七年级下册数学提高讲义第03讲《整式的乘法与平方差公式提高》教案

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【文档说明】七年级下册数学提高讲义第03讲《整式的乘法与平方差公式提高》教案.doc,共(13)页,269.500 KB,由小喜鸽上传

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以下为本文档部分文字说明:

1学科教师辅导讲义学员编号:年级:七年级课时数:3学员姓名:辅导科目:数学学科教师:授课主题第03讲---整式的乘法与平方差公式授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握整式的乘法法则,能够准确计算整式乘法的计算题;②理解平方差公式,了解平方差公式的几何背景,会灵活运用平方差公式进

行计算。授课日期及时段T(Textbook-Based)——同步课堂一、知识框架二、知识概念(一)整式的乘法1、单项式与单项式相乘法则:把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数保持不变,作为积

的因式。2、单项式与多项式相乘法则:根据分配律用单项式乘以多项式的每一项,再把所得的积相加。公式如下:()(,,,mabcmambmcmabc都是单项式)3、多项式与多项式相乘法则:先用一个多项式的每一项乘以另一个

多项式的每一项,再把所得的积相加。公式如下:()()(,,,mnabmambnanbmnab都是单项式)体系搭建2(二)平方差公式1、平方差公式:22()()ababab,即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。公式的推导:2222()()ababaabab

bab。平方差公式的逆用即22()()ababab平方差公式的特点:(1)左边是两个二项式的积,,在这两个二项式中,有一项(a)完全相同,另一项(b和-b)互为相反数。(2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去符号相反项的平方

)(3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式和多项式。2、平方差公式的几何意义如图两幅图中,阴影部分的面积相等,第一个图的阴影部分的面积是:a2﹣b2,第二个图形阴影部分的面积是:(a+b)(a﹣b),则a2﹣b2=(a+b)(a

﹣b)平方差公式的几何意义还有很多,有兴趣的同学可以钻研一下。3、平方差公式的应用。平方差公式一般运用在化简求值,找规律简便计算中等。会涉及到平方差公式的逆用。考点一:整式的乘法例1、下列运算正确的是()A.(x2)3+(x3)2=2x6B.(x2)3•(x2)3=2x12C.x4•

(2x)2=2x6D.(2x)3•(﹣x)2=﹣8x5【解析】A例2、下列计算正确的是()A.(﹣2a)•(3ab﹣2a2b)=﹣6a2b﹣4a3bB.(2ab2)•(﹣a2+2b2﹣1)=﹣4a3b4C.(abc)•(3a2b﹣2ab2)=3a3b2﹣2a2b3D.(ab)2•(

3ab2﹣c)=3a3b4﹣a2b2c【解析】D例3、若(am+1bn)(a2m﹣1b2n)=a5b6(a、b均不等于1和0)则求m+n的值.【解析】解:(am+1bn)(a2m﹣1b2n)=a3mb3n=a5b6典例分析3m=,n

=2,m+n=+2=例4、“三角”表示3abc,“方框”表示﹣4xywz,则=【解析】根据题意得:原式=9mn×(﹣4n2m5)=﹣36m6n3。故答案为:﹣36m6n3例5、计算:(1)(﹣4ab3)(﹣ab)﹣(ab2)2(2)(1.25×108)×(﹣8×105)×(﹣3×1

03)(3)(x2y﹣xy2﹣y3)(﹣4xy2)(4)anb2[3bn﹣1﹣2abn+1+(﹣1)2003]【解析】(1)原式=a2b4(2)原式=3×1017(3)原式=﹣3x3y3+2x2y4+xy5(4)原式=3anbn+1﹣2an+1bn+3﹣anb2

例6、若(x2+px﹣)(x2﹣3x+q)的积中不含x项与x3项(1)求p、q的值;(2)求代数式(﹣2p2q)2+(3pq)﹣1+p2012q2014的值【解析】解:(1)(x2+px﹣)(x2﹣3x+q)=x4+(p﹣3)x3+(q﹣3p﹣)x2+(qp+1

