【文档说明】2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市尚志中学高二上学期期中考试数学试题解析版.doc，共(17)页，1.871 MB，由小喜鸽上传

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第1页共17页2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市尚志中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知点()3,1,2P−−，则点P关于z轴的对称点的坐标为（）A．()3,1,2−B．()3,1,2−C．()3,1,2−−−D．()

3,1,2−−【答案】D【分析】关于z轴对称，则z坐标值不变，,xy坐标变为互为相反数即可.【详解】解：因为关于z轴对称，则z坐标值不变，,xy坐标变为互为相反数所以，点P关于z轴的对称点的坐标为()3,1,2−−故选：

D.2．直线2310xy++=的一个方向向量是（）A．()2,3−B．()3,2−C．()3,2D．()2,3【答案】B【分析】根据直线方程写出其对应的方向向量，即可得答案.【详解】由直线方程知：其方向向量为(3,2)−且R

，所以1=时一个方向向量是()3,2−.故选：B3．与椭圆2211612xy+=有公共焦点，且离心率为2的双曲线的标准方程为（）A．22122xy−=B．22122yx−=C．22126xy−=D．22162yx−=【答案】A【分析】根据给定条件

，求出椭圆2211612xy+=的焦点坐标，再利用给定的离心率求解作答.【详解】由椭圆2211612xy+=得，半焦距16122c=−=，显然椭圆焦点在x轴上，因此双曲线的焦点为(2,0),(2,0)−，因双曲线离心率为2，

令其实半轴长为a，即有22a=，解得2a=，则双曲线虚半轴长2222ba=−=，第2页共17页所以所求双曲线的标准方程为22122xy−=.故选：A4．已知1F、2F是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两个焦点，P为椭圆C上一点，且12=0PFPFuuuruuur，若12PF

F的面积为9，则b的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根据椭圆的定义，和条件列式12122221221924PFPFaPFPFPFPFc+==+=，再通过变形计算求解b.【详解】由

条件可知12122221221924PFPFaPFPFPFPFc+==+=，()2222212121224364PFPFPFPFPFPFca+=++=+=，即2229acb−==，解得：3b=.故选：C【点睛】本题考

查椭圆的定义，焦点三角形的性质，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.5．双曲线2212523xy−=的两个焦点为1F，2F，双曲线上一点P到1F的距离为8，则点P到2F的距离为（）A．2或12B．2或18C．1

8D．2【答案】C【分析】利用双曲线的定义求2PF.【详解】解：由双曲线定义可知：28210PFa−==解得218PF=或2−（舍）∴点P到2F的距离为18，故选：C.6．若直线(4)2ykx=−+与曲线24xy=−恰有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．

41,3B．40,3C．51,3D．50,3第3页共17页【答案】A【分析】如图，直线(4)2ykx=−+恒过点(4,2)P，曲线24xy=−表示出以(0,0)O为圆心，2为半径的右半圆，求出直线

与圆相切时的斜率和直线过点A的斜率，从而可求出答案.【详解】如图，直线(4)2ykx=−+恒过点(4,2)P，曲线24xy=−表示出以(0,0)O为圆心，2为半径的右半圆，设直线与半圆相切于点C，则24221kk−+=+，解得

=0k（舍去）或43k=，所以43PCk=，因为(4,2)P，(0,2)A−，所以2(2)140PAk−−==−，因为直线(4)2ykx=−+与曲线24xy=−恰有两个交点，所以PAPCkkk，所以413k，故选：A7．如图，四边形ABCD为正方形，平面PCD⊥平面

ABCD，且PCD为正三角形，2CD=，M为BC的中点，则下列命题中错误的是（）A．BCPD⊥B．AM∥平面PCDC．直线AM与PC所成角的余弦值为55D．二面角CPDM−−大小为6第4页共17页【答案】

B【分析】取CD的中点O，连接OP，证明出PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，DA、OC、OP的方向分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断选项的正误.【详解】解：取CD的中点O，连接OP，因为PCD为正三角形，O为CD的中点，则POCD⊥，

平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD=，PO平面PCD，所以PO⊥平面ABCD，又因为四边形ABCD为正方形，以O为坐标原点，DA、OC、OP的方向分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则()2,1,0

