【文档说明】题型归类大全2023年备考一轮复习学案理科数学考点11函数与方程.docx，共(17)页，329.175 KB，由小喜鸽上传

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【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）考点11：函数与方程[考纲传真]1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．[题型归类]题型一确定函数零点

所在区间题型二二分法与零点题型三判断函数零点的个数题型四二次函数的零点问题题型五已知函数的零点或方程的根所在的区间，求参数题型六已知函数的零点或方程的根的个数，求参数题型七利用函数的零点比较大小题型八利用数形结合解决方程根的问题题型九与零点有关的存在性、恒成立

问题题型一确定函数零点所在区间知识与方法判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法

判断时可画出图象判断．►例1函数f(x)＝2x＋ln1x－1的零点所在的大致区间是()a．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(1,2)与(2,3)解析：f(x)＝2x＋ln1x－1＝2x－ln

(x－1)．当1<x<2时，ln(x－1)<0，2x>0，所以f(x)>0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln1＝1，f(3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83，∵8＝22≈2.828>e，∴8>e2，即ln8>2

，即f(3)<0，又f(4)＝12－ln3<0，∴f(x)在(2,3)内存在一个零点．►例2在下列区间中，函数f(x)＝e－x－4x－3的零点所在的区间为()a.－34，－12B.－12，

－14C.－14，0D.0，14解析：选B易知函数f(x)在R上是单调减函数．对于a，注意到f－34＝e34－4×－34－3＝e34>0，f－12＝e12－4×－12－3＝e

12－1>0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间－34，－12上；对于B，注意到f－12>0，f－14＝e14－4×－14－3＝e14－2<414－2<0，因此在区间－12，－14上函数

f(x)＝e－x－4x－3一定存在零点；对于C，注意到f－14<0，f(0)＝－2<0，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间－14，0上；对于D，注意到f(0)＝－2<0，f14＝e－14－4×14－3＝e－14－4<0

，因此函数f(x)＝e－x－4x－3的零点不在区间0，14上．►例3函数f(x)＝log2x＋x－4的零点所在的区间是()a.12，1B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选C因为f(2)＝log22＋2－4＝－1<

0，f(3)＝log23－1>0，所以f(2)·f(3)<0，故零点所在的一个区间为(2,3)．►例4函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的一个零点所在的区间是()a．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选B由题意知，函数f(x)＝ln(x＋1)－2

x的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，结合四个选项可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)<0，f(2)>0，所以函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的一个零点所在的区间是(1,2)．题型二二分法与零点知识与方法二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f

(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．用二分法求方程实数解的思想是非常简明的，但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是较长的，有些计算不用计算工具甚至

无法实施，所以需要借助科学计算器.►例1下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()aBCD解析：选C由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．►例2用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)

·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间为()a．(2,4)B．(3,4)C．(2,3)D．(2.5,3)解析：选C∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，∴f(3)·

f(4)>0，∴零点x0所在的区间为(2,3)．►例3证明方程632xx−=在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确到0.1）.证明：设函数()236xfxx=+−.()()110,240ff=−=，又()fx是增函数，所以函数()236x

fxx=+−在区间[1,2]有唯一的零点，则方程632xx−=在区间[1,2]有唯一一个实数解.设该解为00,[1,2]xx则，取11.5,(1.5)0.330,(1)(1.5)0xfff==，∴

0(1,1.5)x.取21.25,(1.15)0.1280,(1)(1.25)0xfff==，∴0(1,1.25)x.取31.125,(1.125)0.440,(1.125)(1.25)0xfff==−，∴0(1.125,1.25)x.取41.1875,(1.

1875)0.160,(1.1875)(1.25)0xfff==−，∴0(1.1875,1.25)x.∵1.251.18750.06250.1−=，∴可取01.2x=，则方程的实数解为01.2x=.►例4用二分法研究函数f(x)＝x3＋3

x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算________．解析∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点

，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．答案(0,0.5)f(0.25)题型三判断函数零点的个数知识与方法判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间

[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．

先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．►例1函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()a．1B．2C．3D．4解析：选B易知函数f(x)＝2x|log0.

