【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.5.2《简单的三角恒等变换》导学案-2019人教A版.doc，共(16)页，436.000 KB，由小喜鸽上传

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5.5.2简单的三角恒等变换课标要求素养要求1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想.2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.在对公式的推导和应用过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.教材知识探究同学们知道电脑输入

法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符

都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都非半角字符.问题1.任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？2.半角公式是如何推导出来的？3.半角公式的符号是怎样确定的？提示1.α2是α的半角，α是2α的半角.2.半角公式的推导是利

用公式cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.3.半角公式的符号是由半角所在的象限确定的.1.半角公式在利用公式时，注意符号的选取sinα2＝±1－cosα2.cosα2＝±1＋cosα2.tanα2＝

±1－cosα1＋cosα(无理形式).tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα(有理形式).2.辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ).其中tanφ＝ba，φ所在象限由a和b的符

号确定，或者sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.教材拓展补遗[微判断]1.sin15°＝±1－cos30°2.(×)提示sin15°＝1－cos30°2.2.对于α∈R，sinα2＝12si

nα都不成立.(×)提示∵sinα＝2sinα2cosα2，只有当cosα2＝1时sinα2＝12sinα才能成立.3.若5π<θ<6π，cosθ2＝a，则cosθ4＝1＋a2.(×)提示∵θ4∈5π4，3π2为第三象限角，故cosθ

4＝－1＋a2.[微训练]1.化简2sin2α1＋cos2α·cos2αcos2α的结果为________.解析原式＝2sin2α2cos2α·cos2αcos2α＝tan2α.答案tan2α2.函数f(x)＝5cosx＋12sinx的最小值为___

_____.解析f(x)＝13513cosx＋1213sinx＝13sin(x＋φ)(其中tanφ＝512)，∴f(x)min＝－13.答案－133.已知sinα＝55，cosα＝255，则tanα2＝________.解析因为sinα＝55>0，

cosα＝255>0，所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限，所以tanα2>0，故tanα2＝1－cosα1＋cosα＝1－2551＋255＝5－2.答案5－2[微思考]1.半角公式中

的符号是如何确定的？提示(1)当给出角α的具体范围时，先求α2的范围，然后根据α2的范围确定符号.(2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.2.sinθ＋sinφ＝2sinθ＋φ2cosθ－φ2除了课本上的证明方法，还有什么其它的证明方法吗？提示右边＝2sinθ＋φ

2cosθ－φ2＝2sinθ2＋φ2·cosθ2－φ2＝2sinθ2cosφ2＋cosθ2sinφ2·cosθ2cosφ2＋sinθ2sinφ2＝2sinθ2cosθ2

·cos2φ2＋sin2θ2·sinφ2cosφ2＋cos2θ2sinφ2cosφ2＋sin2φ2sinθ2cosθ2＝sinθ·cos2φ2＋sin2θ2sinφ＋cos2θ2sinφ＋sin2φ2sin

θ＝sinθ＋sinφ＝左边.∴故等式成立.题型一利用半角公式求值注意角的范围【例1】已知cosα＝13，α为第四象限角，求sinα2，cosα2，tanα2.解∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角.当α2为第二象限角时，sinα2＝1－cosα2＝33，cosα2＝－1＋

cosα2＝－63，tanα2＝－1－cosα1＋cosα＝－22；当α2为第四象限角时，sinα2＝－1－cosα2＝－33，cosα2＝1＋cosα2＝63，tanα2＝－1－cosα1＋cosα＝－22.规律方法利用半角公式求值的思路(1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三

角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα，其优点是计算

时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2＝1－cosα2，cos2α2＝1＋cosα2计算.(4)下结论：结合(2)求值.【训练1】已知sinθ＝－35，3π<θ<72π，则tan

θ2的值为()A.3B.－3C.13D.－13解析∵3π<θ<7π2，sinθ＝－35，∴cosθ＝－45，tanθ2＝sinθ1＋cosθ＝－3.答案B题型二三角函数式的化简注意α2是α的半角，α是2α的半角【例2】化简：（1－sinα－cosα）sinα2＋cosα

22－2cosα(－π<α<0).解原式＝2sin2α2－2sinα2cosα2sinα2＋cosα22×2sin2α2＝2sinα2sinα2－cosα2sinα2＋cosα22sinα2＝sinα

2sin2α2－cos2α2sinα2＝－sinα2cosαsinα2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0,所以sinα2<0，所以原式＝－sinα2cosα－sinα2＝co

sα.规律方法探究三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的思路：对于

和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.【训练2】设α∈(3π2，2π)，化简：12＋1212＋12cos2α.解∵α∈(3π2，2π)，α2∈3π4，π