)x+q,∵积中不含x项与x3项,∴P﹣3=0,qp+1=0∴p=3,q=﹣,(2)(﹣2p2q)2+(3pq)﹣1+p2012q2014=[﹣2×32×(﹣)]2++×(﹣)2=35例7、已知代数式(mx2+2mx﹣1)(xm+3nx+2)化简以后是一个四次多项式,并且不含

二次项,请分别求出4m,n的值,并求出一次项系数.【解析】解:(mx2+2mx﹣1)(xm+3nx+2)=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2,因为该多项式是四次多项式,所以m+2=4,解得:m=2,

原式=2x4+(6n+4)x3+(3+12n)x2+(8﹣3n)x﹣2∵多项式不含二次项∴3+12n=0,解得:n=,所以一次项系数8﹣3n=8.75考点二:平方差公式例1、下列等式成立的是()A.(a+4)(a﹣4)=a2﹣4B.2a2﹣3a

=﹣aC.a6÷a3=a2D.(a2)3=a6【解析】D例2、已知a=20162,b=2015×2017,则()A.a=bB.a>bC.a<bD.a≤b【解析】B例3、下列各式中不能用平方差公式计算的是()A.(2a+b)(2a﹣b)B.(2a+b)(b

﹣2a)C.(2a+b)(﹣2a﹣b)D.(2a﹣b)(﹣2a﹣b)【解析】C例4、计算:(1)(x+2)(x﹣2)(x2+4)(2)(2a+b)(2a﹣b)﹣4a(a﹣b)5(3)(4)4002﹣399×401(

5)(2x﹣3y)(3y+2x)﹣(4y﹣3x)(3x+4y)(6)(x+y)(x-y)+(2x+y)(2x-y)【解析】(1)原式=x4﹣16(2)原式=﹣b2+4ab(3)原式=12.32(4)原式=1(5)原式=1

3x2﹣25y2(6)原式=5x2-2y2例5、若(N+2005)2=123456789,求(N+2015)(N+1995)的值.【解析】解:∵(N+2015)(N+1995)=[(N+2005)+10][(N+2005)﹣10]=(N+2005)2﹣102(N+2005

)2=123456789∴原式=123456789﹣100=123456689例6、两个两位数的十位数字相同,一个数的个位数字是6,另一个数的个位数字是4,它们的平方差是220,求这两个两位数.【解析】解:设这两个两位数的十位数字是x,则这个两位数依次表

示为10x+6,10x+4,∴(10x+6)2﹣(10x+4)2=220解得:x=5∴这个两位数分别是56和54考点三:平方差公式的几何意义例1、乘法公式的探究及应用.(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是,长是

,面积6是(写成多项式乘法的形式)(3)比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式(用式子表达)(4)运用你所得到的公式,计算:①10.3×9.7②(x+2y﹣3)(x﹣2y+3)【解析】(1)a2﹣b2(

2)宽是:a﹣b,长是:a+b,面积是:(a+b)(a﹣b);(3)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;(4)10.3×9.7=(10+0.3)(10﹣0.3)=100﹣0.09=99.91(x+2y﹣3)(x﹣2y+3)=[x+(2y﹣3)][x﹣(2y﹣3)]=x2﹣(2y﹣3)2=x

2﹣(4y2﹣12y+9)=x2﹣4y2+12y﹣9例2、如图1所示,从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形,(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2,请

直接用含a、b的代数式表示S1和S2;(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.【解析】解:(1)∵大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,∴S1=a2﹣b2S2=(2a+2b)(a﹣b)=(a+b)(a﹣b);(2)根据题意得:(a+b)(a﹣b)=a

2﹣b2例3、如图,边长为a的大正方形是由边长为b的小正方形和四个全等的梯形拼成的,请利用此图证明平方差公式【解析】先求出梯形的高为(a﹣2b),再根据四个梯形的面积列出等式整理即可得证.7证明:∵四个梯形是全等梯形,∴梯形的高为∴四个梯形的面积

