【文档说明】《＊5 相似三角形判定定理的证明》导学案-九年级上册数学北师大版.docx，共(20)页，562.847 KB，由小喜鸽上传

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第四章图形的相似4.5.1相似三角形判定定理的证明学习目标：1.了解两角分别相等的两个三角形相似判定定理的证明2.了解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明3.能够通过转化、做辅助线等方法进行相关的证明一、复习回顾1.相似三角形的定义：的两个三角形是相似

三角形2.相似三角形的判定：的两个三角形相似.的两个三角形相似.的两个三角形相似.3.证明一句话定理的一般步骤是：.4.符号语言：定义：判定定理：二、合作学习1．证明定理：两角分别相等的两个三角形相似2.

证明定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似三、课堂小结证明相似三角形判定定理，我们用到了哪些方法？四、课堂检测证明定理3：三边成比例的两个三角形相似如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,在CD上任取一点E，连接BE,将△BCE沿BE折叠，

使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为．2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点。(1)、请判断△OEF的形状，并证明你的结论；(2)、若AB=13，A

C=10，请求出线段EF的长。三、链接中考1.（宁夏2017）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM，将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形.2.（宁夏2014）在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD,DF⊥AE，垂

足为F；求证：DF=DC四、课堂小结说一说你重温了哪些知识？有什么新的收获？五、自我检测1、矩形具有而菱形不具有的性质是（）A、两组对边分别平行B、对角线相等C、对角线互相平分D、两组对角分别相等2.菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=2、如图,从边长

为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是A.B.C.D.3、如图，在ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠DEB=90°，求

证四边形DEBF是矩形.2.四边形ABCD是正方形，G是BC边上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.求证：AF=BF+EF【当堂检测】1.如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（）A．aB．aC．

aD．a2.在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A．20B．15C．10D．5第3题图3.如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论①DE=3cm；②EB=1cm；③中正确的个数为（）A．3个B．2个C．1个

D．0个4.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）第4题图A．1B．C．D．26.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC的度数.1、关于平行四边形ABCD的叙述正

确的是(C）A.若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形.B.若AC⊥BD,则平行四边形ABCD是正形.C.若AC=BD,则平行四边形ABCD是矩形.D.若AB=AD，则平行四边形ABCD是正方形.2、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE//BD，DE//AC.则四边形OAED

为（B）A、菱形B、矩形C、正方形D、无法确定AEBOD点拨：前面两题涉及到平行四边形性质及特殊平行四边形的判定.C四、经典真题例析1、在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF,

添加一个条件，仍丌能证明四边形BECF为正方形的是（D）A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BFB思路点拨：由BC的垂直平分线EF可得BE=CE，BF=CF，EDF又由BE=BF，能推知B

E=CE=CF=BF，四边形BECF为菱形，在此基础上，只要再有一个角是直角，或者对角线相等即可，AC四个选项中只有D不能推知，故选D.1题图1.如图，AE//BF,AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分

∠ABF，且交AE于点D，AC不BD相交于点O，连接CD.ADE（1）求∠AOD的度数.O（2）求证：四边形ABCD是菱形.BCF思路点拨：（1）利用平行线的性质，可得2题图∠BAD不∠CBA互补.由角平分线的定义，可得∠BAO不∠ABO互余，从而推得∠AOD=90°.（2）由AE//BF，AC

平分∠BAE，BD平分∠ABF，得∠BAC=∠BCA，∠ABD=∠ADB，可得AD=AB=BC.从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形ABCD是平行四边形，再由（1）得四边形ABCD是菱形.反思：通过前面两例，我们感悟到，平行四边形和特殊的平行四

边形的性质和判定定理是解题的依据不关键，同学们一定要牢固掌握。1.阅读理解阅读下面的材料：小颖遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，DE//BC，分别交AB于D，交AC于E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值.小颖发现，

过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算，能够使问题得到解决（如图2）（1）请回答：BC+DE的值为√34.（2）参考小颖思考问题方法，解决问题：如图3，已知ABCD和矩形ABEF，AC不DF交于点G，AC=BF=DF

，求∠AGF的度数.（60°）AAFEDEDEABGBCBCFDC（图1）（图2）（图3）思路点拨：（1）由已知DE//BC及所作辅助线EF//DC，可得四边形DCFE为平行四边形.再由CD⊥BE进而推出EF⊥BE，∴∠BEF=90°，在Rt△BEF中，BE=5，EF=CD=3，所以