5x|－1的零点个数⇔方程|log0.5x|＝12x＝12x的根的个数⇔函数y1＝|log0.5x|与y2＝12x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两

个交点．►例2函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0的零点个数为________．解析：法一：令f(x)＝0，得x≤0，x2＋2x－3＝0或x>0，lnx＝2，解得x＝－3或x＝

e2，所以函数f(x)有两个零点．法二：画出函数f(x)的图象(图略)可得，图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有两个零点．答案：2►例3已知函数2,0,()2,0,xbxcxfxx++=若(4)(0)ff−=，(2)2f−=−，则函数()yfxx=−的零点个数为

（）a．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】(4)(0)4ffb−==，再由(2)2f−=−得2c=，因此232,0()2,0xxxyfxxxx++=−=−，即函数()yfxx=−的零点个数为三个，选C.►例4函数

，，的零点个数为（）(a)2(B)3(C)4(D)5【命题立意】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度.【思路点拨】作出分段函数的图象，利用数形结合解题.【规范解答】选a.绘制出图象大致如图所示，所以零点个数为2.【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行

求解.令，则（1）当时，，或（舍去）.（2）当时，，.综上所述，函数有两个零点.题型四二次函数的零点问题知识与方法223,0()2ln,0+−=−+xxxfxxx()fx0=x02x2x30+−=x3=−x1=x02lnx0−+=2xe=()fx解决与二次函数有关的零点问题：(

1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．►例1已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，

求实数a的取值范围．解方法一设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<

0，∴－2<a<1.方法二函数图象大致如图，则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1.故实数a的取值范围是(－2,1)．►例2若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是()a.

－12，14B.－14，12C.14，12D.－14，12答案C解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足m≠2，f－1·f0<0，f1·f2<0，即m≠2，[m－2－m＋2m＋1]2m＋1<0，[m－2＋m＋2m＋1]

[4m－2＋2m＋2m＋1]<0，解得14<m<12.►例3已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________．答案(－2,0)解析∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，又y＝x2

＋x＝(x＋12)2－14，∴函数y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域为(0,2)，∴0<－a<2，∴－2<a<0.题型五已知函数的零点或方程的根所在的区间，求参数知识与方法1．函数的零点(1)定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D

)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那

么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0

)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．．1个

口诀——用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．2个防范——函数零点的两个易错点(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间

上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．3种方法——判断函数零点个数的方法(1)直接求零点；(2)零点的存在性定理；(3)利用图象交点的个数(内容见例2的[方法规律])．3个结论——有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．►例

1已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.解析：∵2<a<3<b<4，∴f(x)＝logax＋x

－b在(0，＋∞)上为增函数．当x＝2时，f(2)＝loga2＋2－b<0；当x＝3时，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，∴n＝2.►例2若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和

区间(1,2)内，则m的取值范围是()a.－12，14B.－14，12C.14，12D.14，12解析：选C依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足m≠2，f－1f0<0，f1f2<0，即m≠2，[m－2－m＋2m＋1]

2m＋1<0，[m－2＋m＋2m＋1][4m－2＋2m＋2m＋1]<0，解得14<m<12.►例3若方程2210ax−=在(0,1)内恰有一解,则实数a的取值范围是.解析：设函数2()21fxax=−，由题意可知，函数()fx在(0,1)内恰有一个零点.∴(0)(1)1(21)0f

fa=−−，解得12a.►例4已知函数()34fxmx=−，若在[2,0]−上存在0x，使0()0fx=，则实数m的取值范围是.解析：）∵在[2,0]−上存在0x，使0()0fx=，则(2)(0)0ff−，∴(

64)(4)0m−−−，解得23m−.所以，实数m的取值范围是2(,]3−−.题型六已知函数的零点或方程的根的个数，求参数知识与方法►例1函数y＝12|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________．解析：在同一直角坐标系内，画出y1＝12|x|和y2＝

m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m<1.►例2设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x

)＝0，得x＝3或x＝－1.∴函数f(x)的零点为3或－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，∴b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(

