【文档说明】《图形中动点的运动》（著名机构整理）-2020年中考数学专题复习.doc，共(13)页，2.298 MB，由小喜鸽上传

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以下为本文档部分文字说明：

1我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学习了新的图形——圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系.1.圆中点的运动产生函数图象问题【例1】⑴如图，BC是D的直径，A为圆上一点．点P从点A出发，

沿AB运动到B点，然后从B点沿BC运动到C点．假如点P在整个运动过程典题精练思路导航知识互联网题型一：因动点产生的函数关系问题DCBA图形中动点的运动2GFDBEOAC中保持匀速，则下面各图中，能反映点P与点D

的距离随时间变化的图象大致是（）距离时间O距离时间O距离时间O距离时间OA．B．C．D．⑵如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿线段OCCD线段DO的路线作匀速运动．设运动时间为t秒，APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t的函数关系最恰当的是（）9

045Oyt4590tyO9045Oyt4590tyOA．B．C．D．⑶如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，2AB，设弦AP的长为x，APO△的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图

象大致是（）DCBAyxxyyxyx1212121221122112⑷如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，G为半圆中点,当点C在AG上运动时，设AC的长为

x，CF+DE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）ABCD【解析】⑴B．⑵C．⑶A．⑷B．2.因动点产生的面积问题PODCBAOyxOOOxxxyyy3【例2】如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC

=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（04t≤≤）．解答下列问题：BCPAQQ＇

QAPCB图1图2（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（4）如图2，把△AQ

P沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．【答案】∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．（1）BP=2t，则AP=10-2t．∵PQ

∥BC，∴APAQABAC，即1022108tt，解得t=209，∴当t=209s时，PQ∥BC．（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．∴PD∥BC，∴APPDABBC，即102106tPD，解得PD=6-65t．

S=12×AQ×PD=12×2t×(6-65t)=-65t2+6t=-65(t-52)2+152，∴当t=52s时，S取得最大值，最大值为152cm2．（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，则有S△AQP=12S△ABC，而S△ABC=12AC•BC=24，∴此时S△A

QP=12．由（2）可知，S△AQP=-65t2+6t，∴-65t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，∵△=(-5)2-4×1×10=-15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．（4）假设存在时刻t，使

四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．4PNMDCBA如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，∴APPDADABBCAC，即1021068tPDAD，解得：PD=6-65t，AD=8-85t，∴QD=AD-AQ=8

-85t-2t=8-185t．在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（8﹣185t）2+（6﹣65t）2=（2t）2，化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=2513，∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合

题意，舍去，∴t=2513．由（2）可知，S△AQP=-65t2+6t∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（-65t2+6t）=2×[-65×(2513)2+6×2513]=2400169cm2．所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此

时菱形的面积为2400169cm2．图2图1BCDPAQQ＇QAPDCB1.因动点产生的等腰三角形问题【例3】如图，四边形ABCD为矩形，43ABAD，，动点M从D点出发以1个单位/秒的速度沿DA向终点A运动，动点N从A点出发以2个单位/秒的速度沿AB向终

点B运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N作NPAB交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．典题精练题型二：因动点产生的特殊图形问题5CBANM⑴请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）⑵试求MPA△的面积S与时间x秒的函数关系

式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；⑶在这个运动过程中，MPA△能否为一个等腰三角形．若能，求出所有x的对应值；若不能，请说明理由．【解析】⑴32x；⑵21139322224SAMANxxx

其中02x≤，∴当32x时，S取得最大值94．⑶由⑴可知：52APx．①若AMAP，则532xx，解得67x，②若AMMP，则过P点作PQAD于Q，易得AQPN是矩形，32AQPNx，2PQANx又3AMPMx，则353322MQ

xxx，∴22252332xxx，解得1236037xx，（舍去）∴3637x，另解：过点M作MEAC.3sinsin5AMEBAC∴335AEx，∴335AEx

又12AEAP，∴3153522xx，解得3637x.③若APMP，则过P点作PHAD于H，易得AHPN是矩形，32AHPNx，且11322AHAMx，∴31322xx，解得34x．综上所述，若MPA△可以成为等腰三角形，满足条件的x的值可以为63637

374，，．2.因动点产生的直角三角形问题【例4】如图，已知AB、是线段MN上的两点，4MN，11MAMB，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC△，