BC+DE=BC+CF=BF=√5²+3²=√34有方法更简单：四边形中，若两条对角线有特殊的位置关系和数量关系时，丌妨尝试“平移对角线”方法，这里就是平移对角线CD，从而构造直角三角形，使问题得以解决.注意：这里5不3是两直角边的长，同学们容易得出错误结论，要谨慎！1.这里要求∠A

GF的度数，在原始位置有困难，我们可以设想把∠AGF平移到容易求得的位置.由已知可得FE//AB//CD,EF=AB=CD,所以四边形FDCE为平行四边形，因此平移FD到EC，即连接EC就把∠AGF平

移到∠ACE的位置（两直线平行，同位角相等），因此求出∠ACE的度数即可，又AC=BF=DF，再连接AE（AE=BF），可得AC=EC=AE，∴△ACE为等边三角形，所以∠AGF=∠ACE=60°.反思：这里通过平移具有特殊

位置关系和数量关系的线段的方法，使问题变得简单，此题中连接EC是关键.注意：这里的F、B、C三点丌一定在同一直线上.•当堂检测1、如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=5，则以AC为边长的正方形ACEF的

周长为（D）A.14B.15C.16D.202、如图，正方形ABCD的顶点B作直线m，过点A，C作m的垂线，垂足分别为点E、F.若AE=1，CF=3，则AB的长度为√103、如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，四边形

ABDE是平行四边形.1.求证：四边形ADCE是矩形；2.若AC、DE交于点O，四边形ADCE的面积为16√3，CD=4，求∠AOD的度数FAACDBBFEmDOEECCDBA（1题图）（2题图）（3题图）3题答案（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形∴AE//BC，AB=DE，AE=BD∵D是

BC中点∴CD=BD∴CD//AE，CD=AE∴四边形ADCE为平行四边形∵AB=AC，D为BC中点∴AD⊥BC∴∠ADC=90°∴四边形ADCE为矩形.（2）∵四边形ADCE为矩形，四边形ADCE面积为16√3，CD=4∴AD·CD=4AD

=16√3∴AD=4√3∴∠DAC=30°∵OA=OD=OC=OE∴∠ODA=∠OAD=30°∴∠AOD=120°4、（1）已知：如图1，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.E、F分别是边AD、DC上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，

则EF的长5（2）如图2，若点O是正方形A'B'C'O的一个顶点，且两个正方形的边长相等，将正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个定值正方形ABCD面积的四分之一ABADA'EOOEDFCBFCB'（图1）C'（图2）思路点拨：（1）由已知可证

△DOE≌△COF(或△AOE≌△DOF)∴AE=DF=4，DE=CF=3在R△EDF中，根据勾股定理，就可求得EF=5.（2）由已知可证△BOE≌△COF(或△AOE≌△BOF)所以重叠部分面积=S△OBC（或S△AOB）=¼S正方形ABCD.六、中考达标梯级训练

（一）选择题1．（2016无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是()A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直【答案】C1.（2016，绥化）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE//BD，DE//AC.若

AC=4，则四边形OCED的周长（）A.4B.8C.10D.12【答案】BEDDCDFCAOCHOGABBEAEB（2题图）（3题图）（4题图）3．（2016内江）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，，AC=8，BD=

6，OE⊥BC,垂足为E，则OE长()A．B.C.5D.4【答案】B4．（2015安徽）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是()A．2B．3C．5D．

6【答案】C二、填空题5．（2016，钦州）如图，菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长_____.【答案】66．（2016巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E

，使CE=BD．连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=______度．【答案】157、如图所示的是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，点E为AB上一点，AE=5.现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使

点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的边长【答案】5或5√2或4√5BDCADCNADBCEAE·B（5题图）（6题图）（7题图）三、解答题8．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于

点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.AFDAHFDPPBECBEC（8图题）解：(1)证明：

∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB．∵AE是角平分线，∴∠DAE=∠BAE．∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，同理AB=AF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，∴

四边形ABEF是菱形；(2)作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形．∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4,∠ABF=30°,AP⊥BF.∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5,∴tan∠ADP==.9．(2016，无锡)已知

，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE＝AF．连接DE、DF．求证：DE＝DF．F【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，AD∴AD＝CD,∠DAB＝∠C＝90°,∴∠FAD＝180°－∠DAB＝90°.在△DCE和△DAF中，BEC∴△DCE≌△

DAF(SAS),（9图题）∴DE＝DF．10．(2016哈尔滨)已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．⑴求证：AP＝BQ；⑵在不添加任何辅助线的情况下，诸直接写出图中四对线段，使每

