【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.5.2《简单的三角恒等变换》PPT课件-2019人教A版.pptx，共(36)页，3.974 MB，由小喜鸽上传

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5.5.2简单的三角恒等变换课标要求素养要求1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想.2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.在对公式的推导和应用过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.教材知识探究同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？

半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节.事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都非半

角字符.问题1.任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系？2.半角公式是如何推导出来的？3.半角公式的符号是怎样确定的？提示1.α2是α的半角，α是2α的半角.2.半角公式的推导是利用公式cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin

2α.3.半角公式的符号是由半角所在的象限确定的.1.半角公式在利用公式时，注意符号的选取sinα2＝_____________.cosα2＝_____________.tanα2＝_____________(无理形式).tanα2＝sinα1＋cosα＝_

____________(有理形式).1－cosα21＋cosα2±1－cosα1＋cosα1－cosαsinα2.辅助角公式asinx＋bcosx＝____________________.其中tanφ＝__

_____，φ所在象限由a和b的符号确定，或者sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.a2＋b2sin(x＋φ)ba2.对于α∈R，sinα2＝12sinα都不成立.()教材拓展补遗[微判断]1.sin15°＝±1－cos30°2.()提示sin15°＝1－cos30°2.提示∵

sinα＝2sinα2cosα2，只有当cosα2＝1时sinα2＝12sinα才能成立.××提示∵θ4∈5π4，3π2为第三象限角，故cosθ4＝－1＋a2.3.若5π<θ<6π，cosθ2＝a，则cosθ4＝1＋a2.()×答案tan2α[微训练]1.

化简2sin2α1＋cos2α·cos2αcos2α的结果为________.解析原式＝2sin2α2cos2α·cos2αcos2α＝tan2α.2.函数f(x)＝5cosx＋12sinx的最小值为________.∴f(x)min＝－13.答案－13解析f(x

)＝13513cosx＋1213sinx＝13sin(x＋φ)(其中tanφ＝512)，解析因为sinα＝55>0，cosα＝255>0，所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一、三象限，所以tanα2>0，故tanα2＝1－cosα1＋cosα＝1

－2551＋255＝5－2.3.已知sinα＝55，cosα＝255，则tanα2＝________.答案5－2[微思考]1.半角公式中的符号是如何确定的？提示(1)当给出角α的具体范围时，先求α2的范围，然后根据α2的范围确定符号.(2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留

正负号.提示右边＝2sinθ＋φ2cosθ－φ2＝2sinθ2＋φ2·cosθ2－φ2＝2sinθ2cosφ2＋cosθ2sinφ2·cosθ2cosφ2＋sinθ2sinφ2＝2sinθ2cosθ

2·cos2φ2＋sin2θ2·sinφ2cosφ2＋cos2θ2sinφ2cosφ2＋sin2φ2sinθ2cosθ2＝sinθ·cos2φ2＋sin2θ2sinφ＋cos2θ2sinφ＋sin2φ2sinθ＝sin

θ＋sinφ＝左边.∴故等式成立.2.sinθ＋sinφ＝2sinθ＋φ2cosθ－φ2除了课本上的证明方法，还有什么其它的证明方法吗？题型一利用半角公式求值【例1】已知cosα＝13，求sinα2，cosα2，tanα2.注意角的范围解∵α为第四象限角，∴α2为第二

、四象限角.当α2为第二象限角时，sinα2＝1－cosα2＝33，cosα2＝－1＋cosα2＝－63，tanα2＝－1－cosα1＋cosα＝－22；α为第四象限角，当α2为第四象限角时，sinα2＝－1－cosα2＝－33，cosα2＝1＋cosα2＝63，tanα2＝－1

－cosα1＋cosα＝－22.规律方法利用半角公式求值的思路(1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的

范围，求出相应半角的范围.(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2

α2＝1－cosα2，cos2α2＝1＋cosα2计算.(4)下结论：结合(2)求值.答案B【训练1】已知sinθ＝－35，3π<θ<72π，则tanθ2的值为()A.3B.－3C.13D.－13解析∵3π<θ<7π2，sinθ＝－35，∴cosθ＝－45，tanθ2＝s

inθ1＋cosθ＝－3.题型二三角函数式的化简解原式＝2sin2α2－2sinα2cosα2sinα2＋cosα22×2sin2α2＝2sinα2sinα2－cosα2

sinα2＋cosα22sinα2＝sinα2sin2α2－cos2α2sinα2＝－sinα2cosαsinα2.注意α2是α的半角，α是2α的半角【例2】化简：（1－sinα－cosα）sin