设ABx．6⑴求x的取值范围；⑵若ABC△为直角三角形，求x的值.【解析】⑴在ABC△中，∵1AC，ABx，3BCx．∴1313xxxx，解得12x．⑵①若AC为斜边，则221(3)xx，即2340xx，无

解．②若AB为斜边，则22(3)1xx，解得53x，满足12x．③若BC为斜边，则22(3)1xx，解得43x，满足12x．∴53x或43x．3.因动点产生的特殊四边形问题【例5】如图，

在矩形ABCD中，20cmBC，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若cmBQx0x，则2cmAPx，CM=3xcm，2cmDNx．⑴当x为何值时，以P

Q，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；⑵当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；⑶以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果

不能，请说明理由．【解析】⑴当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由2220xx得1211x，2211x（舍去）因为3421120BQCMxx

，此时点Q与点M不重合．所以211x符合题意．②当点Q与点M重合时，由320xx得5x此时22520DNx，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为211．⑵由⑴知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，NMQPDC

BA7由220(3)20(2)xxxx，解得120()2xx舍去，．当2x时，四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由220(3)(2)20xxxx，解得1210()4xx舍去，．当4x时四边形NQMP是平行四边形．所以当24xx或时，

以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．⑶过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2xx，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PENF，即223xxxx

．解得120()4xx舍去，．由于当4x时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．【例6】如图，在ABC△中，10cmABAC，16cmBC，4cmDE．动线段DE（端

点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EFAC∥交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连接DF，设运动的时间为t秒(0t≥)．⑴直接写出用含t的代数式表示线段BE、E

F的长；⑵在这个运动过程中，DEF△能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；⑶设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．【解析】⑴4cmBEt，54cm8EFt．⑵分三种情

况讨论：TQPCLKBSAMNCEDBPFACDEBFAFDECBAFEDCBAFCEB(D)A8①当DFEF时，有EDFDEFB∠∠∠，∴点B与点D重合，∴0t．②当DEEF时，∴4854t，解得：125t．③当DEDF时，有DFEDEFBC＝＝＝，∴DEFA

BC△∽△．∴DEEFABBC，即54481016t，解得：15625t．综上所述，当0t、125或15625秒时，DEF△为等腰三角形．⑶设P是AC的中点，连接BP，∵EFAC∥，∴F

BEABC△∽△．∴EFBEACBC，∴ENBECPBC．又BENC∠∠，∴NBEPBC△∽△，∴NBEPBC＝．∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．如图，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．∵M、N分别

是DF、EF的中点，∴MNDE∥，且122STMNDE．分别过点T、P作TKBC⊥，垂足为K，PLBC⊥垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，当0t时，550482EF，11533sin22254TKEFDEF

∠；当12t时，10EFAC，113sin103225PLACC．∴39344PRPLRLPLTK．∴99242SSTPR平行四边形．∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为29cm2．9题型一因动点产

生的函数关系问题巩固练习【练习1】如图，直线4yx与两坐标轴分别交于A、B两点，边长为2的正方形OCEF沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为04aa≤≤，正方形OCEF与△AOB重叠部分的面积为S

．则表示S与a的函数关系的图象大致是（）D.C.B.A.2442SO2442aSOOSa24422442aSOD.C.B.A.2442aSO2442aSOOSa24422442aSOD.C.B.A.2442aSO2442aSOOSa24422442aSOD.C.B.

A.2442aSO2442aSOOSa24422442aO【解析】D.题型二因动点产生的特殊图形问题巩固练习【练习2】如图，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），8BC，E为线段BC上的动点（

不与B、C重合）．连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy．⑴求y关于x的函数关系式；⑵若8m，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？⑶若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【解析】⑴因为ED

C与FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB．又因为90CB°，所以DCEEBF△∽△．因为DCEBCEBF，即8mxxy．整理，得y关于x的函数关系为218yxxmm．⑵如图1，

当8m时，22114288yxxx．复习巩固ABCDEF1OFECBAyx10因此当4x时，y取得最大值为2．⑶若12ym，那么21218xxmmm．整理，得28120xx．解得2x或6x．要使DEF△为等腰三角形，只存在EDE