对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．AD【答案】解：⑴∵正方形ABCD,P∴AD＝BA,∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°,∵DP⊥AQ,E∴∠ADP＋∠DAP＝90°,Q∴∠BAQ＝∠ADP,BC∵AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P，(10图

题）∴∠AQB＝∠DPA＝90°,∴△AQB≌△DPA(AAS)，∴AP＝BQ.⑵①AQ－AP＝PQ，②AQ－BQ＝PQ，③DP－AP＝PQ，④DP－BQ＝PQ.11．(2016重庆一中)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任意一点．⑴如图⑴，若∠A＝45

°，AB＝，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长．⑵如图⑵，若2∠AEB＝180°－∠BED，∠ABE＝60°，求证：BC＝BE＋DE．⑶如图⑶，若点E在CB延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接

写出结论．EAAAEFEDBDBDBCCC图1图2图3（11题图）【答案】⑴解：在菱形ABCD中,AB＝AD＝,AB∥DE1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直2

、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB=．(第2题)（第3题）3、已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为__________cm2.周长为__________cm。4.

能判定四边形是正方形的是（）A.对角线互相垂直且相等的四边形B.对角线互相垂直的平行四边形C.对角线相等的菱形D.对角线互相垂直平分的四边形二、引入真题、归纳考点【例1】（2016年宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线

AC和BD的距离之和是（A）A.4.8B.5C.6D.7.2【解析】如图，连接OP，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.由勾股定理得AC=BD=10，∴OA=OD=5.∵S△AOD=S矩形A

BCD=12，S△AOD=S△AOP+S△DOP=×OA×PE+×OD×PF=OA·(PE+PF)=12，∴PE+PF=4.8.【例2】如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为13cm.【解析】如图，连接AC，BD

相交于点O.∵正方形AECF的面积为50cm2，∴AE2=EC2=50.在Rt△AEC中，∵AE2+EC2=AC2，∴AC=10.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且OA=0.5AC=5，OB=0.5BD，∴S菱形ABCD=0

.5AC×BD=120，∴BD=24，OB=12BD=12.∵AC⊥BD，∴在Rt△AOB中，AB2=AO2+BO2=52+122=132.AB=13.【例3】（2016年呼和浩特）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小

正方形EFGH，其中点E、F、G分别在AB、BC、FD上.若BF=，则小正方形的周长为（C）第五讲中考复习课——几种特殊的平行四边形（1）南宁市武鸣区双桥镇中心学校危琼妹复习目标：1、进一步巩固矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定；2、灵活应用其性质、判定解决问题；重点难点：

性质、判定的综合应用教学过程：一：知识梳理，再次巩固。二、例题分析：例1、（2015南宁中考题，第23题，8分）如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠DEB=90°，求证四边形

DEBF是矩形.例2、（2015年北海、第22题，8分）如图，已知BD平分∠ABF,且交AE于点D.(1)、求作:∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；D（2）、设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD

，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形。三、课堂练习：（一）、基础平台1、矩形具有而菱形不具有的性质是（）A、两组对边分别平行B、对角线相等C、对角线互相平分D、两组对角分别相等2、下列命题中正确的是（）A、一组对边相等，另一组

对边平行的四边形是平行四边形B、对角线互相垂直的四边形是菱形C、对角线相等的四边形是矩形D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=

4cm，则AC的长为______cm．4、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交与点O，添加一个条件，可使它成为菱形。5、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP=BC，则∠ACP的度数是6、如图，菱形ABCD的周长为1

6，∠ABC=120°，则AC的长为（第3题）（第4题）（第5题）（第6题）（二）、能力提高1、如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形。如果AB＝10，

EF＝2，那么AH等于2、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（第1题）（第2题）3、如图，菱形ABCD的对角线A

C，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点。(1)、请判断△OEF的形状，并证明你的结论；（2）、若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长。四、回归课本的练习（中考试题来源于课本）（八下课本P69）第14题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠A

EF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.(提示：取AB的中点G，连接EG)*本题的变换题：1、（2014年、南宁）25.（10分）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=

90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC.(1)试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2)求证：∠ACF=90°；(3)连接AF，过A，E，F三点作圆，如图.若EC=4，∠CEF=15°，求AE的长.2、（

2014年、北海）25、（10分）如图①，E是正方形ABCD的边BC上的一个点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在射线EP上截取线段EF，使得EF=AE；过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.（1）、求证：FG=BE;（2）、连接CF，如图②，求证CF平分∠DCG；（3

）、当=时，DA求sin∠CFE的值.