α2＋cosα22－2cosα(－π<α<0).因为－π<α<0，所以－π2<α2<0,所以sinα2<0，所以原式＝－sinα2cosα－sinα2＝cosα.规律方法探究三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最

少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还

可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.【训练2】设α∈(3π2，2π)，化简：12＋1212＋12cos2α.解∵α∈(3π2，2π)，α2∈3π4，π，∴cosα>0，cosα2<0，故原式＝12＋12cos2α＝12＋12co

sα＝cos2α2＝|cosα2|＝－cosα2.题型三三角恒等式的证明【例3】证明：2sinxcosx（sinx＋cosx－1）（sinx－cosx＋1）＝1＋cosxsinx.证明左边＝2sinxcosx（2sin

x2cosx2＋1－2sin2x2－1）（2sinx2cosx2－1＋2sin2x2＋1）原则：由繁到简＝2sinxcosx2sinx2（cosx2－sinx2）·2sinx2（cosx2＋sinx2）＝2sinxcosx4sin2x2cosx＝2sinx2cosx22sin2x2＝cosx2s

inx2.所以左边＝右边，即等式成立.右边＝1＋2cos2x2－12sinx2cosx2＝cosx2sinx2，规律方法探究证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端

都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.【训练3】求证：1cos2θ－tanθ·tan2θ＝

1.证明1cos2θ－tanθ·tan2θ＝1cos2θ－sinθsin2θcosθcos2θ＝cosθ－2sin2θcosθcosθcos2θ＝cosθ（1－2sin2θ）cosθcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝cos2θcos2θ＝1.题型四利用辅助角公式研究函数性质【例4】已知函数

f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解(1)∵f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12＝3sin

2x－π12＋1－cos2x－π12＝232sin2x－π12－12cos2x－π12＋1＝2sin2x－π12－π6＋1＝2sin2x－π3＋1

，∴f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin2x－π3＝1，有2x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)，∴所求x的集合为xx＝kπ＋5π12，k∈Z.规律方法(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变

换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.解(1)f(x)＝12cosx－32sinx·12cosx＋32s

inx【训练4】已知函数f(x)＝cosπ3＋x·cosπ3－x，g(x)＝12sin2x－14.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.＝14cos2x

－34sin2x＝1＋cos2x8－3（1－cos2x）8＝12cos2x－14，∴f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x－12sin2x＝22cos2x＋π4，当2x＋π4＝2kπ(k∈Z

)，即x＝kπ－π8(k∈Z)时，h(x)有最大值22.此时x的集合为xx＝kπ－π8，k∈Z.一、素养落地1.在推导公式和应用公式的过程中，熟悉角的转化方法和换元法的应用，不断提升学生的逻辑推理、数学运算素养，并通过本节的asinx＋bcosx＝

a2＋b2sin(x＋φ)的转化过程，进一步提升学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.2.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.3

.asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tanφ＝ba，φ所在象限由a，b确定，掌握实质并能熟练应用.答案A二、素养训练1.若cos2α＝－45，且α∈π2，π，则sinα＝()A.31010B.1010C.

35D.－1010解析因为α∈π2，π，所以sinα>0，由半角公式可得sinα＝1－cos2α2＝31010.答案D2.下列各式与tanα相等的是()A.1－cos2α1＋cos2αB.sinα1＋cosαC.sinα1－cos2αD.1－cos2αsin2α解析1－co

s2αsin2α＝2sin2α2sinαcosα＝sinαcosα＝tanα.答案D3.设5π<θ<6π，cosθ2＝a，则sinθ4等于()A.1＋a2B.1－a2C.－1＋a2D.－1－a2解析∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sinθ4＝－

1－cosθ22＝－1－a2.4.已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，b∈R)，则A＝________，b＝________.解析2cos2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，∴A＝2，b＝1.答案21＝2co

sθ2cosθ2＋sinθ22sinθ2sinθ2＋cosθ2＋2sinθ2sinθ2＋cosθ22cosθ2cosθ2＋sinθ25.化简：1＋cosθ＋sinθ1－cosθ＋sinθ＋

1－cosθ＋sinθ1＋cosθ＋sinθ.解原式＝2cos2θ2＋2sinθ2cosθ22sin2θ2＋2sinθ2cosθ2＋2sin2θ2＋2sinθ2cosθ22cos2θ2＋2sinθ2cosθ2＝cosθ2sinθ2＋sinθ2cosθ2＝cos2θ2＋sin2θ2sinθ2co

sθ2＝2sinθ.