F的情况．因为DCEEBF△≌△，所以CEBF，即xy．将2xy代入12ym，得6m（如图2）；将6xy代入12ym，得2m（如图3）．图1FEDCBAABCDEF图2图3FEDCBA【练习3】如图，已知ABC△中，ACB90°，3AC，4BC，P、Q分别是边AB、B

C上的动点，且点P不与A、B重合，点Q不与B、C重合，当CQ的长取不同的值时，CPQ△是否可能为直角三角形？若可能，请求出CQ的范围；若不能，说明理由．【解析】CPQ△为直角三角形，可能有三种情况，但点P不与点A重合，所以么PCQ不可能为直角，因此有两种情况

：⑴若CQP为直角，如图，则CQ的范围为04CQ⑵若CPQ为直角，则点P在以CQ为直径的O上，而点P在边AB上，就必须O与边AB有公共点，即O与边AB相切或相交，我们先从O与边AB相切入手求出CQ的长：如图，连结OP，则BOPBAC△∽△，得BOOPBAAC．设COx，得453xx

，解得32x，∴3CQ∴若CPQ为直角，CQ的范围为34CQ≤．【点评】从相等到不等求范围，要抓住变化中图形的特殊位置，而在直线与圆的位置关系中则以相切作为解题的突破口．【练习4】已知：如图，在直角梯形COAB中，OCAB∥，以O为原点建立平

面直角坐标系，ABC，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)ABC，，，，，，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．⑴求直线BC

的解析式；⑵若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积PQCBAOPQCBAPQCBA11的27？⑶动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设OPD△的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；⑷当

动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．【解析】⑴直线BC的解析式为344yx．⑵如图1，过点D作DMy轴，垂足为M．在RtCDM△中，152CDCB，4DM，3CM．所以11

74478222OCDOPDOPDCSSStt△△四边形．梯形COAB的面积14108562COABS梯形．解方程7285627t，解得167t．因此，当167t时，四边形OPDC的面积是梯形COAB的面积的27．⑶如图1，①当P在线段OA上时，08

t≤，72St；②如图2，当P在线段AB上时，818t≤，244St；③如图3，当P在线段BD上时，1823t，818455St．⑷四边形CQPD不可能成为矩形．说理如下：如图4，当PDC

D时，作PQPD交x轴于Q．在RtBDP△中，5BD，52533BPBD．在RtAPQ△中，53AP，52539PQAP．所以PQCD，因此四边形CQPD不是矩形．ABDCOPxyABDCOxy（此图备用）图1MyxCDBAPO12FOPABDCx

yM图2N图3MyxCDBAPOQOPABDCxy图4【练习5】已知：如图①，在RtACB△中，90C，4cmAC，3cmBC，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运

动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为(s)t（02t）如图②，连接PC，并把PQC△沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不

存在，说明理由．【解析】如图过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，若四边形PQP′C是菱形，那么PQ＝PC．∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．∴PNBPACAB，∴45PNt，∴45tPN，∴45tQMCM，∴442455

ttt，解得：109t．∴当109t时，四边形PQP′C是菱形．此时37353PMt，4859CMt，在Rt△PMC中，2249645059819PCPMCM，∴菱形PQP′C边长为5059．AQCPB图①AQCPBP图②P′BAQPCMN13【测试1】如图：

等边ABC△中，边长3AB，点D在线段BC上，点E在射线AC上，点D沿BC方向从B点以每秒1个单位的速度向终点C运动，点E沿AC方向从A点以每秒2个单位的速度运动，当D点停止时E点也停止运动，设运动时间为t秒，若D、E、C三点围成的图形的面

积为y来表示，则y与t的图象是（）Oxy12243Oxy12243Oxy1224334221yxOABC【解析】B【测试2】矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．⑴求证：PODQOB≌△△；⑵若8AD厘米，6AB

厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．【解析】⑴证明：∵四边形ABCD是矩形，∴ADBC∥，∴PDOQBO，又OBOD，PODQOB，∴POD

QOB≌△△⑵8PDt∵四边形ABCD是矩形，∴90A，∵AD8cm，AB6cm，∴BD10cm，∴OD5cm．当四边形PBQD是菱形时，PQBD，∴PODA，又ODPADB，∴ODPADB∽△△，∴ODAD

PDBD，即58810t，解得74t，即运动时间为74秒时，四边形PBQD是菱形．课后测成就EDCBAOCQBDPA