，∴cosα>0，cosα2<0，故原式＝12＋12cos2α＝12＋12cosα＝cos2α2＝|cosα2|＝－cosα2.题型三三角恒等式的证明原则：由繁到简【例3】证明：2sinxcosx（sinx＋cosx－1）（sinx－cosx＋1）＝1＋cosxsinx.证明左边＝2sinxc

osx（2sinx2cosx2＋1－2sin2x2－1）（2sinx2cosx2－1＋2sin2x2＋1）＝2sinxcosx2sinx2（cosx2－sinx2）·2sinx2（cosx2＋sinx2）＝2sinx

cosx4sin2x2cosx＝2sinx2cosx22sin2x2＝cosx2sinx2.右边＝1＋2cos2x2－12sinx2cosx2＝cosx2sinx2，所以左边＝右边，即等式成立.规律方法探究证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高

次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构

”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.【训练3】求证：1cos2θ－tanθ·tan2θ＝1.证明1cos2θ－tanθ·tan2θ＝1cos2θ－sinθsin2θcosθcos2θ＝cosθ－2sin2θcosθcosθcos2θ＝cosθ（1－2sin2θ）cosθco

s2θ＝1－2sin2θcos2θ＝cos2θcos2θ＝1.题型四利用辅助角公式研究函数性质【例4】已知函数f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正

周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解(1)∵f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12＝3sin2x－π12＋1－cos2x－π1

2＝232sin2x－π12－12cos2x－π12＋1＝2sin2x－π12－π6＋1＝2sin2x－π3＋1，∴f(x)的最小正周期为T＝2

π2＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin2x－π3＝1，有2x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)，∴所求x的集合为xx＝kπ＋5π12，k∈Z.规律方法(1)为了研究函数的性质，

往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.【训练

4】已知函数f(x)＝cosπ3＋x·cosπ3－x，g(x)＝12sin2x－14.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.解(1)f(x)＝12cosx－32sinx·

12cosx＋32sinx＝14cos2x－34sin2x＝1＋cos2x8－3（1－cos2x）8＝12cos2x－14，∴f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x－12sin2x＝22cos2x＋π

4，当2x＋π4＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－π8(k∈Z)时，h(x)有最大值22.此时x的集合为xx＝kπ－π8，k∈Z.一、素养落地1.在推导公式和应用公式的过程中，熟悉角的转化方法和换元法的应用，不断提升学生的逻辑推理、数学运算素养，并通过本节的asi

nx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)的转化过程，进一步提升学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.2.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式

.3.asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tanφ＝ba，φ所在象限由a，b确定，掌握实质并能熟练应用.二、素养训练1.若cos2α＝－45，且α∈π2，π，则sinα＝()A.31010B.1010C.35D.－1010解析因为α∈

π2，π，所以sinα>0，由半角公式可得sinα＝1－cos2α2＝31010.答案A2.下列各式与tanα相等的是()A.1－cos2α1＋cos2αB.sinα1＋cosαC.sinα1－cos2αD.1－cos2αsin2α解析1－cos2αsin2α＝2s

in2α2sinαcosα＝sinαcosα＝tanα.答案D3.设5π<θ<6π，cosθ2＝a，则sinθ4等于()A.1＋a2B.1－a2C.－1＋a2D.－1－a2解析∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sinθ

4＝－1－cosθ22＝－1－a2.答案D4.已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，b∈R)，则A＝________，b＝________.解析2cos2x＋sin2x＝cos2x

＋sin2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，∴A＝2，b＝1.答案215.化简：1＋cosθ＋sinθ1－cosθ＋sinθ＋1－cosθ＋sinθ1＋cosθ＋sinθ.解原式＝2cos2θ2＋2sinθ2cosθ22sin

2θ2＋2sinθ2cosθ2＋2sin2θ2＋2sinθ2cosθ22cos2θ2＋2sinθ2cosθ2＝2cosθ2cosθ2＋sinθ22sinθ2sinθ2＋cosθ2＋2sinθ2sinθ2＋cosθ22cosθ2

cosθ2＋sinθ2＝cosθ2sinθ2＋sinθ2cosθ2＝cos2θ2＋sin2θ2sinθ2cosθ2＝2sinθ.基础达标一、选择题1.函数y＝3sin4x＋3cos4x的最大值是()A.3B.23C.3D.6解析y＝3sin4x＋3cos4x＝233