A−，()2,1,0B，()0,1,0C，()0,1,0D−，()0,0,3P，()1,1,0M，()2,0,0BC=−，()0,1,3PD=−−，0BCPD=，则BCPD⊥，选项A正确；()1,2,0AM=−，易知平

面PCD的一个法向量为()1,0,0m=，所以0AMm，故AM与平面PCD不平行，选项B错误；()0,1,3PC=−，25cos552AMPCAMPCAMPC===，所以直线AM与PC所成角的余弦值为55，选项C正确；设平面PDM的一个法向量为(),,nxyz

=，()0,1,3DP=，()1,2,0DM=，则3020nDPyznDMxy=+==+=，取3y=，则()23,3,1n=−−，所以233cos142mnmnmn==−=−，由图可知，二面角CPD

M−−的平面角为锐角，故二面角CPDM−−大小为6，选项D正确；故选：B.8．已知12FF、是椭圆22221(0)xyabab+=的左､右焦点，点P为抛物线28(0)yaxa=−准线上一点，若12FPF△是底角为15

的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A．31−B．21−C．312−D．212−第5页共17页【答案】A【分析】利用几何性质确定12FPF△中得22122=30?,==2PFMFFPFc，利用222223cos=

==22FMacPFMPFc−可得,ac的关系，即可得椭圆离心率.【详解】解：如图，抛物线的准线与x轴的交点为M因为12,FF是椭圆22221(0)xyabab+=的左､右焦点，所以12(,0),(,0)FcF

c−抛物线28(0)yaxa=−准线为：直线2xa=，所以(2,0)Ma因为12FPF△是底角为15的等腰三角形，则1212==15?PFFFPF则22122=30?,==2PFMFFPFc则222223cos===22FMacPFMPFc−

，整理得：2=(3+1)ac所以离心率23131cea===−+.故答案为：A.二、多选题9．已知空间中三点()0,1,0A，()2,2,0B，()1,3,1C−，则（）A．AB与AC是共线向量B．与向量AB方向相同的单位向量坐标

是255,,055C．AB与BC夹角的余弦值是5511D．BC在AB上的投影向量的模为5第6页共17页【答案】BD【分析】求出向量坐标(2,1,0)AB=，(1,2,1)AC=−，(3,1,1)BC=−，由空间向量共线定理判断A，

求出ABAB判断B，根据向量夹角公式计算判断C，求出BC在AB上的投影，其绝对值为投影向量的模，判断D．【详解】由已知(2,1,0)AB=，(1,2,1)AC=−，(3,1,1)BC=−，1221−，因此AB与AC不共线，A错；5AB=，所以与向量AB方向相同的单位向量坐标是1255(2,1,

0)(,,0)555=，B正确；6105ABBC=−++=−，11BC=，555cos,11511ABBCABBCABBC−===−，C错；BC在AB上的投影是555BCABAB−==−，所以投影向量的模为5，D正确故选：BD．10．已知圆

O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（）A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1B．直线AB的方程为x－2y－4＝0C．线段AB的长为255D．取圆M上点

C（a，b），则2a－b的最大值为45+【答案】ABD【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断C；利用直线与圆相切求得2a－b的范围判断D．【详解】由圆M

：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；第7页共17页圆

心O到直线x－2y－4＝0的距离d44555−==，圆O的半径为2，则线段AB的长为22245452()55−=，故C错误；令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆

M的半径，可得415t−=，解得t＝45．∴2a－b的最大值为45+，故D正确．故选：ABD．11．已知抛物线()220xpyp=的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且AF的最小值为1，M是线段AB的中点，()2,3

P是平面内一定点，则（）A．=2pB．若8AFBF+=，则M到x轴距离为3C．若2AFFB=，则3AB=D．APAF+的最小值为4【答案】ABD【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，结合抛物线定义，逐项分析计算即可判断作答.【详解】抛物线()220xpyp=上的点A到

