【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.5.1第一课时《两角差的余弦公式》导学案-2019人教A版.doc，共(12)页，293.500 KB，由小喜鸽上传

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5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一课时两角差的余弦公式课标要求素养要求1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程；2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.在熟知两角差余弦公式的

意义的基础上，重点提升学生的数学运算、逻辑推理的素养.教材知识探究某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°，∠CAB＝15°，求这座

电视发射塔的高度.设电视发射塔的高度CD＝x.则AB＝AC·cos15°＝60cos15°，BC＝ACsin15°＝60sin15°，BD＝AB·tan60°＝60·cos15°·tan60°＝603cos15°

，∴x＝BD－BC＝603cos15°－60sin15°，如果能求出cos15°，sin15°的值，就可求出电视发射塔的高度了.问题1.30°＝60°－30°，那么cos30°＝cos60°－cos30°吗？类似的15°＝45°－30°，那么cos15°＝cos45°－cos30°吗？α，β∈R，

则cos(α－β)＝cosα－cosβ吗？2.问如何用α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？提示1.cos30°≠cos60°－cos30°；cos15°≠cos45°－cos30°；cos(α－

β)≠cosα－cosβ.2.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.1.公式：对于任意角α，β都有cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β.公式简记为余余正正、符号反2.简记符号任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之

间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β).教材拓展补遗[微判断]1.对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cosα－cosβ.(×)提示例如α＝β＝π4，cos(α－β)＝cos0＝1，cosα－cosβ＝

0，∴不成立.2.存在角α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.(√)3.cos175°cos55°＋sin175°sin55°＝－12.(√)[微训练]1.cos54°cos24°＋cos36°sin24°＝________.解析c

os54°cos24°＋cos36°sin24°＝cos54°cos24°＋sin54°sin24°＝cos30°＝32.答案322.cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(

x－18°)＝________.解析原式＝cos(x＋27°－x＋18°)＝cos45°＝22.答案22[微思考]1.你能利用两角差的余弦公式推导cos3π2－α＝－sinα吗？提示cos3π2－α＝cos3π

2cosα＋sin3π2sinα＝－sinα.2.在差角余弦公式中，α，β都是具体的角吗？提示公式中的α，β都是任意角，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，即几个角的组合，如cosα＋β2－α－β2中的α＋β2，α－β2分别相当于公式中的角α，β.题型一两角差的余弦公式的

简单应用正用、逆用、灵活用【例1】(1)cos(－15°)的值是()A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋24(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)

＝________.(3)cos7°－sin15°sin8°cos8°＝________.解析(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝32×22＋12×22＝6＋24.(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)

]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝cos（15°－8°）－sin15°sin8°cos8°＝cos15°cos8°＋sin15°sin8°－sin15°sin8°cos8°＝cos15°cos8

°cos8°＝cos15°＝cos(60°－45°)＝6＋24.答案(1)D(2)12(3)6＋24规律方法利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在

转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.【训练1】求下列三角函数式的值：(1)sinπ12；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.解(1)原式＝cos(π2－π12)＝cos5π12＝

cos[π4－(－π6)]＝cosπ4cos(－π6)＋sinπ4sin(－π6)＝6－24.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.题型二给值求值【例2】已知α，β为锐角，且cosα＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos__β的

值.(1)β＝(α＋β)－α(2)在求sin(α＋β)时需注意α＋β的范围，注意符号的选取解∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π.由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝1－－16652＝6365.又∵cosα＝45，∴s

inα＝35.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－1665×45＋6365×35＝513.规律方法给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一

些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).【训练2】已知sinα＝23，α∈

π2，π，cosβ＝－34，β∈π，3π2，求cos(α－β)的值.解∵α∈π2，π，sinα＝23，∴cosα＝－1－sin2α＝－53.又β∈π，3π2，cosβ＝－34，∴sinβ＝－1－cos2β＝－74.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋

sinαsinβ＝－53×－34＋23×－74＝35－2712.题型三给值求角【例3】已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈0，π2，求β的值.注意β＝（α＋β）－α解∵α，β∈0，π2且cosα＝17，cos(α＋

β)＝－1114，∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝1－cos2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝1

2.又∵β∈0，π2，∴β＝π3.规律方法已知三角函数值求角的解题步骤(1)求所求角的某种三角函数值(为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数).(2)结合三角函数值及角的范围求角.【训练3】已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2，求β

的大小.解∵sin(π－α)＝sinα＝437，0<α<π2，∴cosα＝17，又∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，又cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝3314.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β

)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝13＋3698＝12.又∵0<β<π2，∴β＝π3一、素养落地1.通过差角余弦公式的正用、逆用、变形用，重点提升学生的逻辑推理、数学运算等素

养.2.给角求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.有时需运用拆角、拼角等技巧.3.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：

(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值.确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.二、素养训练1.cos56°cos26°＋sin56°cos64°的值为(