=4××(a+b)×=a2﹣b2整理得(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2P(Practice-Oriented)——实战演练课堂狙击1、下列运算中,正确的是()A.2x4﹣3x2=﹣x2B.2x4+3x2=5x6C.2x4•3x2=6x8D.2x4•3x2=6x

6【解析】D2、设(xm﹣1yn+2)•(x5my﹣2)=x5y3,则nm的值为.【解析】解:∵(xm﹣1yn+2)•(x5my﹣2)=xm﹣1+5myn+2﹣2=x5y3∴m﹣1+5m=5,n+2﹣2=3解得m=1,n=3∴nm=31=33、某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时,因抄错

运算符号,算成了加上﹣3x2,得到的结果是x2﹣4x+1,那么正确的计算结果是多少?【解析】这个多项式是(x2﹣4x+1)﹣(﹣3x2)=4x2﹣4x+1正确的计算结果是:(4x2﹣4x+1)•(﹣3x2)=﹣

12x4+12x3﹣3x24、若(x2+ax+1)•(﹣ax3)的展开式中,不含有x4项,则3a﹣1的值为【解析】解:(x2+ax+1)(﹣ax3)=﹣ax5﹣a2x4﹣ax3展开式中不含x4项,则a2=0∴a=0∴3a﹣1=1﹣1=05、计算:实战演练8(1)(﹣4xy3)•(xy)+(﹣

3xy2)2(2)3(3m﹣n)2•(3m﹣n)3•(n﹣3m)(3)(4)(﹣2x3y)•(3xy2﹣4xy+1)(5)(3x﹣2)(3x+2)﹣6(x2+x﹣1)(6)(2x2﹣4)(2x﹣1﹣x)【解析】(1)原式=7x2y4(2)原式==﹣(3m﹣n)6(3)原式=﹣x4y4z﹣3x4y4

z=﹣x4y4z(4)原式=﹣6x4y3+8x4y2﹣2x3y(5)原式=3x2﹣6x+2(6)原式=x3﹣2x2﹣2x+46、当m、n为何值时,x[x(x+m)+nx(x+1)+m]的展开式中,不含有x2和x3的项?【解析】x[x(x+m)+nx(x+1)+m]=x(x2+

mx+nx2+nx+m)=(1+n)x3+(m+n)x2+mx,根据结果中不含x2和x3的项,得到1+n=0,m+n=0,解得:m=1,n=﹣17、若(x2+nx+3)(x2﹣3x+m)的展开式中不含x2和x3项,求

m,n的值【解析】解:原式的展开式中,含x2的项是:mx2+3x2﹣3nx2=(m+3﹣3n)x2含x3的项是:﹣3x3+nx3=(n﹣3)x3由题意得:,解得8、化简求值:已知:(x+a)(x﹣)的结果中不含关

于字母x的一次项,求(a+2)2﹣(1﹣a)(﹣a﹣1)的值.9【解析】(x+a)(x﹣)=x2+ax﹣x﹣a=x2+(a﹣)x﹣a由题意得a﹣=0则a=(a+2)2﹣(1﹣a)(﹣a﹣1)=a2+4a+4+

1﹣a2=4a+5当a=时,原式=4×+5=119、如图(1)所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,如图(2)是由图(1)中阴影部分拼成的一个长方形.(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积:a2﹣b2、(a+b)(a﹣b).(2)请问以上结果可以验证哪个乘法公

式?a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).(3)试利用这个公式计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1.【解析】(1)∵大正方形的面积为a2,小正方形的面积为b2,故图(1)阴影部

分的面积值为:a2﹣b2,图(2)阴影部分的面积值为:(a+b)(a﹣b).故答案为:a2﹣b2,(a+b)(a﹣b)(2)以上结果可以验证乘法公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)故答案为:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)(3)原式=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(21

6+1)(232+1)+1=264﹣1+1=264课后反击1、下列各题,计算正确的是()A.﹣3a2•4a3=﹣12a6B.(x3)2=x9C.(﹣3m3)3=﹣9mx9D.(﹣xn)2=x2n【解析】D102、化简:3(x﹣y