4a)<0⇒a2－a<0，解得0<a<1，因此实数a的取值范围是(0,1)．►例3已知函数满足，当，，若在区间内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是（）()fx()(2)fxfx=[1,2)x()lnfxx=[1,4)()()gxfxax=−aa．B．C．D．【答案】C

【解析】由，记，作图如下，观察图象可得，故选C.►例4已知函数()21(,gxaxxeee=−为自然对数的㡳数)与()2lnhxx=的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）a．21,2e−B．211,2

e+C.2212,2ee+−D．)22,e−+【答案】a【解析】原命题等价于()221()gxxaxee=−与()2lnhxx=有交点22lnyxyxa==−在1[,]ee上

有解，()22lnfxxax=−−在1[,]ee上有零点，令()22(1)(1)'201xxfxxxxx+−=−===当11xe时，()'0,()fxfx是减函数，当1xe时，()'0,()fxfx

是增函数，又ln2[1,)2ln2[1,)4ln2ln2[,)42ln2ln2(,)42()()()0fxgxfxaxax=−==ln,12()()ln2,24xxxfxhxxxxx==aln2ln2[,)424xyo122211

2()2fafeeaee=−+=−−()2minmax(1)10,()()20fxfafxfeea==−==−−a21,2e−．题型七利用函数的零点比较大小知识与方法►例1设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满

足f(a)＝0，g(b)＝0，则()a．g(a)<0<f(b)B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b)D．f(b)<g(a)<0解析：∵f(x)在R上为增函数，且f(0)＝e0－2<0，f(1)＝e－1>0，又f(a)

＝0，∴0<a<1.∵g(x)＝lnx＋x2－3，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又g(1)＝ln1－2＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，且g(b)＝0，∴1<b<2，即a<b，∴fb>fa＝0，ga<gb＝0.题型八利用数形结合解决方程根的问题知识与方法在解决

与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决．►例1对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝a2－ab，a≤b，b2－ab，a>b.设f(x)＝(2x－1)*(

x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．解析：由定义可知，f(x)＝(2x－1)*(x－1)＝2x－12－2x

－1x－1，x≤0，x－12－2x－1x－1，x>0，即f(x)＝2x2－x，x≤0，－x2＋x，x>0.作出函数f(x)的图象，如图所示，关于x的方程f(x)＝m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象

与直线y＝m有三个不同的交点，则0<m<14.不妨设从左到右交点的横坐标分别为x1，x2，x3.当x>0时，－x2＋x＝m，即x2－x＋m＝0，∴x2＋x3＝1，∴0<x2x3<x2＋x322，即0<x2x3<14；当x<0时，由2x2－x＝14，x<0，得x＝1－34

，∴1－34<x1<0，即0<－x1<3－14.∴0<－x1x2x3<3－116，故1－316<x1x2x3<0.►例2若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，

函数g(x)＝lgx，x>0，0，x＝0，－1x，x<0，则方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5,5]上的解的个数为()a．5B．7C．8D．10解析：选C依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象，

结合图象得，当x∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f(x)－g(x)＝0在区间[－5,5]上的解的个数为8.►例3偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，则关于x的方程f(x)＝l

g(x＋1)在x∈[0,9]上解的个数是()a．7B．8C．9D．10解析：选C依题意得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝l

g(x＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0,9]上的公共点共有9个，因此，当x∈[0,9]时，方程f(x)＝lg(x＋1)的解的个数是9.►例4若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]

时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()a．多于4B．4C．3D．2解析：由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x

|有4个零点．题型九与零点有关的存在性、恒成立问题知识与方法►例1是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．解：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a－892＋89>0，∴若

存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－15或a≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝

x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.②当f(3)＝0时，a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解得x＝－25或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意

，故a≠－15.综上所述，a的取值范围是－∞，－15∪(1，＋∞)．►例2已知函数f(x)＝15x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值()a．恒为正值

B．等于0C．恒为负值D．不大于0解析：选a因为函数f(x)＝15x－log3x在(0，＋∞)上是减函数，所以当0＜x1＜x0时，有f(x1)＞f(x0)．又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即f(x1)的值恒为正值，故选a.