抛物线焦点F距离的最小值为1，则有12p=，解得=2p，A正确；抛物线的方程为24xy=，焦点(0,1)F，准线:1ly=−，设1122(,),(,)AxyBxy，对于B，点1212(,)22xxyyM++，由抛物线的定义知，12||||118AFBF

yy+=+++=，有126yy+=，所以M到x轴距离1232yy+=，B正确；对于C，1122(,1),(,1)AFxyFBxy=−−=−，由2AFFB=得：1212(1)yy−=−，即1223yy+=，又||2||AFFB=，即1212(1)y

y+=+，则1221yy−=，解得1212,2yy==，于是得129||||||112ABAFBFyy=+=+++=，C不正确；对于D，抛物线24xy=中，当=2x时，13y=，因此点()2,3P在抛物线24xy=上方，第8页共17页过点P作P

Pl⊥于P，交抛物线于点Q，连QF，过A作AAl⊥于A，连AF，AP，PA，如图，显然||||||||||||||||||||APAFAPAAPAPPPQQPPQQF+=+=+=+，当且仅当点A与Q重合时取等号，所以min()||4APAFPP+==，

D正确.故选：ABD12．若方程22131xytt−=−−所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（）A．若C为椭圆，则13tB．若C为双曲线，则3t或1tC．曲线C可能是圆D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则12t【答案】BC【解析】根据方程22131xytt−=−−所表

示的曲线为C的形状求出t的取值范围，进而可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，若C为椭圆，则301031tttt−−−−，解得132tt，A选项错误；对于B选项，若C为双曲线，则()()310tt−−，即()()130tt−

−，解得1t或3t，B选项正确；对于C选项，若曲线C为圆，则301031tttt−−−=−，解得2t=，C选项正确；对于D选项，若C为焦点在y轴上的椭圆，则301013tttt−−−−，解得23t，D选

项错误.故选：BC.三、填空题13．过双曲线2228xy−=的右焦点F且弦长为8的直线有______条.第9页共17页【答案】3【分析】先验证直线斜率不存在时是否符合题意，然后斜率存在时，设出直线，与双曲线联立，利用韦达定理和弦长公式计算求出满足条件的直线

方程.【详解】双曲线2228xy−=的标准方程为22148xy−=，右焦点()23,0F设直线与双曲线交于()()1122,,,AxyBxy，当直线AB斜率不存在时，直线方程AB的方程为23x=，令23x=，则2121

48y−=，得4y=，此时弦长为8，符合题目；当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为(23)ykx=−联立22(23)148ykxxy=−−=，可得2222(2)431280kxkxk−+−−=，()()22222434128(2)0

20kkkk++−−，解得2880k+且22k2212122243128,22kkxxxxkk++=−=−−−，22222212222431288(1)||1||148222kkkABkxxkkkk

++=+−=+−+==−−−解得22k=综上，总共有三条直线符合条件故答案为：3.14．已知直线l：x＋y＝0与双曲线()2222:1,0xyCabab−=无公共交点，则双曲线C离心率e的取值

范围为_______．【答案】(1,2]【分析】双曲线的一条渐近线方程为byxa=−，由直线yx=−与双曲线无公共点，得1ba„，进而可得答案．【详解】双曲线22221(0,0)xyabab−=的一条渐近线方程为byxa

=−，因为直线yx=−与双曲线无公共点，所以1ba−−…，即1ba„，第10页共17页所以2212cbeaa==+„，又1e，所以离心率的取值范围为(1,2]，故答案为：(1,2]15．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点()2,1,1A，且两平面的一个法向量为()1,0,1n=−，则两

平面间的距离是______．【答案】22【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答.【详解】依题意，平行平面,间的距离即为点O到平面的距离，而(2,1,1)OA=，所以平行平面、间的距

离222|||120111|122||2(1)01nOAdn−++====−++.故答案为：2216．()()000,Pxyxa是椭圆2222:1(0)xyEabab+=上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线,P

MPN的斜率之积15−，则椭圆的离心率为___________．【答案】255##255【分析】根据直线,PMPN的斜率之积列方程，化简求得22ba，由此求得椭圆的离心率.【详解】依题意()()()2222220000222,0,,0,1xybMaNaya

xaba−+==−，222000222200011,55PMPNyyybbkkxaxaxaaa===−=−=+−−，222515cbeaa==−=.故答案为：255四、解答题17．已知向量(2,1,2)a=−−r，(1,1,2)b=−，(

