【文档说明】《全等到相似的转化》（著名机构整理）-2020年中考数学专题复习.doc，共(10)页，2.023 MB，由小喜鸽上传

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以下为本文档部分文字说明：

1【例1】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将ABE△沿直线AE翻折，点B落在点B处．⑴当1BECE时，CF______cm，⑵当2BECE时，求sinD

AB的值；知识互联网典题精练全等到相似的转化题型一：全等到相似的转化（对称型）DCBA2⑶当BExCE时（点C与点E不重合），请写出ABE△翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不

要解题过程）．【解析】⑴CF6cm；⑵①如图1，当点E在BC上时，延长AB交DC于点M，∵ABCF∥，∴ABEFCE△∽△，∴BEABCEFC．∵2BECE，∴3CF．∵ABCF∥，∴BAEF．又BAEBAE，∴BAEF．∴MAMF．设MA

MFk，则3MCk，9DMk．在RtADM△中，由勾股定理得：22296kk，解得132kMA．∴52DM．∴5sin13DMDABAM；②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交BE

于点N，同①可得NANE．设NANEm，则12BNm．在RtABN△中，由勾股定理，得222126mm，解得152mAN．∴92BN．∴3sin5BNDABAN．⑶①当点E在BC上时，181xyx；（所求

ABE△的面积即为ABE△的面积，再由相似表示出边长）②当点E在BC延长线上时，1818xyx．【例2】在OAB△和OCD△中，OAOB，OCOD，AOBCOD，AC、BD交于点P．⑴如

图1，60AOBCOD°，则APD，AC与BD的数量关系是；典题精练题型二：全等到相似的转化（旋转型）图1B′MFEDCBA图2B′NFEDCBA3α图2DPCABO2121ααPBODC图3A图1PODCBA⑵如图2，AOBCOD，

则APD的度数为（用含的式子表示），AC与BD之间的数量关系是；填写你的结论，并给出你的证明；⑶请你继续完成下面探索：如图3，在OAB△和OCD△中，OAkOB，OCkOD，AOBCOD，则APD的度数为（用含的式子表示），AC与BD之间的数量关系是；填写你

的结论，并给予证明．【分析】此题考察学生对共顶点的三角形的全等与相似.解决这里夹角的主要思路是我们常见的模型“八字角”.【解析】⑴120，相等；⑵180，相等；∵AOBCOD，∴AOCBOD∴SASAOCBOD≌△，∴ACBD，OACOBD∵12，∴

AOBAPB∵AOB，∴APB，∴180APD°．⑶180，ACkBD.易证AOCBOD△∽△，∴ACkBD，ODBOCA∵12，∴DOCDPC，∴180APD°，∴

ACkBD．【例3】如图，直线MN与线段AB相交于点O,点C和点D在直线MN上，且45ACNBDN.⑴如图1所示，当点C与点O重合时，且AOOB，请写出AC与BD的数量关系和位置关系；⑵将图

1中的MN绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，AOOB，⑴中的AC与BD的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑶将图2中的OB拉长为AO的k倍得到如图3，求ACBD的值．图1NMDBC(O)A图2D

MNOCBAABCONMD图34FECBAB'C'【答案】⑴,ACBDACBD；⑵仍然成立.证明:过点A作AEMN于E,过点B作BFMN于F∴90AEOBFO∵AOEBOF,AOOB∴AOE≌BOF∴AEBF∵45ACNBDN∴2,2ACAEB

DBF∴ACBD延长AC与DB的延长线相交点H∴45DCHACN又∵45BDN∴90CHD∴ACBD⑶过点A作AEMN于E,过点B作BFMN于F易证AOEBOF△∽△∴AEAOBFOB．∵OBkAO，∴1AOOBk．由⑵知2,2ACAEB

DBF．212ACAEAEBDBFkBF．【例4】如图，RtABC△是由RtABC△绕点A顺时针旋转得到的，连结CC交斜边于点E，CC的延长线交BB于点F．⑴证明：ACEFBE△∽△；⑵设ABC，CAC，试探索、满足什

么关系时，ACE△与FBE△是全等三角形，并说明理由．【解析】⑴证明：∵RtABC△是由RtABC△绕点A顺时针旋转得到的，∴ACAC，ABAB，CABCAB∴CACBAB

∴ACCABB又AECFEB∴ACEFBE△∽△HEF图2DMNOCBAFEABCONMD图35HGNPQMFEDCBAMHGFQPNEDCBANPQMFEDCBA⑵解：当2时，ACEFBE△≌△在ACC△中，∵ACAC∴1801

809022CACACC°°在RtABC△中，90ACCBCE°，即9090BCE，∴BCE．∵ABC，∴ABCBCE∴CEBE由⑴知：ACEFBE△∽△，∴ACEFBE△≌△

.【例5】如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交BC、CD的边于E、F两点．⑴求证：MEMF；⑵若将原题中的正方形改为矩形，且24BCAB，其他

条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系．【解析】⑴证明：过点M作MGBC于点G，MHCD于点H.∴90MGEMHF∠∠.∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MGMH.又∵90EMGGMQHMFGMQ∠∠∠∠∴EMGHMF∠∠在MGE△和MHF△中EMGHMFMGM

HMGEMHF∠∠∠∠∴MGEMHF△≌△.∴MEMF.⑵解：当MN交BC于点E，MQ交CD于点F时.过点M作MGBC于点G，MHCD于点H.∴∠MGE=∠MHF=90.DCBA6∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴∠EMG+∠GMQ=∠H

