜利，记B表示事件：乙获得这次比赛的胜利，那么34563456734567()1()1()()()PAPBPBBBBPABBBBPBABBB

4143456734567411113()()1()()22216PBBABBPBBBABC.......................4分（2）表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由题意可取2，3，4，5，那么23

411(2)()()24PPAA，123453452111(3)()()()224PPBAAPABAC，.......................7分234345634563456345631111(4)()()()()()()2224PPBB

BBPABBAPBABAPBBAAC1(5)1(2)(3)(4)4PPPP.......................................................10分所以11117234544442E.....

................................................12分21.已知函数()exfx，2()gxx.（1）若()1fxax恒成立，求a.（2）若直线

l与函数()fx的图像切于11(,)Axy，与函数()gx的图像切于22(,)Bxy，求证：1214xx.解：（1）设函数01)(axexhx，发现0)0(h，所以)0(1)(haxexhx恒成立，那么0x是函数

)(xh的最小值点，也就是极小值点，所以0)0('h，求导：aexhx)('，把0x代入得：1a..................................................

...................2分证明：当1a时，1)(xexhx，求导：1)('xexh，当0x时，0)('xh，)(xh单调递减；当0x，0)('xh，)(xh单调递增.所以0)0()(hxh.高三年级五校联考数学试卷第9页（共11页）所以1a.

.................................................................................................................................4分（2）由题意可知：xxfe

)('，xxg2)('，那么：21222)(211xxxexexx................................................................................

..........6分解之可得：212222)(22xxxxx，即2212xx，所以1x满足)22(211xex，即044)22(21111xexexx........................

......8分令44)(xexmx，可知)(xm单调递增，且02)21(em，01)43(43em，所以43211x，.............................................................................

.............................10分而212212xx，所以4121xx，命题得证...........................................................................

..............12分22.已知椭圆)0(1:2222babyaxC，左、右焦点分别为1(1,0)F、2(1,0)F，左、右顶点分别为BA、，若T为椭圆上一点，12FTF的最大值为3，点P在直线4x上，直线PA与椭圆C的另一

个交点为M，直线PB与椭圆C的另一个交点为N，其中NM、不与左右顶点重合.（1）求椭圆C的标准方程；（2）从点A向直线MN做垂线，垂足为Q，证明：存在点D，使得DQ为定值.解：（1）由题意可得：1c，设11PFr，22PFr，那么22

222111211212124()24cos22rrcrrrrcFTFrrrr2211212424122brrbrrrr，........................................................

............................................1分高三年级五校联考数学试卷第10页（共11页）可知2212122rrrra，当且仅当12rr取得等号，所以上式222242112bbaa

，即12cosFTF的最小值为2221ba，又12FTF的最大值为3，所以2212cos132ba，........................................

...2分所以2234ba，又1c，所以解得2,3ab，所以椭圆C的标准方程为13422yx................................................

............................................................................................4分（2）由题意可知，直线MN斜

率为0时，显然不成立；设直线:MNxmyt，点),(),,(2211yxNyxM，联立直线MN与椭圆C：13422yxtmyx，整理可得：01236)43(222tmtyym，43123,4362221221mtyymmtyy，

...........................................5分由上，设直线)2(2:11xxyyMA，直线22:(2)2yNByxx，两直线联立可知交点为P，解之：)24(2)24(22211

xyxy，所以：31)2()2(1221xyxy，即：31)2()2(122221xyxyy..........................................7分而)2)(2(43)41(3222222xxxy，代入上式，3

1)2)(2(342121xxyy，高三年级五校联考数学试卷第11页（共11页）即：31)2)(2(342121tmytmyyy，...................................................

.......9分然后韦达定理代入可得:31)2(41233422tt，解之可得：1t或2（舍）...........................................11分可知直线MN过定点)0,1(E

，又由条件：EQAQ，所以Q在以AE为直径的圆上，圆心即为)0,21(D，DQ为定值23.....................................................................12分