,2,2)cx=r.(1)当||22c=时，若向量kab+与c垂直，求实数x和k的值；第11页共17页(2)当12x=−时，求证：向量c与向量a，b共面.【答案】(1)0x=；3k=−；(2)证明见解析.【分析】（1）根据||22c=可求

得0x=，再根据垂直的数量积为0求解k即可.（2）设cab=+rrr，根据条件可得1322cab=−+，根据共面向量定理即得.【详解】（1）因为||22c=,所以2222222x++=，解得0x=，因为kab=+(21,1,22)kkk−−−+，向量kab+与c垂直，所以()0kab

c=+，(0,2,2)c=∴2244260kkk−++=+=，∴3k=−；所以实数x和k的值分别为0和3−；（2）当12x=−时，1(,2,2)2c=−r，设cab=+rrr（,R），则1(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)2−=−−+−，1222222−=−−

=−=+，解得1232=−=，即1322cab=−+，所以向量c与向量a，b共面.18．已知圆C经过()6,1A，()3,2B−两点，且圆心C在直线230xy+−=上.(1)求经过点A，并且在两坐标

轴上的截距相等的直线的方程；(2)求圆C的标准方程.【答案】(1)60xy−=或70xy+−=(2)()()22515xy−++=第12页共17页【分析】（1）由于直线在两个坐标轴的截距相同，则分两种情况处理，直线过原点和直线

截距相等不为零设直线方程求解即可；（2）根据圆的几何性质设圆心坐标，列式求解即可得圆的方程.【详解】（1）解：经过点A，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时，直线的方程为60xy−=，当直线不过原点时，设直线的方程为xya+=，将点()6,1A代入解得7

a=，即直线的方程为70xy+−=，所以所求直线的方程为60xy−=或70xy+−=.（2）解：因圆心C在直线230xy+−=上，则设圆心()32,Cbb−，又圆C经过()6,1A，()3,2B−两点，于是得圆C的半径rACBC==，即有

2222(32)(1)4(2)bbbb++−=++，解得1b=-，圆心()5,1C−，圆C的半径5r=，所以圆C的标准方程为()()22515xy−++=.19．已知抛物线C：()220ypxp=，经过点()2,2−．(1)求抛物线C的方程及准线方程；

(2)设O为原点，直线20xy−−=与抛物线相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．【答案】(1)22yx=，12x=−(2)证明见解析【分析】（1）把点()2,2−代入抛物线方程即可求解；（2）设()11,Axy，()22,Bxy，联立2=22=0yxxy−−，利用根于系数的关系，由平面

向量的数量积证明OAOB⊥，即可得证【详解】（1）因为点()2,2−在抛物线C上，所以()2222p−=，解得1p=，故抛物线C的方程为22yx=，准线方程为12x=−；（2）设()11,Axy，()22,Bxy第13页共17页联立2=22

=0yxxy−−得2640xx−+=126xx+=，124xx=()11,OAxy=，()22,OBxy=因为1212OAOBxxyy=+()()221222xxxx=+−−()12121224xxxxxx=+−++()1212224xxxx=−++8124=−+=0所以OAOB⊥

所以OAOB⊥20．如图，直三棱柱111ABCABC-中，M为BC的中点，12AAAC==，22BC=，π4ABC=.(1)证明：1//AB平面1AMC；(2)线段1BB上是否存在点N，使得二面角1MACN−−的平面角为π6？若存在，

求出BN的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【分析】（1）连接1AC交1AC于点P，连接MP，利用中位线的性质可得出1//MPAB，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）由正弦定理可求得π2

BAC=，以点A为坐标原点，AB、AC、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设BNt=，其中02t，利用空间向量法可得出关于t的等式，解方程即可.第14页共17页【详解】（1）证明：连接1AC交1AC于点P，连接MP，在

三棱柱111ABCABC-中，四边形11AACC为平行四边形，则P为1AC的中点，又因为M为BC的中点，则1//MPAB，MP平面1AMC，1AB平面1AMC，1//AB平面1AMC.（2）解：在ABC中，由正弦定理得222sinsin4BAC=，则

sin1BAC=，所以，π2BAC=，因为1AA⊥平面ABC，ABAC⊥，以点A为坐标原点，AB、AC、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设BNt=，则()1,1,0M