2sin4x＋12cos4x＝23sin4x＋π6，∴ymax＝23，故选B.答案B2.已知sin2α＝13，则cos2α－π4＝()A.－13B.－23C.13D.23解析cos2α－π4＝1＋cos2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋

132＝23.答案D3.在△ABC中，若sinAsinB＝cos2C2，则△ABC是()A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形解析sinAsinB＝12(1＋cosC)，即2sinAsinB＝1＋cosC，∴2

sinAsinB＝1－cosAcosB＋sinAsinB，故得cos(A－B)＝1，又因为A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形.答案B4.函数f(x)＝12(1＋cos2x)·sin2x(x∈R)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π2的奇函数C

.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π2的偶函数解析由题意，得f(x)＝14(1＋cos2x)(1－cos2x)＝14(1－cos22x)＝14sin22x＝18(1－cos4x).又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数，选D.答案D5

.若cosα＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于()A.－12B.12C.2D.－2解析∵α是第三象限角，cosα＝－45，∴sinα＝－35，∴tanα2＝sinα1＋cosα＝－351－45＝－3，∴1＋tanα21－tanα2

＝1－31＋3＝－12.答案A二、填空题6.化简1＋sin2的结果是________.解析1＋sin2＝sin21＋cos21＋2sin1cos1＝（sin1＋cos1）2＝|sin1＋cos1|，因为1∈(0，π2)，所以sin1>0，cos1>0，则1＋sin2＝sin1＋cos1.答

案sin1＋cos17.在△ABC中，若cosA＝13，则sin2B＋C2＋cos2A＝________.解析sin2B＋C2＋cos2A＝1－cos（B＋C）2＋2cos2A－1＝1＋cosA2＋2cos2A－1＝－19.答案－198.函数f(x)

＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期为________.解析f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1＝1－cos2x2＋12sin2x＋1＝12(sin2x－cos2x)＋32＝22sin2x－π4＋32，∴T＝π.答案π三、解答题9.在△ABC中，角A，B，C的对边分

别为a，b，c，已知cosA＝a·cosB－ba－b·cosB，求证tan2A2tan2B2＝a＋ba－b.证明因为cosA＝a·cosB－ba－b·cosB，所以1－cosA＝（a＋b）·（1－cosB）a－b·cosB，1＋cosA＝（a－b）·

（1＋cosB）a－b·cosB，所以1－cosA1＋cosA＝（a＋b）·（1－cosB）（a－b）·（1＋cosB），而1－cosA1＋cosA＝2sin2A22cos2A2＝tan2A2，1－cosB1＋cosB＝2sin2B22cos2B2＝tan2B2，所以tan2A2＝a＋ba－b·

tan2B2，即tan2A2tan2B2＝a＋ba－b.10.已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝45，sinβ＝1213，求cosα－β2与tanα－β2的值.解因为α为钝角，β为锐角，sinα＝45，sinβ＝1213，所以cosα＝－35，cosβ＝513.所以cos(α－β)＝c

osαcosβ＋sinαsinβ＝－35×513＋45×1213＝3365.因为π2<α<π，且0<β<π2，所以0<α－β<π，即0<α－β2<π2，所以cosα－β2＝1＋cos（α－β）2＝1

＋33652＝76565.法一由0<α－β2<π2，得sinα－β2＝1－cos2α－β2＝46565，所以tanα－β2＝sinα－β2cosα－β2＝47.法二由0<α－β<π，cos(α－β)＝3365，得sin

(α－β)＝1－cos2（α－β）＝5665.所以tanα－β2＝sin（α－β）1＋cos（α－β）＝56651＋3365＝47.能力提升11.已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R).(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递

增区间.解(1)f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6，则f2π3＝－2sin4π3＋π6＝2.(2)f(x)的最小正周期为

π.由正弦函数的性质，得π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z).12.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个

图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.(1)将图书馆底面矩形AB

CD的面积S表示成θ的函数.(2)若R＝45m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取2＝1.414)解(1)由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.设OM与BC的交点为F，则BC＝2R

sinθ，OF＝Rcosθ，所以AB＝OF－12AD＝Rcosθ－Rsinθ.所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ)＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos2θ)＝2R2sin2θ＋π4－R2

，θ∈0，π4.(2)因为θ∈0，π4，所以2θ＋π4∈π4，3π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S有最大值.Smax＝(2－1)R2＝(2－1)×452＝0.414×2025＝838.35(m2).故当θ＝π8时，矩形ABCD的面积S最大，

最大面积为838.35m2.