【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.5.1第一课时《两角差的余弦公式》PPT课件-2019人教A版.pptx，共(29)页，3.455 MB，由小喜鸽上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-115686.html

以下为本文档部分文字说明：

5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一课时两角差的余弦公式课标要求素养要求1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程；2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.在熟知两角差余弦公式的意义的基础上，重点提升学生的数学运算、逻辑推理的素养

.教材知识探究某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为60米，从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°，∠CAB＝15°，求这座电视发射塔的高度.

设电视发射塔的高度CD＝x.则AB＝AC·cos15°＝60cos15°，BC＝ACsin15°＝60sin15°，BD＝AB·tan60°＝60·cos15°·tan60°＝603cos15°，∴x＝BD－BC＝603cos15°－60sin15°，如果能求出cos

15°，sin15°的值，就可求出电视发射塔的高度了.问题1.30°＝60°－30°，那么cos30°＝cos60°－cos30°吗？类似的15°＝45°－30°，那么cos15°＝cos45°－cos30°吗？α，β∈R，则cos(α－β)＝cosα

－cosβ吗？2.问如何用α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？提示1.cos30°≠cos60°－cos30°；cos15°≠cos45°－cos30°；cos(α－β)≠cosα－cosβ.2.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.1.公式：对于任意角α，β都有

cos(α－β)＝.公式简记为余余正正、符号反2.简记符号任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α－β).cosαcosβ+sinαsinβ教材拓展补遗[微判断]1.对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cosα－co

sβ.()2.存在角α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.()提示例如α＝β＝π4，cos(α－β)＝cos0＝1，cosα－cosβ＝0，∴不成立.3.cos175°cos55°＋sin175°sin55°＝－12.()×√√[微训练]1.cos54

°cos24°＋cos36°sin24°＝________.解析cos54°cos24°＋cos36°sin24°＝cos54°cos24°＋sin54°sin24°＝cos30°＝32.答案322.cos(x＋27°)cos(x－1

8°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)＝________.解析原式＝cos(x＋27°－x＋18°)＝cos45°＝22.答案22提示cos3π2－α＝cos3π2cosα＋sin3π2sinα＝－sinα.[微思考]1.你能利用两角差的余弦公

式推导cos3π2－α＝－sinα吗？2.在差角余弦公式中，α，β都是具体的角吗？提示公式中的α，β都是任意角，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，即几个角的组合，如cosα＋β2－α－β2中的α＋β2，α－β2分别相当于公式中的角

α，β.题型一的简单应用【例1】(1)cos(－15°)的值是()A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋24(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.(3)cos7°－sin1

5°sin8°cos8°＝________.两角差的余弦公式正用、逆用、灵活用解析(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝32×22＋12×22＝6＋24.(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－2

5°)＝cos(－60°)＝cos60°＝12.(3)原式＝cos（15°－8°）－sin15°sin8°cos8°＝cos15°cos8°＋sin15°sin8°－sin15°sin8°cos8°＝cos15°cos8°cos

8°＝cos15°＝cos(60°－45°)＝6＋24.答案(1)D(2)12(3)6＋24规律方法利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.

(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.【训练1】求下列三角函数式的值：(1)sinπ12；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.解(1)原式＝cos(π2－π12)＝cos5π12＝cos[π4－(－π6)]＝co

sπ4cos(－π6)＋sinπ4sin(－π6)＝6－24.(1)β＝(α＋β)－α(2)在求sin(α＋β)时需注意α＋β的范围，注意符号的选取题型二给值求值【例2】已知α，β为锐角，且cosα＝45，cos(α＋β)＝－1665，

由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝1－－16652＝6365.解∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π.求cos_β的值.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝

－1665×45＋6365×35＝513.又∵cosα＝45，∴sinα＝35.规律方法给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意

观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).

【训练2】已知sinα＝23，α∈π2，π，cosβ＝－34，β∈π，3π2，求cos(α－β)的值.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－53×

－34＋23×－74＝35－2712.解∵α∈π2，π，sinα＝23，∴cosα＝－1－sin2α＝－53.又β∈π，3π2，cosβ＝－34，∴sinβ＝－1－cos2β＝－74.又∵β＝(α＋β)－α，题型三给值求角【例3

】已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈0，π2解∵α，β∈0，π2且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，注意β＝（α＋β）－α∴α＋β∈(0，π)，∴sinα＝1－cos2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）

＝5314.求β的值.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.又∵β∈0，π2，∴β＝π3.规律方法已知三角函数值求角的解题步骤(1)求所求角的某种三角函

数值(为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数).(2)结合三角函数值及角的范围求角.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)【训练3】已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2，求β的大小.

又∵0<β<π2，∴β＝π3解∵sin(π－α)＝sinα＝437，0<α<π2，∴cosα＝17，又∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，又cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝3314.＝17×1314＋437×3314＝13＋3698＝1

2.一、素养落地1.通过差角余弦公式的正用、逆用、变形用，重点提升学生的逻辑推理、数学运算等素养.2.给角求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标

角”换成“已知角”.有时需运用拆角、拼角等技巧.3.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值.确定用所求角的哪种

三角函数值，要根据具体题目而定.答案C解析原式＝cos56°cos26°＋sin56°sin26°＝cos(56°－26°)＝cos30°＝32.二、素养训练1.cos56°cos26°＋sin56°cos64°的值为()A.12B.－12C.32D.－32答

案C2.cos(－75°)的值()A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋24解析cos(－75°)＝cos(－30°－45°)＝cos(－30°)cos45°＋sin(－30°)sin45°＝32×22－12×22＝6－24，故选C.3.已知α是锐角，sinα＝23，则cos(π3－α

)＝________.解析因为α是锐角，sinα＝23，所以cosα＝53，所以cos(π3－α)＝cosπ3cosα＋sinπ3sinα＝12×53＋32×23＝5＋236.答案5＋2364.若cos(α－β)＝13

，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.解析原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝83.答案83解析原式＝sin30°sin60°＋cos30°cos60°＝cos(60°－30°)＝cos30°＝32.5.计算：12si

n60°＋32cos60°＝________.答案32