，()10,2,2C，()2,0,Nt故()1,1,0AM=，()10,2,2AC=，()2,0,ANt=，其中02t，设平面1AMC的法向量为()1111,,xnyz=，则111111100nAMxynACyz=+=

=+=，令11y=−，得()11,1,1=−n，设平面1ANC的法向量为()2222,,nxyz=，则2222122200nANxtznACyz=+==+=，令22z=−，得()2,2,2nt=−.第15页共

17页假设存在点N满足条件，则122124π3cos6238nntnnt−===+，整理得253280tt++=，解得166605t−=，不合题意，故线段1BB上不存在点N使得二面角1MACN−−的

平面角为π6.21．动点(,)Mxy与定点(3,0)F的距离和它到定直线3:3lx=的距离的比是3，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知过点(1,1)P−的直线与曲线C相交于两点A，B，请问点P能否为线段AB的中点，并

说明理由.【答案】(1)2212yx−=(2)不能，理由见解析.【分析】（1）利用题中距离之比列出关于动点(,)Mxy的方程即可求解；（2）先假设点P能为线段AB的中点，再利用点差法求出直线的斜率，最后联立直线与曲线进行检验即可.【

详解】（1）解：动点(,)Mxy与定点(3,0)F的距离和它到定直线3:3lx=的距离的比是3则()223333xyx−+=−等式两边平方可得：2222333123xyxxx+−+=+−化简得曲线C的方程为：2

212yx−=（2）解：点P不能为线段AB的中点，理由如下：由（1）知，曲线C的方程为：2212yx−=过点(1,1)P−的直线斜率为k，()11,Axy，()22,Bxy因为过点(1,1)P−的直线与曲线C相交于两点A，B第16页共17页所以22112222121

2yxyx−=−=，两式作差并化简得：121202yyxxk++−=①当(1,1)P−为AB的中点时，则122xx+=−，122yy+=②将②代入①可得：2k=−此时过点P的直线方程为

：210xy++=将直线方程与曲线C方程联立得：22430xx++=，1642380=−=−，无解与过点(1,1)P−的直线与曲线C相交于两点矛盾所以点P不能为线段AB的中点【点睛】方法点睛：当圆锥曲线中涉及中点和斜率的问题时，常用点差法进行求解.22．已知椭圆()

2222:10xyCabab+=的长轴长为6，椭圆短轴的端点是1B，2B，且以12BB为直径的圆经过点(20)M，．(1)求椭圆C的方程；(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于AB，两点．试问x轴上是否存在定点P，使

PM平分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22194xy+=(2)存在定点9(,0)2P；【分析】（1）根据题意确定,ab的值，即可求得椭圆方程；（2）设1122(,),(,)AxyBxy，直线AB的方程为2xmy=+，联立方程可得根与系数的关系式，假

设x轴上存在定点P，使PM平分APB，则可得0PAPBkk+=，结合根与系数的关系化简，求得参数的值，可得结论.【详解】（1）因为椭圆()2222:10xyCabab+=的长轴长为6，故=3a，椭圆短轴的端点是1B，2B，且以12BB为直径的圆经过点(20)M，，则=2b，所以椭圆C的方

程是22194xy+=；第17页共17页（2）设1122(,),(,)AxyBxy，直线AB的方程为2xmy=+，将直线AB的方程与椭圆C的方程22194xy+=联立，消去x得22(49)16200mymy++−=，因为M点在椭圆内，则必有0，所以1221649myym−

+=+，1222049yym−=+，假设x轴上存在定点P，使PM平分APB，则直线PAPB，的倾斜角互补，所以0PAPBkk+=，设(0)Pt，，则有12120yyxtxt+=−−，将11222,2xmyxmy=+=+代入上式，整理得1212122

+(2)(+)0(+2)(+2)myytyymytmyt−−−=，所以12122(2)()0myytyy+−+=，将1221649myym−+=+，1222049yym−=+代入上式，整理得(29)0tm−+=，由于上式对任意实数m都成立，所以92t=，综上，存在定点9(,0)2P，使PM平分

APB．