)A.12B.－12C.32D.－32解析原式＝cos56°cos26°＋sin56°sin26°＝cos(56°－26°)＝cos30°＝32.答案C2.cos(－75°)的值()A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋24解析cos(－75°)＝cos(－30°－45°)＝cos(－3

0°)cos45°＋sin(－30°)sin45°＝32×22－12×22＝6－24，故选C.答案C3.已知α是锐角，sinα＝23，则cos(π3－α)＝________.解析因为α是锐角，sinα＝

23，所以cosα＝53，所以cos(π3－α)＝cosπ3cosα＋sinπ3sinα＝12×53＋32×23＝5＋236.答案5＋2364.若cos(α－β)＝13，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.解析原式＝2＋2(sinαsinβ＋

cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝83.答案835.计算：12sin60°＋32cos60°＝________.解析原式＝sin30°sin60°＋cos30°cos60°＝cos(60°－30°)＝cos30°＝32.答案32基础达标一、选择题1.化简－sin(x＋

y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为()A.sin2xB.cos2xC.－cos2xD.－cos2y解析原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos2y，故选D.答案D2.cos295°sin70°－sin115°cos110°的值为()A.22B

.－22C.32D.－32解析原式＝－cos115°cos20°＋sin115°sin20°＝cos65°·cos20°＋sin65°sin20°＝cos(65°－20°)＝cos45°＝22.答案A3.已知cosα＝－35，α∈π2，π，sinβ＝－1213，β是第

四象限角，则cos(β－α)的值是()A.－3365B.6365C.－6365D.－1665解析由条件可得sinα＝45，cosβ＝513，则cos(β－α)＝cosβcosα＋sinαsinβ＝513×(－35)＋(－1213)×4

5＝－6365.答案C4.已知cosx－π6＝－33，则cosx＋cosx－π3＝()A.－233B.±233C.－1D.±1解析∵cosx－π6＝cosxcosπ6＋sinxsinπ6＝32cosx＋12sinx＝－

33.∴cosx＋cosx－π3＝cosx＋cosx·cosπ3＋sinxsinπ3＝32cosx＋32sinx＝332cosx＋12sinx＝－33×3＝－1，故选C.答案C5.已知

锐角α，β满足cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为()A.3365B.－3365C.5465D.－5465解析∵α，β为锐角，cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sinα＝45，sin(α＋β)＝1213

，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A.答案A二、填空题6.化简－cos(－50°)cos129°

＋cos400°cos39°＝________.解析原式＝－cos50°cos(90°＋39°)＋cos40°cos39°＝－sin40°(－sin39°)＋cos40°cos39°＝cos40°cos39°＋sin40°sin39

°＝cos(40°－39°)＝cos1°.答案cos1°7.已知α，β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝1010，则α－β＝________.解析由条件得sinα＝55，sinβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1

010×255＋55×31010＝22，又α－β∈(－π2，π2)，∴α－β＝±π4，又因为cosα>cosβ，α，β均为锐角，所以α<β，则α－β＝－π4.答案－π48.化简2cos10°－sin20°cos2

0°＝________.解析原式＝2cos（30°－20°）－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝3.答案3三、解答题9.已知cosα－cosβ＝12，sinα－sinβ＝－13

，求cos(α－β).解由cosα－cosβ＝12两边平方得(cosα－cosβ)2＝cos2α＋cos2β－2cosαcosβ＝14.①由sinα－sinβ＝－13两边平方得(sinα－sinβ)2＝sin2α

＋sin2β－2sinαsinβ＝19.②①＋②得2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1336.∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝5972，∴cos(α－β)＝5972.10.如图所示，在平面直角坐标系x

Oy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标标分别为210，255.求cos(α－β)的值.解依题意，得cosα＝210，cosβ＝255.因为α，β为锐角，所以

sinα＝7210，sinβ＝55，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝210×255＋7210×55＝91050.能力提升11.已知角α的终边过点P(－4，3).(1)求tan（3π＋α）sin（5π－α）－cosπ2＋α的值；(2)

若β为第三象限角，且tanβ＝43，求cos(α－β)的值.解(1)因为角α的终边过点P(－4，3)，所以sinα＝35，cosα＝－45，所以tan（3π＋α）sin（5π－α）－cosπ2＋α＝sinαcosαsinα＋sinα＝1

2cosα＝－58.(2)因为β为第三象限角，且tanβ＝43，所以sinβ＝－45，cosβ＝－35.由(1)，知sinα＝35，cosα＝－45，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝

－45×－35＋35×－45＝0.12.已知α，β为锐角且（cosα－cosβ）2＋（sinα－sinβ）2＝105.(1)求cos(α－β)的值；(2)若cosα＝35，求cosβ的值.解(1)∵（c

osα－cosβ）2＋（sinα－sinβ）2＝105，∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝25，∴cos(α－β)＝45.(2)∵cosα＝35，cos(α－β)＝45，α，β为锐角，∴sin

α＝45，sin(α－β)＝±35.当sin(α－β)＝35时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝2425.当sin(α－β)＝－35时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cos

αcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cosβ＝2425.