MF+∠GMQ=90.∴∠EMG=∠HMF.在△MGE和△MHF中，EMGHMFMGEMHF∴△MGE∽△MHF.∴MHMGMFME.∵M为矩形对角线AC、BD的交点，∴MB=MD=MC又∵MG⊥BC，MH⊥C

D，∴点G、H分别是BC、DC的中点.∵24BCAB，∴BCMHABMG21,21.∴21MFME.【例6】如图，ABCDEF△和△是两个全等的等腰直角三角形，90BACEDF，DEF△的顶点E与ABC△的斜边BC的中点

重合．将DEF△绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且APAQ时，求证：BPECQE△≌△；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上

时，求证：BPECEQ△∽△；并求当BPa，92CQa时，PQ、两点间的距离（用含a的代数式表示）．【解析】（1）证明：∵ABC△是等腰直角三角形，∴45BCABAC，，∵APAQ，∴BPCQ，∵EBC是的中点，∴BECE，在BPEC

QE△和△中，7∴BECEBCBPCQ∴BPECQESAS△≌△（）；（2）解：连接PQ，∵ABCDEF△和△是两个全等的等腰直角三角形，∴45BCDEF，∵BEQEQCC，即BEPDEFEQCC，∴4545BE

PEQC，∴BEPEQC，∴BPECEQ△∽△，∴BPBECECQ，∵BPa，92CQa，BECE，∴322BECEa，∴32BCa，∴•sin453ABACBCa，∴3

22AQCQACaPAABBPa，，在RtAPQ△中，2252PQAQAPa．8PFEDCBAGFOBEDCA题型一全等到相似的转化（对称型）【练习1】如右图，在正方形ABCD中，AB=1，BE⊥AP于E，DF⊥AP于F，若B

PBC=m(m为常数)，则AFPE=.1m【练习2】如图，已知OAOB，4OA，3OB，以AB为边作矩形ABCD，使ADa，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．OEDCBA⑴当a为何值时，OABED

A△≌△？请说明理由，并求此时点C到OE的距离．⑵当a为何值时，C到OE的距离是15?【解析】⑴当5a时，OABEDA△≌△∵4OA，3OB，∴5AB，当5a时，ADAB，∵BAOADEBOAAED，∴OABEDA△≌△过C作CFOE，过B作BG

CF．∵ABCD为矩形．又∵ADAB，∴ABCD为正方形∴BCAB，CBGABO，BGCBOA∴BCGBAO△≌△，∴4CGOA∴3GFOB，∴7CF⑵当15a时，C到OE的距离是15

；∵ADa，∴BCa，BCGBAO△∽△∴BCCGABAO，∴45CGa，3GFBO∴435CFa，∴43155a，∴15a题型二全等到相似的转化（旋转型）【练习3】现有一副直角三角板，按下列要求摆放：⑴如图1，固定等腰直角三

角板ABC，AOBC于O，另一个直角三角板DEF的复习巩固OBCAEDFGABCDEO9直角顶点D与O重合，现让三角板DEF绕点O旋转，保证DF、DE分别交AB、AC于点M、N．试探求:ANBM的值；

⑵如图2，交换两块三角板的位置，固定直角三角板ABC，AOBC于O，另一个等腰直角三角板DEF的直角顶点D与点O重合，DF、DE分别交AB、AC于点M，N，试问:ANBM的值又将如何变化？图1(D)ONMFECBA图2(D)ONMFECBA【解析】⑴BOFAOE，45MBOOAN°

，AOBO，得MBONAO△≌△，:1ANBM．⑵由MBONAO△∽△，得::ANBMAOBO，又由ABOABC△∽△，得::AOBOACAB，故::ANBMACAB．【练习4】如图1，在RtABC△中，90C

°，ACBC，D是AB边上一点，E是AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DFDE，DF与射线BC相交于点F．⑴如图2，如果点D是边AB的中点，求证：DEDF；⑵如果:ADDBm，求:DEDF的值.图1FEDCBA图2A

BCDEF⑴如图，连结CD，那么CD是等腰直角三角形ABC的斜边上的高．根据“角边角”可以证明CDEBDF△≌△，从而得到DEDF．⑵如图，作DMAC，DNBC，垂足分别为点M、N，那么ADM△与BDN△都是等腰直角三角形，::DMDNDADBm．因为MDE与

NDF都是EDN的余角，所以MDENDF．又因为90DMEDNF°，所以DMEDNF△∽△．因此::DEDFDMDNm．【练习5】填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线C

E的同侧，ABAC，ECED，BACCED，直线AE、BD交于点F．⑴如图1，若60BAC°，则AFB_________；如图2，若90BAC°，则AFB_________；⑵如图3，若BAC，则AFB_______

__(用含的式子表示)；FEDCBANMABCDEF10⑶将图3中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图4或图5．在图4中，AFB与的数量关系是___________；在图5中，AFB与的数量关系是___________．请你任选其中一个结论证明．⑴60A

FB°，45AFB°；⑵1902AFB°；⑶图4中：1902AFB°；图5中：1902AFB°．1902AFB°的证明如下：如图4，设AC与BD的交点为Q∵ABAC，ECED，BACCED．∴ABCEDC△∽△，∴ACBECD

，BCACDCEC，BCDACE∴BCDACE△∽△，得CBDCAE∵AQFBQC∴18019022BACAFBACB°°．AABBCCDDEEFF图4图5QAAABBBCCCDDDEEEFFF图1图2图3