)2•[﹣(y﹣x)3][﹣(x﹣y)4]【解析】原式=3(x﹣y)2•[﹣(y﹣x)3][﹣(x﹣y)4]=3(y﹣x)2•[﹣(y﹣x)3][﹣(y﹣x)4]=3×(﹣)×(﹣)×(y﹣x)9=(y﹣x)93、通过计算几何图形的面积可表示一些代

数恒等式,如图可表示的代数恒等式是()A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.2a(a+b)=2a2+2abD.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2【解析】C4、计算:(1)(﹣a

2b)(b2﹣a+)(2)﹣6a3b•(﹣2ab2c)(3)﹣2a2b(3ab2﹣ab﹣1)(4)(5a2﹣a+1)(﹣3a2)【解析】(1)原式=﹣a2b3+a3b﹣a2b(2)原式=12a4b3c(3)原式=﹣6a3b3+2a3b2+2a2b(4)原式=﹣15a4+a3﹣3a25、某同学在计

算一个多项式乘以﹣2a时,因抄错运算符号,算成了加上﹣2a,得到的结果是a2+2a﹣1,那么正确的计算结果是多少?【解析】∵计算一个多项式乘以﹣2a时,因抄错运算符号,算成了加上﹣2a,得到的结果是a2+2a﹣1,∴这个多

项式为:a2+2a﹣1+2a=a2+4a﹣1,∴正确的计算结果是:﹣2a(a2+4a﹣1)=﹣2a3﹣8a2+2a6、(1)(2+1)(22+1)(24+1)…(22n+1)+1(n是正整数)11(2)(

3+1)(32+1)(34+1)…(32014+1)﹣【解析】解:(1)原式=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)…(22n+1)+1=(22﹣1)(22+1)(24+1)…(22n+1)+1=(24﹣1)(24+1)…(22n+1)+1=24n﹣1+1=24n(2)原式

=(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)…(32014+1)﹣=(32﹣1)(32+1)(34+1)…(32014+1)﹣=(34028﹣1)﹣=﹣7、如图,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若用x、y表示四个相同长方

形的两边长(x>y),给出以下关系式:①x+y=m;②x﹣y=n;③xy=.其中正确的关系式的个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】解:由图形可得:①大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽,

故x+y=m正确;②小正方形的边长=长方形的长一长方形的宽,故x﹣y=n正确;③大正方形的面积一小正方形的面积=4个长方形的面积,故xy=正确,所以正确的个数为3选D1、【2016常州】先化简,再求值(x﹣1)(x﹣2)﹣(x+1)2,其中x=.【解析】解:(x﹣1)(x﹣2

)﹣(x+1)2=x2﹣2x﹣x+2﹣x2﹣2x﹣1直击中考12=﹣5x+1当x=时,原式=﹣5×+1=﹣2、【2015珠海】计算﹣3a2×a3的结果为()A.﹣3a5B.3a6C.﹣3a6D.3a5【解析】A3、【2015佛山】若(x

+2)(x﹣1)=x2+mx+n,则m+n=()A.1B.﹣2C.﹣1D.2【解析】CS(Summary-Embedded)——归纳总结1、幂的乘方的意义:幂的乘方指的是几个相同的幂相乘,如53()a是3个5a相乘,读作a的五

次幂的三次方,()mna是n个ma相乘,读作a的m次幂的n次方。2、幂的乘方的运算性质:()(,mnmnaamn都是正整数),就是说,幂的乘方,底数不变,指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为()(,,pmnmnpaamnp都是

正整数)3、幂的乘方的运算性质的逆用:()()(,mnmnnmaaamn都是正整数)1、积的乘方的意义:积的乘方指底数是乘积形式的乘方,如3()()nabab、等2、积的乘方的运算性质:()(nnnababn是正整数),就是说,积的乘方等于把积中的每一个因式分

别乘方,再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为()(nnnnabcabcn是正整数)3、积的乘方的运算性质的逆用:()(nnnababn是正整数)本节课我学到了重点回顾名师点拨学霸经验13我需要努力的地方是

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